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关于状态空间分析方法第1页，讲稿共216张，创作于星期二第第9 9章章 状态空间分 析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录第2页，讲稿共216张，创作于星期二引言引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论经典控制理论(50年代前年代前)现代控制理论现代控制理论(50年代后年代后)研究对象研究对象单输入单输出的线单输入单输出的线性定常系统性定常系统可以比较复杂可以比较复杂数学模型数学模型传递函数传递函数(输入、输出描述输入、输出描述)状态方程状态方程(可描述内部行为可描述内部行为)数学基础数学基础运算微积、复变函运算微积、复变函数数线性代数、矩阵理论线性代数、矩阵理论设计方法的设计方法的特点特点非唯一性、试凑成非唯一性、试凑成份多份多,经验起很大作经验起很大作用。主要在复数域用。主要在复数域进行。进行。设计的解析性，与计设计的解析性，与计算机结合，主要在时算机结合，主要在时间域进行。间域进行。第3页，讲稿共216张，创作于星期二基本要求基本要求 掌握由系统输入输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。返回子目录返回子目录第4页，讲稿共216张，创作于星期二熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响,正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。第5页，讲稿共216张，创作于星期二熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。k正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。第6页，讲稿共216张，创作于星期二9-1 状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。返回子目录返回子目录第7页，讲稿共216张，创作于星期二状态：状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知已知 时状态，时状态，时的输入，可确定时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。状态变量状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量确定动力学系统状态的最小一组变量 。第8页，讲稿共216张，创作于星期二状态空间：由 张成的n维向量空间。状态向量状态向量：如果完全描述一个给定系统的动如果完全描述一个给定系统的动态行为需要态行为需要n n个状态变量，那么状态个状态变量，那么状态向量定义为向量定义为X(t)X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。第9页，讲稿共216张，创作于星期二例9-2设一RLC网络如图所示。回路方程为图9-2 RLC网络第10页，讲稿共216张，创作于星期二选择状态变量则有写成输出第11页，讲稿共216张，创作于星期二写成若选另一组状态变量则有第12页，讲稿共216张，创作于星期二 若给出(t=0)时的初值 、和 时就可确定系统的行为。单输入单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式第13页，讲稿共216张，创作于星期二（9-17）第14页，讲稿共216张，创作于星期二或写成（9-19）第15页，讲稿共216张，创作于星期二系统结构图如图所示图9-3第16页，讲稿共216张，创作于星期二例9-3输入为输入为 u u，输出为，输出为y y。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统第17页，讲稿共216张，创作于星期二解：状态方程为写成取状态变量第18页，讲稿共216张，创作于星期二输出图9-4 例9-3系统的结构图第19页，讲稿共216张，创作于星期二多输入-多输出系统图9-6 多变量系统第20页，讲稿共216张，创作于星期二 为状态变量；为输入量；为输出变量。第21页，讲稿共216张，创作于星期二矩阵形式：式中第22页，讲稿共216张，创作于星期二.输出变量方程第23页，讲稿共216张，创作于星期二式中式中第24页，讲稿共216张，创作于星期二图9-7 系统结构图第25页，讲稿共216张，创作于星期二三、线性定常系统状态方程的解式中式中 均为列向量。均为列向量。（9-28）齐次向量微分方程齐次向量微分方程（9-29）方程的解为方程的解为1、齐次状态方程的解第26页，讲稿共216张，创作于星期二可得代入方程 将方程两边系数必相等方程两边系数必相等,即即第27页，讲稿共216张，创作于星期二我们定义（9-31）（9-32）因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（9-29）中得第28页，讲稿共216张，创作于星期二（9-33）（9-34）（9-35）为nn矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解第29页，讲稿共216张，创作于星期二拉氏反变换后得到（9-37）（9-38）第30页，讲稿共216张，创作于星期二最终得到与前一种解法所得结果一致。式中（9-41）第31页，讲稿共216张，创作于星期二状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：第32页，讲稿共216张，创作于星期二图9-8 状态转移特性性质性质3第33页，讲稿共216张，创作于星期二例9-5设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。试求状态转移矩阵。第34页，讲稿共216张，创作于星期二解：求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为第35页，讲稿共216张，创作于星期二例9-6设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。第36页，讲稿共216张，创作于星期二解：用拉氏变换求解。