2018年上海市春考数学试卷(含答案).docx

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式的解集为_；2、计算：；3、设集合，则；4、若复数（是虚数单位），则；5、已知是等差数列，若，则；6、已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为_；7、如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为_； 第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_（结果用数值表示）。9、设，若及的二项展开式中的常数项相等，则；10、设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是_；11、设，函数，若函数及的图像有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是_；12、如图，在正方形的边长为米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段及圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以1.5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长均为_秒（精确到0.1）.二选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A B C D14. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，及直线异面的直线的条数为（ ）A B C D 15. 若数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件16、已知、是平面内两个定点，且，该平面上的动线段的两个端点、满足：，则动线段所围成的面积为（ ）A、50 B、60 C、72 D、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17、已知（1） .若，且，求的值；（2） .求函数的最小值；18、已知，双曲线（1） .若点在上，求的焦点坐标；（2） .若，直线及相交于两点，若线段中点的横坐标为1，求的值；19.利用“平行及圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2及图3中，点、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线及轴的夹角的大小（精确到）.20.设，函数（1） .若，求的反函数（2） 求函数的最大值，（用表示）（3） 设，若对任意恒成立，求的取值范围？21.若是递增数列，数列满足：对任意，使得，则称是的“分隔数列”（1） 设，证明：数列是的分隔数列；（2） 设是的前项和，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；（3） 设是的前项和，若数列是的分隔数列，求实数的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二、选择题：13、A；14、C；15、D；16、B；三、解答题：17、（1）；（2）；18、（1）；（2）；19、（1）；（2）；20、解析：（1）；（2），设，则，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即；（3），设，因为，所以，则，若，1°当时，即，单调递减，所以，则，且，故满足，符合题意；2°当时，即，则，则，因为，故不符合题意，舍去；综上：。21、解析（1）依题意得，因为，于是，可得，故存在这样的，使得，所以数列是的分隔数列，得证；（2），又因为是的前项和，所以，假设数列是否是数列的分隔数列，则必定存在，使得，代入不并化简得：所以，又因为，所以，对于任意的，三个方程都不能确保一直偶整数解，故不符合定义，所以数列不是数列的分隔数列；另解：举出反例即可！1°当时，存在；2°当时，存在；3°当时，存在；4°当时，不存在；综上，数列不是数列的分隔数列；（3）因为是递增数列，所以，或；当时，则，不符合数列是的分隔数列，故舍去。当时，因为，代入并化简得：令，则，对任意的恒成立，则，而（恒成立），故数列是的分隔数列，且此时；当时，因为，代入并化简得：，因为单调递减，而，此时不存在，故这种情况，舍去；综上，或。第 5 页