2018年高考数学新课标3理科真题及答案.doc
1.(2018年新课标理)已知集合Ax|x10,B0,1,2,则AB( )A.0 B.1 C.1,2 D.0,1,2C 【解析】Ax|x10x|x1,则ABx|x10,1,21,2.2.(2018年新课标理)(1i)(2i)( )A.3i B.3i C.3i D.3iD 【解析】(1i)(2i)2i2ii23i.3.(2018年新课标理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件及某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A B C DA 【解析】由题意可知木构件及某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A.4.(2018年新课标理)若sin ,则cos 2( )A. B. C. D.B 【解析】cos 212sin212×.5.(2018年新课标理)5的展开式中x4的系数为( )A.10 B.20 C.40 D.80C 【解析】5的展开式的通项为Tr+1C(x2)5rr2rCx103r.由103r4,解得r2.5的展开式中x4的系数为22C40.6.(2018年新课标理)直线xy20分别及x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x2)2y22上,则ABP面积的取值范围是( )A.2,6 B.4,8 C.,3 D.2,3A 【解析】易得A(2,0),B(0,2),|AB|2.圆的圆心为(2,0),半径r.圆心(2,0)到直线xy20的距离d2,点P到直线xy20的距离h的取值范围为2r,2r,即,3.又ABP的面积S|AB|·hh,S的取值范围是2,6.7.(2018年新课标理)函数yx4x22的图象大致为( )A BC DD 【解析】函数过定点(0,2),排除A,B；函数的导数y4x32x2x(2x21),由y0解得x或0x,此时函数单调递增,排除C.故选D.8.(2018年新课标理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX2.4,P(X4)P(X6),则p( )A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,为独立重复事件,满足XB(10,p).由P(X4)P(X6),可得Cp4(1p)6Cp6(1p)4,解得p.因为DX2.4,所以10p(1p)2.4,解得p0.6或p0.4(舍去).9.(2018年新课标理)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C( )A. B. C. D.C 【解析】SABCabsin C,则sin Ccos C.因为0C,所以C.10.(2018年新课标理)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为( )A.12 B.18 C.24 D.54B 【解析】由ABC为等边三角形且面积为9,得SABC·|AB|29,解得AB6.设半径为4的球的球心为O,ABC 的外心为O,显然D在OO的延长线及球的交点处(如图).OC××62,OO2,则三棱锥DABC高的最大值为6,则三棱锥DABC体积的最大值为××6318.11.(2018年新课标理)设F1,F2是双曲线C:1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|OP|,则C的离心率为( )A. B.2 C. D.C 【解析】双曲线C的一条渐近线方程为yx,点F2到渐近线的距离db,即|PF2|b,|OP|a,cosPF2O.|PF1|OP|,|PF1|a.F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|·|F1F2|cosPF2O,即6a2b24c22×b×2c×4c23b24c23(c2a2),化简得3a2c2,e.12.(2018年新课标理)设alog0.20.3,blog20.3,则( )A.abab0 B.abab0 C.ab0ab D.ab0abB 【解析】alog0.20.3,blog20.3,ab,ab·.lg lg ,0,abab0.故选B.13.(2018年新课标理)已知向量a(1,2),b(2,2),c(1,).若c(2ab),则_. 【解析】(2ab)2(1,2)(2,2)(4,2),由c(2ab),得,解得.14.(2018年新课标理)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2,则a_.3 【解析】由y(ax1)ex,可得yaex(ax1)ex.y|x0a1,a12,解得a3.15.(2018年新课标理)函数f(x)cos在0,的零点个数为_.3 【解析】令f(x)cos0,得3xk(kZ),解得x(kZ).当k0时,x；当k1时,x；当k2时,x；当k3时,x.x0,x,或x,或x.f(x)的零点的个数为3.16.(2018年新课标理)已知点M(1,1)和抛物线C:y24x,过C的焦点且斜率为k的直线及C交于A,B两点.若AMB90°,则k_.2 【解析】抛物线的焦点为F(1,0),过A,B两点的直线方程为yk(x1).联立化简得k2x22(2k2)xk20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x21.y1y2k(x1x22),y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)14.M(1,1),(x11,y11),(x21,y21).AMB90°0,·0,即(x11)(x21)(y11)(y21)0,整理得x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20,12420,即k24k40,解得k2.17.(2018年新课标理)等比数列an中,a11,a54a3.（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和.若Sm63,求m.【解析】（1）设等比数列an的公比为q.由a11,a54a3,得1×q44×(1×q2),解得q±2.当q2时,an2n1；当q2时,an(2)n1.（2）当q2时,Sn.由Sm63,得63,mN,无解；当q2时,Sn2n1.由Sm63,得2m163,解得m6.18.(2018年新课标理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在7292之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在6585之间,第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79和81,m80.