高三圆锥曲线复习基础和大题含答案.doc

考纲要求（1）圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； 了解圆锥曲线的简单应用； 理解数形结合的思想。（2）曲线及方程了解方程的曲线及曲线的方程的对应关系。基本知识回顾（1）椭圆 椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a| F1F2|)。 椭圆的标准方程和几何性质焦点在x轴上的椭圆焦点在y轴上的椭圆标准方程+=1（ab0）+=1（ab0）范围图形对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点顶点轴长轴A1A2的长为：2a 短轴B1B2的长为：2b焦距F1F2=2c离心率a,b,c关系例题例1：椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 。变式1：已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 。 例2：若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ）Ay2=xBy2=xCy2=16xDy2=32x变式2：动圆及定圆A：(x+2)2+y2=1外切，且及直线lx=1相切，则动圆圆心P的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）A BC D 变式4：在抛物线y2=2x上有一点P，若 P到焦点F及到点A（3，2）的距离之和最小，则点P的坐标是 。课后作业1已知椭圆+=1, F1、F2分别为它的左右焦点，CD为过F1的弦，则F2CD的周长是（ ）A10 B12 C16 D不能确定2设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD3已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A2 B3 C D 答案：例题例1、2，120°解：，又， 又由余弦定理，得，故应填2，120°。变式1、3解：依题意，有， 可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。例2、C 变式2、D 变式3、D 变式4、（2,2）课后作业1C 2B 3解：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。（2）双曲线 双曲线的定义平面内及两个定点F1、F2（称为焦点）的距离的差的绝对值等于常数2a (02a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,符号表示：|PF1|PF2|=2a (02a|F1F2|)。 双曲线的标准方程和几何性质焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线标准方程=1（a0,b0）=1（a0,b0）范围图形对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点顶点轴实轴A1A2的长为：2a 虚轴B1B2的长为：2b焦距F1F2=2c离心率a,b,c关系例题 例3：如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）A B C D变式5：双曲线的一个焦点为，那么的值是（ ）A1 B1 C D 变式6：曲线的离心率e(1, 2)，则k的取值范围是（ ）A(, 0) B(3, 0) C(12, 0) D(60, 12)例4：设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ） A B C D3变式7：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 变式8：设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）AB C D变式9：双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A(1,3)BC(3,+)D例5：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D变式10：已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·（ ） A12 B2 C0 D4变式11：双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）A B2 C D1答案：例题例3、C 变式5、B 变式6、C例4、B 解：由有,则,故选B。变式7、B，解：因为，再由有，从而可得，故选B。变式8、B 变式9、B例5、C解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为变式10、C解：由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，变式11、解：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A（3）抛物线 抛物线的定义平面内及一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线（定点F不在定直线l上）。 抛物线的标准方程和几何性质标准方程图形l yo F xy lF o xyFo xlylo xF顶点坐标原点O（0，0）对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点离心率e=1准线方程 知识拓展抛物线焦点弦的性质设AB是过抛物线焦点F的弦，若，则1.，；2.弦长丨AB丨=(为弦AB的倾斜角)；3.；4.以弦AB为直径的圆及准线相切；5.A，O及B在准线上的射影B三点共线，B，O及A在准线上的射影A三点共线。例题例6：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，及抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长是 。变式12：抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是 变式13：设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆及抛物线的准线的位置关系是（ ） A相交B相切C相离D以上答案均有可能变式14：过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ 课后作业1若双曲线的离心率为2，则等于（ ）A2 B C D12双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD3已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。4已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（ ）ABCD5抛物线的焦点坐标是（）A（2，0） B（，0） C（4，0） D（，0）6设分别是双曲线的左、右焦点。若点在双曲线上，且，则（ ）A B CD7已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点。若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 8已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（ ）ABCD答案：例题例6、8变式12、2 变式13、B变式14、2，解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。课后作业1解：由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D。2B 334A 5解：由,易知焦点坐标是，故选B。6B 7D，对于椭圆，因为，则 8C解圆锥曲线常用方法（1）韦达定理的应用例题例1：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上（1）求椭圆的方程；（2）设直线及椭圆和抛物线相切，求直线的方程课后作业1、双曲线的渐近线及圆相切，则r=（ ） A B2 C3 D62、设双曲线的一条渐近线及抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A B5 C D3、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且及椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D答案：例1、解：(1):依题意：c=1,1分则：,2分设椭圆方程为：3分将点坐标代入，解得：4分所以 故椭圆方程为：5分（2）设所求切线的方程为：6分消除y7分化简得：8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：消除y得： 9分化简得： 10分将代入解得：解得：12分故切线方程为：14分课后作业1、A2、D 解：双曲线的一条渐近线为,由方程组 ,消去y,得有唯一解,所以,所以, ,故选D。 