离散数学试题及答案17682.doc

离散数学试题及答案一、填空题 1 设集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 则A - B_3_; r(A) - r(B) _3，1，3，2,3,1,2,3_ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |r(A×A)| = _2(n2)_.3. 设集合A = a, b, B = 1, 2, 则从A到B的所有映射是_A1 = (a,1), (b,1), A2 = (a,2), (b,2), A3 = (a,1), (b,2), A4 = (a,2), (b,1),_ _, 其中双射的是_A3, A4_.4. 已知命题公式GØ(P®Q)R，则G的主析取范式是_PØQR (m5)_.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为_12_，分枝点数为_3_.6 设A、B为两个集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 则从AÇB_4_; AÈB_1,2,3,4_;AB _1,2_ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是_自反性_, _对称性_, _传递性_.8. 设命题公式GØ(P®(QÙR)，则使公式G为真的解释有_（1,0,0）_，_(1,0,1)_, _(1,1,0)_.9. 设集合A1,2,3,4, A上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 则R1·R2 = _(1,3),(2,2),(3,1)_,R2·R1 =_(2,4), (3,3), (4,2)_,R12 =_(2,2), (3,3)_.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |r(A´B)| = _2(m*n)_.11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = x | -1x1, xÎR, B = x | 0x < 2, xÎR,则A-B = _x | -1 x < 0, x R_ , B-A = _x | 1 < x < 2, x R_ , AB = _x | 0 x 1, x R_ , .13. 设集合A2, 3, 4, 5, 6，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为_ _(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)_. 14. 设一阶逻辑公式G = "xP(x)®$xQ(x)，则G的前束范式是_$y$x(P(y)®Q(x)_ _.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_21_条边才能把G变成完全图。16. 设谓词的定义域为a, b,将表达式"xR(x)$xS(x)中量词消除，写成及之对应的命题公式是_(R(a)R(b)(S(a)S(b)_.17. 设集合A1, 2, 3, 4，A上的二元关系R(1,1),(1,2),(2,3), S(1,3),(2,3),(3,2)。则R×S_(1, 3),(2, 2)_, R2_(1, 1),(1, 2),(1, 3)_.二、选择题1 设集合A=2,a,3,4，B = a,3,4,1，E为全集，则下列命题正确的是( C )。(A)2ÎA (B)aÍA (C)ÆÍaÍBÍE (D)a,1,3,4ÌB.2 设集合A=1,2,3,A上的关系R(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)，则R不具备( D ).(A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)反对称性1234563 设半序集(A,)关系的哈斯图如下所示，若A的子集B = 2,3,4,5,则元素6为B的( B )。(A)下界 (B)上界(C)最小上界 (D)以上答案都不对4 下列语句中，( B )是命题。(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？5 设I是如下一个解释：Da,b, 则在解释I下取真值为1的公式是( D ).(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G$xP(x), H"xP(x),则一阶逻辑公式G®H是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.8 设命题公式GØ(P®Q)，HP®(Q®ØP)，则G及H的关系是( A )。(A)GÞH (B)HÞG (C)GH (D)以上都不是.9 设A, B为集合，当( D )时ABB.(A)AB(B)AÍB(C)BÍA(D)ABÆ.10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则R具有( B )。(A)自反性 (B)传递性(C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。(A)aÎa,b,c (B)aÍa,b,c(C)ÆÎa,b,c (D)a,bÎa,b,c12 命题"xG(x)取真值1的充分必要条件是( A ).(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( A ).(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( A )条边可以得到树.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数及边数分别为( D ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R为整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2. 设集合A1, 2, 3, 4，A上的关系R(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y, 求 (1) 画出R的关系图；(2) 写出R的关系矩阵.3. 设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,试求复合映射st，ss, sj, jt，sjt.(1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. 设I是如下一个解释：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0.(2) "x$y P (y, x)."x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R为A上整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) 写出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. 