2017年考研数学二真题与解析.doc

2017年考研数学二真题一、选择题 18小题每小题4分，共32分1若函数在处连续，则（A） （B） （C） （D）【详解】，要使函数在处连续，必须满足所以应该选（A）2设二阶可导函数满足，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】注意到条件，则知道曲线在上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当时，当时，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导所以所以选择（B）当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数，此时，可判断出选项（A），（C），（D）都是错误的，当然选择（B）希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧3设数列收敛，则（A）当时， （B）当时，(C）当时， （D）当时，【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的其实此题注意，设，则分别解方程时，发现只有第四个方程有唯一解，也就是得到微分方程的特解可设为（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】微分方程的特征方程为，有一对共轭的复数根所以不是特征方程的根，所以对应方程的特解应该设为；而是方程的单根，所以对应方程的特解应该设为；从而微分方程的特解可设为，应该选（C）5设具有一阶偏导数，且对任意的都有，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由条件对任意的都有可知对于是单调增加的，对就单调减少的所以，只有第三个不等式可得正确结论（D），应该选（D）6甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为，计时开始后乙追上甲的时刻为，则（ ）（A） （B）（C） （D）【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，表示时刻内所走的路程本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在时乙追上甲，应该选（C）7设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目可知所以，所以可知选择（B）8已知矩阵，则 （A）相似，相似 （B）相似，不相似（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似【详解】矩阵的特征值都是是否可对解化，只需要关心的情况对于矩阵，秩等于1 ，也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是对于矩阵，秩等于2 ，也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然不相似故选择（B）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9曲线的斜渐近线为 解：，所以斜渐近线为10设函数由参数方程确定，则 【详解】，所以11 .【详解】12设函数具有一阶连续的偏导数，且已知，则 【详解】，所以，由，得，所以13 【详解】交换二重积分的积分次序得：14设矩阵的一个特征向量为，则 【详解】根据特征向量的定义，有，解得三、解答题15（本题满分10分）求极限【详解】令，则，16（本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数，求，【详解】，；17（本题满分10分）求【详解】由定积分的定义18（本题满分10分）已知函数是由方程【详解】在方程两边同时对求导，得 （1）在（1）两边同时对求导，得也就是令，得当时，；当时，当时，函数取极大值；当时，函数取极小值19（本题满分10分）设函数在区间上具有二阶导数，且，证明：（1）方程在区间至少存在一个实根；（2）方程在区间内至少存在两个不同实根证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件可知，存在，及，使得，由于在上连续，且，由零点定理，存在，使得，也就是方程在区间至少存在一个实根；（2）由条件可知，由（1）可知，由洛尔定理，存在，使得；设，由条件可知在区间上可导，且，分别在区间上对函数使用尔定理，则存在使得，也就是方程在区间内至少存在两个不同实根20（本题满分11分）已知平面区域，计算二重积分【详解】由于积分区域关于轴左右对称，所以由二重积分对称性可知所以其中利用瓦列斯公式，知21（本题满分11分）设是区间上的可导函数，且点是曲线上的任意一点，在点处的切线及轴相交于点，法线及轴相交于点若，求上的点的坐标满足的方程【详解】曲线过点的切线方程为，令，得；曲线过点的法线方程为，令，得由条件，可得微分方程标准形为，是个一阶齐次型微分方程设，方程化为，整理，得分离变量，两边积分，得由初始条件，得，确定常数所以曲线的方程为22（本题满分11分）设三阶矩阵有三个不同的特征值，且（1）证明：；（2）若，求方程组的通解【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以是非零矩阵，也就是假若时，则是矩阵的二重特征值，及条件不符合，所以有，又因为，也就是线性相关，也就只有（2）因为，所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于，所以基础解系为；又由，得非齐次方程组的特解可取为；方程组的通解为，其中为任意常数23（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵【详解】二次型矩阵因为二次型的标准形为也就说明矩阵有零特征值，所以，故令得矩阵的特征值为通过分别解方程组得矩阵的属于特征值的特征向量，属于特征值特征值的特征向量，的特征向量所以为所求正交矩阵第 7 页