先求出矩阵指数用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 第37页，讲稿共216张，创作于星期二状态方程之解为 将上式进行拉氏反变换将上式进行拉氏反变换第38页，讲稿共216张，创作于星期二图9-9 系统的瞬态解（a）与相轨迹（b）第39页，讲稿共216张，创作于星期二改写为 用 左乘等式两边 2 2 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次方程（9-53）（9-54）第40页，讲稿共216张，创作于星期二用 左乘上式两边（9-54）则式（9-54）可以写成（9-55）积分上式得第41页，讲稿共216张，创作于星期二讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法拉氏反变换得拉氏反变换得由于由于由卷积定理有由卷积定理有第42页，讲稿共216张，创作于星期二因此由于由于最后得到第43页，讲稿共216张，创作于星期二例9-7求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。第44页，讲稿共216张，创作于星期二解：由状态转移矩阵第45页，讲稿共216张，创作于星期二若初始状态为零状态，则若初始状态为零状态，则第46页，讲稿共216张，创作于星期二四、传递函数矩阵（9-58）系统状态方程系统状态方程（9-59）输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为第47页，讲稿共216张，创作于星期二解出解出定义传递函数矩阵为（9-63）第48页，讲稿共216张，创作于星期二所以所以特征方程为第49页，讲稿共216张，创作于星期二例9-8设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。第50页，讲稿共216张，创作于星期二解：已知已知故故第51页，讲稿共216张，创作于星期二第52页，讲稿共216张，创作于星期二例9-9设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。第53页，讲稿共216张，创作于星期二解：系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。第54页，讲稿共216张，创作于星期二五、动态方程的可逆线性变换五、动态方程的可逆线性变换其中 P 是nn 矩阵第55页，讲稿共216张，创作于星期二特征多项式特征多项式没有改变。第56页，讲稿共216张，创作于星期二传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变第57页，讲稿共216张，创作于星期二例9-10对例9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为试求变换后系统的特征方程和特征值。第58页，讲稿共216张，创作于星期二解：根据题意求变换矩阵代入第59页，讲稿共216张，创作于星期二特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。可得第60页，讲稿共216张，创作于星期二9-2 9-2 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化可控性和可观测性的概念，就是回答可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是系统的输入是否能控制状态的变化否能控制状态的变化和和“状态的变化能否由输出状态的变化能否由输出反映出来反映出来这样两个问题。这样两个问题。返回子目录返回子目录第61页，讲稿共216张，创作于星期二一、准备知识一、准备知识设设A A 是 nn 矩阵,x x 是 n1 向量,齐次方程组若|A|=0,（9-70）式存在非零解；若|A|0,（9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1 1、齐次方程组的非零解、齐次方程组的非零解第62页，讲稿共216张，创作于星期二2、Cayley-Hamilton定理 Cayley-Hamilton定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足（9-71）（9-72）A的特征多项式第63页，讲稿共216张，创作于星期二应用Cayley-Hamilton 定理（9-78）对于矩阵指数 可以用来表示。第64页，讲稿共216张，创作于星期二例9-11解：矩阵A的特征多项式要求计算矩阵 的第65页，讲稿共216张，创作于星期二矩阵A满足自己的特征多项式，有本题中n=100，故有第66页，讲稿共216张，创作于星期二3 引理的充分必要条件是：的充分必要条件是：存在存在 使使（9-80）非奇异。这里非奇异。这里A:nn,b:n1.A:nn,b:n1.第67页，讲稿共216张，创作于星期二若对任意状态若对任意状态 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 和控制量和控制量 ，能在能在 时刻将状态时刻将状态 转移到转移到0 0，则称此系统的状态完全可控。，则称此系统的状态完全可控。二、线性系统的可控性二、线性系统的可控性1 定义对于任意时刻对于任意时刻 和和 ，若存在控制向量，若存在控制向量 ，能将，能将 的的每个初始状态每个初始状态 转移到转移到 时刻的另一任意状态时刻的另一任意状态 ,则称此系统的状态完全可控。则称此系统的状态完全可控。等价的定义第68页，讲稿共216张，创作于星期二例如图9-10 二维系统状态转移过程如图所示二维系统状态转移过程如图所示系统可控。系统可控。第69页，讲稿共216张，创作于星期二2 可控性判据其中 A(nn),b(n1),c(1n),d(11)系统可控的充分必要条件是（9-84）（9-85）（9-86）单变量线性定常系统第70页，讲稿共216张，创作于星期二证明：将u(t)代入式(9-54)，可得（9-87）若式若式(9-86)(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在成立，由前面准备知识的引理，存在t t1 100，使得，使得(1-(1-30)30)式定义的式定义的W(0,tW(0,t1 1)矩阵非奇异，取矩阵非奇异，取t t1 1为可控性定义中的为可控性定义中的t tf f ，且在且在0,t0,tf f 上定义上定义第71页，讲稿共216张，创作于星期二由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。