设命题公式G = Ø(PQ)(Q(ØPR), 求G的主析取范式。7. (9分)设一阶逻辑公式：G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)，把G化成前束范式.G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(x)ØQ(y)R(z)9. 设R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元关系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)； r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (PQ)(ØPQR) (2) H = (P(QR)(Q(ØPR)G(PQ)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)m6m7m3å (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(ØPR)(PQ)(QR)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)(PQR)(ØPQR)(PQØR)(ØPQR)(PQR)m6m3m7å (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. 设R和S是集合Aa, b, c, d上的关系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 试写出R和S的关系矩阵；(2) 计算RS, RS, R1, S1R1.RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四、证明题1. 利用形式演绎法证明：PQ, RS, PR蕴涵QS。证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PRP(2) ØRPQ(1)(3) PQP(4) ØRQQ(2)(3)(5) ØQRQ(4)(6) RSP(7) ØQSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC).证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3. (本题10分)利用形式演绎法证明：ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD。证明：ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD(1) AD(附加)(2) ØABP(3) BQ(1)(2)(4) ØCØBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD.4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：A(AB) = (AB)B .证明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)Æ(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)Æ= AB所以：A(AB) = (AB)B.离散数学试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：A®CÅD，Ø(BC)，C®ØD必须同时成立。因此(A®CÅD)Ø(BC)(C®ØD)Û(ØA(CØ D)(ØCD)(ØBØC)(ØCØD)Û(ØA(CØ D)(ØCD)(ØBØC)(ØBØD)ØC(ØCØD)Û(ØAØBØC)(ØAØBØD)(ØAØC)(ØAØCØD)(CØ DØBØC)(CØ DØBØD)(CØ DØC)(CØ DØCØD)(ØCDØBØC)(ØCDØBØD)(ØCDØC)(ØCDØCØD)ÛFF(ØAØC)FF(CØ DØB)FF(ØCDØB)F(ØCD)FÛ(ØAØC)(ØBCØ D)(ØCDØB)(ØCD)Û(ØAØC)(ØBCØ D)(ØCD)ÛT故有三种派法：BD，AC，AD。二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为：下面给出证明：(1)() P(2)(c) T(1)，ES(3)()() P(4)( c)( c) T(3)，US(5)( c) T(4)，I(6)( c)(c) T(2)(5)，I(7)()() T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AÌBÞØ(BÌA)。证明：AÌBÛ"x(xAxB)$x(xBxÏA)Û"x(xÏAxB)$x(xBxÏA)ÛØ$x(xAxÏB)Ø"x(xÏBxA)ÞØ$x(xAxÏB)Ø"x(xAxÏB)ÛØ($x(xAxÏB)"x(xAxÏB)ÛØ($x(xAxÏB)"x(xBxA)ÛØ(BÌA)。四、（15分）设A1，2，3，4，5，R是A上的二元关系，且R<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，求r(R)、s(R)和t(R)。解 r(R)RIA<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>s(R)RR1<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>R2<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>R3<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>R4<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>R2t(R)Ri<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>。五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。证明 对任意的x、yA，若xr(R)y，则由r(R)RIA得，xRy或xIAy。因R及IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。下证对任意正整数n，Rn对称。因R对称，则有xR2yÛ$z(xRzzRy)Û$z(zRxyRz)ÛyR2x，所以R2对称。若对称，则xyÛ$z(xzzRy)Û$z(zxyRz)Ûyx，所以对称。因此，对任意正整数n，对称。对任意的x、yA，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。六、（10分）若f：AB是双射，则f1：BA是双射。