2018年高考真题解答题专项训练：立体几何(文科)学生版.docx
2018年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）学生版1（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1及平面ABB1所成的角的正弦值2（2018年天津卷）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，BAD=90°（）求证：ADBC；（）求异面直线BC及MD所成角的余弦值；（）求直线CD及平面ABD所成角的正弦值3（2018年北京卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（）求证：PEBC；（）求证：平面PAB平面PCD；（）求证：EF平面PCD.4（2018年新课标1卷）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，ACM=90°，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA，求三棱锥Q-ABP的体积5（2018年新课标3卷）如图，矩形ABCD所在平面及半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由6（2018年新课标2卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点 （1）证明：PO平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离第 6 页参考答案1（）见解析；（）3913.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）【解析】分析:方法一：（）通过计算，根据勾股定理得AB1A1B1,AB1B1C1,再根据线面垂直的判定定理得结论，（）找出直线AC1及平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出AB1A1B1,AB1A1C1,再根据线面垂直的判定定理得结论，（）根据方程组解出平面ABB1的一个法向量，然后利用AC1及平面ABB1法向量的夹角的余弦公式及线面角及向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（）由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB得AB1=A1B1=22，所以A1B12+AB12=AA12.故AB1A1B1.由BC=2，BB1=2,CC1=1, BB1BC,CC1BC得B1C1=5，由AB=BC=2,ABC=120°得AC=23，由CC1AC，得AC1=13，所以AB12+B1C12=AC12，故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.（）如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1及平面ABB1所成的角.学科.网由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21得cosC1A1B1=67,sinC1A1B1=17，所以C1D=3，故sinC1AD=C1DAC1=3913.因此，直线AC1及平面ABB1所成的角的正弦值是3913.方法二：（）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1),因此AB1=(1,3,2),A1B1=(1,3,-2),A1C1=(0,23,-3),由AB1A1B1=0得AB1A1B1.由AB1A1C1=0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.（）设直线AC1及平面ABB1所成的角为.由（）可知AC1=(0,23,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),设平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=0,2z=0,可取n=(-3,1,0).所以sin=|cosAC1,n|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此，直线AC1及平面ABB1所成的角的正弦值是3913.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2()证明见解析；() ；() 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）【解析】分析：（）由面面垂直的性质定理可得AD平面ABC，则ADBC（）取棱AC的中点N，连接MN，ND由几何关系可知DMN（或其补角）为异面直线BC及MD所成的角计算可得则异面直线BC及MD所成角的余弦值为（）连接CM由题意可知CM平面ABD则CDM为直线CD及平面ABD所成的角计算可得即直线CD及平面ABD所成角的正弦值为详解：（）证明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABD=AB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC（）取棱AC的中点N，连接MN，ND又因为M为棱AB的中点，故MNBC所以DMN（或其补角）为异面直线BC及MD所成的角在RtDAM中，AM=1，故DM=因为AD平面ABC，故ADAC在RtDAN中，AN=1，故DN=在等腰三角形DMN中，MN=1，可得所以，异面直线BC及MD所成角的余弦值为（）连接CM因为ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CMAB，CM=又因为平面ABC平面ABD，而CM平面ABC，故CM平面ABD所以，CDM为直线CD及平面ABD所成的角在RtCAD中，CD=4在RtCMD中， 所以，直线CD及平面ABD所成角的正弦值为点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线及平面所成的角、平面及平面垂直等基础知识考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力3（）见解析（）见解析（）见解析【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）【解析】分析：（1）欲证PEBC，只需证明PEAD即可；（2）先证PD平面PAB，再证平面PAB平面PCD；（3）取PC中点G，连接FG,DG，证明EF/DG，则EF/平面PCD.详解：（）PA=PD，且E为AD的中点，PEAD.底面ABCD为矩形，BCAD，PEBC.（）底面ABCD为矩形，ABAD.平面PAD平面ABCD，AB平面PAD.ABPD.又PAPD, PD平面PAB，平面PAB平面PCD.（）如图，取PC中点G，连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点，FGBC，且FG=12BC.四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，EDBC,DE=12BC，EDFG，且ED=FG，四边形EFGD为平行四边形，EFGD.又EF平面PCD，GD平面PCD，EF平面PCD.点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.4(1)见解析.(2)1.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC=90，即BAAC，再结合已知条件BAAD，利用线面垂直的判定定理证得AB平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，BAC=90°，BAAC又BAAD，且ACAD=A，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32又BP=DQ=23DA，所以BP=22作QEAC，垂足为E，则QE = 13DC由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE=1因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13×QE×SABP=13×1×12×3×22sin45°=1点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.5（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【来源】2018年全国卷文数高考试题文档版【解析】分析：（1）先证ADCM,再证CMMD，进而完成证明。（2）判断出P为AM中点，证明MCOP，然后进行证明即可。详解：（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题。6解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=23连结OB因为AB=BC=22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45°所以OM=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以点C到平面POM的距离为455【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II）【解析】分析：（1）连接OB，欲证PO平面ABC，只需证明POAC,POOB即可；（2）过点C作CHOM，垂足为M，只需论证CH的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=23连结OB因为AB=BC=22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45°所以OM=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以点C到平面POM的距离为455点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