第72页，讲稿共216张，创作于星期二再证明若系统可控，则式(9-86)成立 根据凯莱哈密尔顿定理（9-88）（9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即 x(tf)=0。根据(9-54)式，则有第73页，讲稿共216张，创作于星期二把(9-89)式代入(9-88)式，得记这时（9-90）第74页，讲稿共216张，创作于星期二由于x(0)是任意的n维向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于(9-84)(9-84)式中的式中的A A阵和阵和b b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为S S，这样，这样，可控的充要条件就写成：可控的充要条件就写成：rankS=n rankS=n 或或 detS0detS0。第75页，讲稿共216张，创作于星期二图9-11 不可控系统第76页，讲稿共216张，创作于星期二例子系统可控系统第77页，讲稿共216张，创作于星期二3 约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。第78页，讲稿共216张，创作于星期二可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。每一约当块最后一行，所对应的b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。第79页，讲稿共216张，创作于星期二例9-12系统状态方程为系统状态方程为试确定系统可控时，试确定系统可控时，应满足的条件。应满足的条件。第80页，讲稿共216张，创作于星期二解：如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果.因为因为A A阵有两个若当块，根据判据的阵有两个若当块，根据判据的(1)(1)应有应有 ，由判据的，由判据的(2)(2)，A A的第二行所对应的的第二行所对应的b b中的元中的元素素b2 2,b4 4均不为零，因此系统可控的充要条件均不为零，因此系统可控的充要条件为为第81页，讲稿共216张，创作于星期二4、可控标准形（9-92）则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式第82页，讲稿共216张，创作于星期二(9-92)式的形式被称为单输入系统的可控标准形可控标准形。对于一般的单输入n维动态方程 (9-93)其中A，b分别为nn,n1的矩阵。成立以下定理：若n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。第83页，讲稿共216张，创作于星期二下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵S；计算 ，并记 的最后一行为h。构造矩阵 P令 即可求出变换后的系统状态方程。即可求出变换后的系统状态方程。第84页，讲稿共216张，创作于星期二例9-13设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。第85页，讲稿共216张，创作于星期二解：先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。第86页，讲稿共216张，创作于星期二此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为第87页，讲稿共216张，创作于星期二可求出第88页，讲稿共216张，创作于星期二5 系统按可控性进行分解系统按可控性进行分解 系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理 第89页，讲稿共216张，创作于星期二若单变量系统(9-84，85)式的可控性矩阵满足(9-103）式，则存在可逆线性变换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下形式 式中 是n1维向量,是n2维向量，并且（9-106）（9-107）第90页，讲稿共216张，创作于星期二(9-106)式表明下面的动态方程是可控的：（9-107)式表明的动态方程式(9-108，109)和原来的n维动态方程式(9-84，85)具有相同的传递函数。或者说传递函数中未能反映系统中不可控的部分。（9-108）（9-109）第91页，讲稿共216张，创作于星期二证明：证明：（9-110）考察考察(9-103)(9-103)式，并将它重新写出如下式，并将它重新写出如下进而可以证明进而可以证明补充选取线性无关的向量补充选取线性无关的向量并使得向量组并使得向量组 线性无关。线性无关。第92页，讲稿共216张，创作于星期二令若将若将(9-104(9-104，105)105)式所表示的系统用方框图表示，可控式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，性分解的意义就能更直观地体现出来，(9-104(9-104，105)105)式式的系统方块图如图的系统方块图如图9-129-12所示。所示。即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。第93页，讲稿共216张，创作于星期二图9-12 系统按可控性分解第94页，讲稿共216张，创作于星期二从图9-12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变 ，故 这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。第95页，讲稿共216张，创作于星期二例9-14设有系统方程如下 其传递函数为 试进行可控性分解。第96页，讲稿共216张，创作于星期二解：系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，系统列的线性组合，系统不可控不可控 。选取选取第97页，讲稿共216张，创作于星期二计算出 构成构成第98页，讲稿共216张，创作于星期二故有因而得第99页，讲稿共216张，创作于星期二三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为(9-113,114)如果在有限时间间隔0,t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1 1、可观测性的定义第100页，讲稿共216张，创作于星期二 若系统中至少有一个状态变量是不若系统中至少有一个状态变量是不可观测可观测(不能被确定不能被确定)的，则称系统不可的，则称系统不可观。