证明 因为f：AB是双射，则f1是B到A的函数。下证f1是双射。对任意xA，必存在yB使f(x)y，从而f1(y)x，所以f1是满射。对任意的y1、y2B，若f1(y1)f1(y2)x，则f(x)y1，f(x)y2。因为f：AB是函数，则y1y2。所以f1是单射。综上可得，f1：BA是双射。七、（10分）设<S，*>是一个半群，如果S是有限集，则必存在aS，使得a*aa。证明 因为<S，*>是一个半群，对任意的bS，由*的封闭性可知，b2b*bS，b3b2*bS，bnS，。因为S是有限集，所以必存在ji，使得。令pji，则*。所以对qi，有*。因为p1，所以总可找到k1，使得kpi。对于S，有*(*)*。令a，则aS且a*aa。八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l3)，则G的边数m及结点数n有如下关系：m(n2)。证明 设G有r个面，则2mlr。由欧拉公式得，nmr2。于是， m(n2)。（2）设平面图G<V，E，F>是自对偶图，则| E|2(|V|1)。证明 设G*<V*，E*>是连通平面图G<V，E，F>的对偶图，则G* G，于是|F|V*|V|，将其代入欧拉公式|V|E|F|2得，|E|2(|V|1)。离散数学试题（B卷及答案）一、（10分）证明(PQ)(P®R)(Q®S)SR证明 因为SRÛØR®S，所以，即要证(PQ)(P®R)(Q®S)ØR®S。(1)ØR 附加前提(2)P®R P(3)ØP T(1)(2)，I(4)PQ P(5)Q T(3)(4)，I(6)Q®S P(7)S T(5)(6)，I(8)ØR®S CP(9)SR T(8)，E二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为："x(P(x)®(A(x)B(x)，"x(A(x)®Q(x)，Ø"x(P(x)®Q(x)$x(P(x)B(x)。(1)Ø"x(P(x)®Q(x) P(2)Ø"x(ØP(x)Q(x) T(1)，E(3)$x(P(x)ØQ(x) T(2)，E(4)P(a)ØQ(a) T(3)，ES(5)P(a) T(4)，I(6)ØQ(a) T(4)，I(7)"x(P(x)®(A(x)B(x) P(8)P(a)®(A(a)B(a) T(7)，US(9)A(a)B(a) T(8)(5)，I(10)"x(A(x)®Q(x) P(11)A(a)®Q(a) T(10)，US(12)ØA(a) T(11)(6)，I(13)B(a) T(12)(9)，I(14)P(a)B(a) T(5)(13)，I(15)$x(P(x)B(x) T(14)，EG三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：|A|12，|B|6，|C|14，|AC|6，|BC|5，|ABC|2，|(AC)B|6。因为|(AC)B|(AB)(BC)|(AB)|(BC)|ABC|(AB)|526，所以|(AB)|3。于是|ABC|12614653220，25205。故，不会打这三种球的共5人。四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如Ai¢(Ai¢为Ai或)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。证明 小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、sr(r8)。对任意的aU，则aAi或a，两者必有一个成立，取Ai¢为包含元素a的Ai或，则aAi¢，即有asi，于是UÍsi。又显然有siÍU，所以Usi。任取两个非空小项sp和sq，若spsq，则必存在某个Ai和分别出现在sp和sq中，于是spsqÆ。综上可知，s1，s2，sr是U的一个划分。五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的ÛR*RÍR。证明 (5)若R是传递的，则<x，y>R*RÞ$z(xRzzSy)ÞxRccSy，由R是传递的得xRy，即有<x，y>R，所以R*RÍR。反之，若R*RÍR，则对任意的x、y、zA，如果xRz且zRy，则<x，y>R*R，于是有<x，y>R，即有xRy，所以R是传递的。六、（15分）若G为连通平面图，则nmr2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。证明 对G的边数m作归纳法。当m0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n1，r1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G¢，并设其结点数、边数和面数分别为n¢、m¢和r¢。对e分为下列情况来讨论：若e为割边，则G¢有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1n2n¢n，m1m2m¢m1，r1r2r¢1r1。由归纳假设有n1m1r12，n2m2r22，从而(n1n2)(m1m2)(r1r2)4，n(m1)(r1)4，即nmr2。若e不为割边，则n¢n，m¢m1，r¢r1，由归纳假设有n¢m¢r¢2，从而n(m1)r12，即nmr2。由数学归纳法知，结论成立。七、（10分）设函数g：AB，f：BC，则：(1)fog是A到C的函数；(2)对任意的xA，有fog(x)f(g(x)。证明 (1)对任意的xA，因为g：AB是函数，则存在yB使<x，y>g。对于yB，因f：BC是函数，则存在zC使<y，z>f。根据复合关系的定义，由<x，y>g和<y，z>f得<x，z>g*f，即<x，z>fog。所以DfogA。对任意的xA，若存在y1、y2C，使得<x，y1>、<x，y2>fogg*f，则存在t1使得<x，t1>g且<t1， y1>f，存在t2使得<x，t2>g且<t2，y2>f。因为g：AB是函数，则t1t2。又因f：BC是函数，则y1y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。综上可知，fog是A到C的函数。(2)对任意的xA，由g：AB是函数，有<x，g(x)>g且g(x)B，又由f：BC是函数，得<g(x)，f(g(x)>f，于是<x，f(g(x)>g*ffog。又因fog是A到C的函数，则可写为fog(x)f(g(x)。八、（15分）设<H，*>是<G，*>的子群，定义R<a，b>|a、bG且a1*bH，则R是G中的一个等价关系，且aRaH。证明 对于任意aG，必有a1G使得a1*aeH，所以<a，a>R。若<a，b>R，则a1*bH。因为H是G的子群，故(a1*b)1b1*aH。所以<b，a>R。若<a，b>R，<b，c>R，则a1*bH，b1*cH。因为H是G的子群，所以(a1*b)*(b1*c)a1*cH，故<a，c>R。综上可得，R是G中的一个等价关系。对于任意的baR，有<a，b>R，a1*bH，则存在hH使得a1*bh，ba*h，于是baH，aRÍaH。对任意的baH，存在hH使得ba*h，a1*bhH，<a，b>R，故aHÍaR。所以，aRaH。第 10 页