由此填写列联表如下:超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040（3）K2106.635,有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(2018年新课标文)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面及半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.（1）求证:平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB及面MCD所成二面角的正弦值.【解析】（1）证明:在半圆中,DMMC.正方形ABCD所在的平面及半圆弧所在平面垂直,AD平面DCM.又MC平面DCM,ADMC.又ADDMD,MC平面ADM.MC平面MBC,平面AMD平面BMC.（2）ABC的面积为定值,要使三棱锥MABC体积最大,则三棱锥的高最大,此时M为圆弧的中点.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.正方形ABCD的边长为2,A(2,1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的一个法向量为m(1,0,0).设平面MAB的一个法向量为n(x,y,z),则(0,2,0),(2,1,1).令x1,则y0,z2,n(1,0,2).cosm,n.设面MAB及面MCD所成的二面角为,则sin .20.(2018年新课标文)已知斜率为k的直线l及椭圆C:1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).（1）求证:k；（2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且0,求证:|,|,|成等差数列,并求该数列的公差.【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2).线段AB的中点为M(1,m),x1x22,y1y22m.将A(x1,y1),B(x2,y2)代入1中,化简得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0,即6(x1x2)8m(y1y2)0,k.点M(1,m)在椭圆内,即1(m0),解得0m.k.（2）证明:设(x3,y3),可得x1x22.0,F(1,0),x11x21x310,y1y2y30.x31,y3(y1y2)2m.m0,P在第四象限.y3,m,k1.|FA|2x1,|FB|2x2,|FP|2x3,则|FA|FB|4(x1x2)3.2|.联立化简得28x256x10.x1x22,x1x2.|x1x2|.该数列的公差d满足2d±|x1x2|±.该数列的公差为±.21.(2018年新课标理)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x.（1）若a0,求证:当1x0时,f(x)0；当x0时,f(x)0；（2）若x0是f(x)的极大值点,求a.【解析】（1）证明:当a0时,f(x)(2x)ln(1x)2x(x1),则f(x)ln(1x).令g(x)f(x)ln(1x),则g(x).当x(1,0)时,g(x)0；当x(0,)时,g(x)0.f(x)在(1,0)递减,在(0,)递增.f(x)f(0)0.f(x)(2x)ln(1x)2x在(1,)上单调递增.又f(0)0,当1x0时,f(x)0；当x0时,f(x)0.（2）由f(x)(2xax2)ln(1x)2x,得f(x)(12ax)ln(1x)2.令h(x)ax2x(12ax)(1x)ln(1x),则h(x)4ax(4ax2a1)ln(1x).当a0,x0时,h(x)0,h(x)单调递增.h(x)h(0)0,即f(x)0.f(x)在(0,)上单调递增,x0不是f(x)的极大值点,不合题意.当a0时,令u(x)h(x)4ax(4ax2a1)ln(1x),则u(x)8a4aln(1x),显然u(x)单调递减.令u(x)0,解得a.当1x0时,u(x)0；当x0时,u(x)0.h(x)在(1,0)上单调递增,在(0,)上单调递减.h(x)h(0)0,则h(x)在(0,)上单调递减.又h(0)0,当1x0时,h(x)0,即f(x)0；当x0时,h(x)0,即f(x)0.f(x)在(1,0)上单调递增,在(0,)上单调递减.x0是f(x)的极大值点,符合题意.若a0,则u(x)16a0,u(2a1)(1e)0,u(x)0在(0,)上有唯一一个零点,设为x0.当0xx0时,u(x)0,h(x)单调递增,h(x)h(0)0,即f(x)0.f(x)在(0,x0)上单调递增,不合题意；若a,则u(x)16a0,u(12a)e20,u(x)0在(1,0)上有唯一一个零点,设为x1.当x1x0时,u(x)0,h(x)单调递减,h(x)h(0)0,h(x)单调递增,h(x)h(0)0,即f(x)0.f(x)在(x1,0)上单调递减,不合题意.综上,a.22.(2018年新课标理)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,)且倾斜角为的直线l及O交于A,B两点.（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.【解析】（1）将O的参数方程化为普通方程,得为x2y21,圆心为O(0,0),半径r1.当时,过点(0,)且倾斜角为的直线l的方程为x0,成立；当时,过点(0,)且倾斜角为的直线l的方程为ytan ·x.直线l及O交于A,B两点,圆心O(0,0)到直线l的距离d1.tan21,解得tan 1或tan 1.或.综上,的取值范围为.（2）由（1）知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为xm(y).设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3).联立化简得(m21)y22m2y2m210.y1y2,y1y2.x1x2m(y1)m(y2)2m,x3,y3.AB中点P的轨迹的参数方程为(m为参数),(1m1).23.(2018年新课标理)设函数f(x)|2x1|x1|.（1）画出yf(x)的图象；（2）当x0,)时,f(x)axb,求ab的最小值.【解析】（1）当x时,f(x)(2x1)(x1)3x；当x1,f(x)(2x1)(x1)x2；当x1时,f(x)(2x1)(x1)3x.f(x)对应的图象如图所示.（2）当x0,)时,f(x)axb.当x0时,f(0)20·ab,b2；当x0时,要使f(x)axb恒成立,则f(x)的图象恒在直线yaxb的下方或在直线上.f(x)的图象及y轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,当且仅当a3且b2时,不等式f(x)axb在0,)上成立,ab的最小值为5.第 9 页