观。图9-13 不可观测系统第101页，讲稿共216张，创作于星期二 分析(9-117)式，当知道某一时刻的输出时，(9-117)式是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0)，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将(9-117)式左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。(9-117)我们考虑没有外作用的系统，可求出第102页，讲稿共216张，创作于星期二2 可观测性判据可观测性判据 可观测的充分必要条件是(9-118)(9-118)式中的矩阵称为可观性矩阵可观性矩阵。并记为V。第103页，讲稿共216张，创作于星期二式（9-118）又可以写成取x(0)=，这一非零的初始状态引起的输出为（9-120）根据准备知识中的引理，存在第104页，讲稿共216张，创作于星期二将 代入上式，得 显然不可能由y(t)=0来确定。即系统不可观测。第105页，讲稿共216张，创作于星期二试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15第106页，讲稿共216张，创作于星期二解：系统的可观性矩阵 是奇异的，故系统不可观测。系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。第107页，讲稿共216张，创作于星期二事实上 因为因为 是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。第108页，讲稿共216张，创作于星期二3 对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统、是互为 对偶 的系统。系统系统 第109页，讲稿共216张，创作于星期二对偶原理对偶原理 系统的可控性(可观性)等价于系统的可观性(可控性)。只要写出系统的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统 的可观性矩阵(可控性矩阵)即可证明以上结论。利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。第110页，讲稿共216张，创作于星期二应用：若式(9113)和式(9114)的动态方程中A阵具有约当标准形，则系统可观测的充分必要条件为 同一特征值对应的约当块只有一块。每一约当块的第1列所对应的c中的元素 非零。上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。第111页，讲稿共216张，创作于星期二例9-16 设动态方程为 试确定系统可观测时 应满足的条件。第112页，讲稿共216张，创作于星期二解：由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：第113页，讲稿共216张，创作于星期二4 可观测标准形可观测标准形 一个单输出系统如果其A,c 阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。（9-122）式称为单输出系统的可观测标准形。（9-122）第114页，讲稿共216张，创作于星期二通过对偶原理证明：给定系统方程如下（9-123）若有等价变换若有等价变换将其化为可观测标准形将其化为可观测标准形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的形式。的形式。第115页，讲稿共216张，创作于星期二构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.第116页，讲稿共216张，创作于星期二因此有（9-134）比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。它可将系统方程化为可观测标准形。第117页，讲稿共216张，创作于星期二例9-17系统动态方程为将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。第118页，讲稿共216张，创作于星期二解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的A,b阵，分别为根据根据A,bA,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出求出P P阵：阵：第119页，讲稿共216张，创作于星期二计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P阵阵由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M阵阵第120页，讲稿共216张，创作于星期二式中式中第121页，讲稿共216张，创作于星期二 5 系统按可观性进行分解 系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。若(9-113，114)的系统不可观测，且第122页，讲稿共216张，创作于星期二则存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中 是n2维向量,是n-n2维向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）第123页，讲稿共216张，创作于星期二(9-135,136)的式子也可用图9-14表示。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。(9-137)式表明n2维的子系统(A1 b1 c1)是可观的；这部分状态变量是不可观的；(9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。系统按可观性分解的结果系统按可观性分解的结果(9-138)第124页，讲稿共216张，创作于星期二图914 系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。第125页，讲稿共216张，创作于星期二四、可控性、可观测性四、可控性、可观测性与传递函数的关系与传递函数的关系 （9-141）对应的传递函数为（9-140）考虑单变量系统，其动态方程为1 1、可控性、可观测性与零、极点对消问题第126页，讲稿共216张，创作于星期二式中：N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点，D(s)=0的根称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。定理定理 动态方程式(9-140)可控、可观测的充分必要条件是g(s)无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。第127页，讲稿共216张，创作于星期二证明：首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)第128页，讲稿共216张，创作于星期二将s=s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得(9-145)将上式前乘c、后乘b后即有（9-146）将(9-145)式前乘cA、后乘b后即有（9-147）第129页，讲稿共216张，创作于星期二依次类推可得这组式子又可写成第130页，讲稿共216张，创作于星期二 出现矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会不会出现零、极点相消的现象。因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形(9-92)的形式，直接计算可知（9-148）第131页，讲稿共216张，创作于星期二例9-18设系统动态方程为不难验证系统是可控、可观测的。不难验证系统是可控、可观测的。第132页，讲稿共216张，创作于星期二显然显然N(s)N(s)和和D(s)D(s)无非常数的公因式，这时传递函无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上数没有零、极点相消。事实上分别计算分别计算 第133页，讲稿共216张，创作于星期二2 传递函数的最小阶动态方程实现 已知动态方程，可以用(9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传递函数的实现问题。如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传递函数的最小实现问题。第134页，讲稿共216张，创作于星期二设给定有理函数设给定有理函数(9-149)(9-149)式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分(9-150)所以只需讨论(9-149)式中的严格真有理分式部分。第135页，讲稿共216张，创作于星期二给定严格真有理函数给定严格真有理函数(9-151)要求寻找 A,b,c，使得(9-152)并且在所有满足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论第136页，讲稿共216张，创作于星期二可控标准形的最小阶实现式(9-153)对(9-151)式，可构造出如下的实现 (A,b,c)(9-153)（1 1）g(s)g(s)的分子和分母的分子和分母无非常数公因式的情况无非常数公因式的情况第137页，讲稿共216张，创作于星期二(9-154)可观标准形的最小阶实现 (9-153)式给出的(A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(9-151)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知(9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以说明(9-154)式是(9-151)的可观标准形的最小实现。第138页，讲稿共216张，创作于星期二 若g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设g(s)有以下的形式(9-155)约当标准形的最小阶实现约当标准形的最小阶实现 因为g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1c4均不为零。第139页，讲稿共216张，创作于星期二令分别对应于第140页，讲稿共216张，创作于星期二而综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是g(s)一个最小阶实现。第141页，讲稿共216张，创作于星期二 若g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现，(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的)。g(s)的最小实现的维数一定小于n。（2 2）g(s)的分子和分母有相消因式的情况第142页，讲稿共216张，创作于星期二例9-19设g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)=，分子与分母有公因子(s+1)。仿照(9-153)式，可写出g(s)的一个三维的可控标准形实现无须验证这个实现是可控的第143页，讲稿共216张，创作于星期二因此这一实现是不可观的。同理，如果按(9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。计算可观测性矩阵第144页，讲稿共216张，创作于星期二 当然也可以构造出g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。现在将分子和分母中的公因式消去，可得 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，构造出二维的动态方程实现，它是g(s)的最小实现。第145页，讲稿共216张，创作于星期二 9-3 9-3 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下(9-157)令(9-158)一、一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。返回子目录返回子目录第146页，讲稿共216张，创作于星期二图9-15(9-159)图9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。将(9-157)式和(9-158)式用方框图表示，见图9-15，它是一个闭环系统。第147页，讲稿共216张，创作于星期二计算(9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为1 1 状态反馈不影响可控性第148页，讲稿共216张，创作于星期二上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有(9-160)因此有第149页，讲稿共216张，创作于星期二式(9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为状态反馈不改变系统的可控性。状态反馈可能改变系统的可观测性状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。第150页，讲稿共216张，创作于星期二例9-20系统的动态方程如下下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。第151页，讲稿共216张，创作于星期二 可观可观 任意任意 可观可观01 可观可观 1 111 不可观不可观 1 2 可观可观11 不可观不可观 0 110 可观可观 1 1 不可观不可观10闭环系统闭环系统 k 原系统原系统 c2 c1 可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。第152页，讲稿共216张，创作于星期二2 2 状态反馈对闭环特征值的影响 闭环方程(9-159)中的系统矩阵A-bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题状态反馈进行极点配置问题。第153页，讲稿共216张，创作于星期二证明：定理：定理：闭环方程(9-159)的系统矩阵A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是(9-157)式的系统可控。先证充分性 因为(9-157)式的系统可控,则存在可逆矩阵P，将(9-157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。第154页，讲稿共216张，创作于星期二式中(9-161)现引入（9-162）第155页，讲稿共216张，创作于星期二这时(9-158)式的状态反馈式可写为：考虑矩阵第156页，讲稿共216张，创作于星期二它的特征式为由于故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。第157页，讲稿共216张，创作于星期二设任意给定的闭环极点为 ,且(9-166)式中 完全由 所决定。比较(9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根为 ，需有(9-167)这说明任意给定闭环n个极点，均可通过(9-167)、(9-163)式确定，使A-bk具有给定的n个特征值，充分性证毕。第158页，讲稿共216张，创作于星期二必要性 若系统(9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统(9-157)可控。用反证法，若系统(9-157)不可控，则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将(9-157)式转换为(9-104，105)的可控分解形式。考虑矩阵A4的特征值不受 的影响，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影响，这与可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统(9-157)可控。第159页，讲稿共216张，创作于星期二 以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下计算A的特征式由所给的n 个期望特征值 ，计算期望的多项式第160页，讲稿共216张，创作于星期二根据(9-94)式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求出反馈增益阵 上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求k。求第161页，讲稿共216张，创作于星期二系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为-1,-2,-1+j,-1-j，试求状态反馈增益阵k。例9-21第162页，讲稿共216张，创作于星期二方法一、通过化可控标准形求解计算A的特征式由所给的4 个期望特征值，计算期望的多项式解：第163页，讲稿共216张，创作于星期二求出反馈增益阵=-0.4 -1 -21.4 -6 根据(9-94)式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求第164页，讲稿共216张，创作于星期二方法二：令 ，计算A-bk的特征式比较两个特征式的系数可得所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 第165页，讲稿共216张，创作于星期二最后强调：在极点配置定理中，“任意配置”是和系统可控等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。第166页，讲稿共216张，创作于星期二例9-22设系统状态方程为这一系统是不可控的。若指定闭环特征值若指定闭环特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-1第167页，讲稿共216张，创作于星期二令令第168页，讲稿共216张，创作于星期二有所以令第169页，讲稿共216张，创作于星期二对-2,-2,-2,-1第170页，讲稿共216张，创作于星期二所以有但若指定闭环特征值为-2,-2,-2,-2，就找不出k来达到这一配置要求。第171页，讲稿共216张，创作于星期二例9-23有一系统的传递函数为有一系统的传递函数为要求用状态反馈的方法，使得闭环系统要求用状态反馈的方法，使得闭环系统的特征值为的特征值为-2,-1+j,-1-j-2,-1+j,-1-j。第172页，讲稿共216张，创作于星期二解：首先要将系统用状态方程写出，