3、解：设由ABF2是正三角形知所以椭圆的离心率，故选A。（2）圆锥曲线弦长问题例题例2：已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为。（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l及椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。课后作业1、设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点P(0,2)且及椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。答案：例题例2、解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ，所求椭圆方程为。（2）设，。当轴时，。当及轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述。当最大时，面积取最大值课后作业1、解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以，因为,a>1, 若a, 则1，当时，|PQ|取最大值；若1<a<，则当y=1时， |PQ|取最大值2。2、解：设椭圆方程为（1）由已知得所求椭圆方程为。（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：由直线及椭圆相交于A、B两点，解得又由韦达定理得原点到直线的距离令，则当且仅当即时，此时。 所以，所求直线方程为（3）圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。1在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；2在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；3在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。例3、对于双曲线，过点能否作直线，使及双曲线交于两点，且点 是的中点。例4、椭圆的一个焦点是 ，且截直线 ，所得弦 的中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程。课后作业1、如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 2、已知直线y=x+1及椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为 3、已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x及抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 4、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（1）求过点O、F，并且及椭圆的左准线相切的圆的方程；（2）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。答案：例3、解：假设存在直线m，设，则（1）（2）得： m的方程为：即由 得 m及已知双曲线无交点，即假设不成立， m不存在。例4、解：设所求椭圆方程为（ab0），由，得，将及 （ab0）联立消去y得设，则，解出、，所求椭圆方程为 +=1。课后作业1、2、3、 解：设抛物线为，及联立方程组，消去y，得：，故4、解：（1），,圆过点O、F， 圆心M在直线上。设则圆半径。由得解得。所求圆的方程为。（2）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记中点则线段AB的中点N在直线上，或当直线AB及轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。直线AB的方程是或分类题型类型一：三角形面积例1：已知椭圆 （）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，椭圆及直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求的面积.例1：解：（）由题意， 又，所以，所以椭圆的方程为. 4分（）设，联立 消去得（*）， 6分解得或，所以，所以， 8分由直线斜率为，则，解得（满足（*）式判别式大于零）10分到直线的距离为，所以 ， 所以的面积为. 13分练习1：已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线及圆交于，两点（I）若，求直线的方程；（）若及的面积相等，求直线的斜率练习1：解：（）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线： 因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于 所以 ， 得 所以 直线的方程为或6分（）因为及的面积相等，所以， 设 ，所以 ，所以 即（*）； 因为，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ，所以 所以 直线的斜率， 即.13分类型二：及圆的知识结合例2：已知椭圆的长轴为4，且点在该椭圆上。（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程。例2：解：（）由题意：，所求椭圆方程为 又点在椭圆上，可得所求椭圆方程为 5分（）由（）知，所以，椭圆右焦点为因为以为直径的圆过原点，所以若直线的斜率不存在，则直线的方程为 直线交椭圆于两点， ，不合题意若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为由可得由于直线过椭圆右焦点，可知设，则，所以由，即，可得所以直线方程为 14分练习2：已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为 （）求椭圆C的标准方程；（）若直线：及椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标练习2：解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4分）由方程组消去，得 6分由题意，整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆右顶点为 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分类型三：中点问题例3：若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴的一个端点及左右焦点、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为.()求椭圆的方程；() 过点作直线及椭圆交于、两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.例3：解：()设椭圆的方程为 1 分由 4 分所以，椭圆的方程为 5 分当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率；6 分当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为 7 分由联立消去并整理得：设，则 10分当时，的中点为坐标原点，直线的斜率； 11 分当时， 且13 分综上所述，直线的斜率的取值范围是. 14 分练习3：在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点（）求曲线的方程；（）证明：曲线在点处的切线及平行；（）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围（）解：由已知，动点到定点的距离及P到直线的距离相等 由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线 所以曲线的方程为 3分（）证明：设，由得 所以， 设，则因为轴， 所以点的横坐标为 由，可得 所以当时， 所以曲线在点处的切线斜率为，及直线平行8分（）解：由已知， 设直线的垂线为： 代入，可得 （*） 若存在两点关于直线对称，则，又在上，所以， 由方程（*）有两个不等实根所以，即 所以，解得或13分类型四：及向量知识结合 例4：已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.（1） 求椭圆C的方程；（2） 若直线及椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.解：（1）由题意可得： =1 所求的椭圆方程为：（2）设 由 得：解得：由 可得：，即整理得：把（*）代入得： 即：解得：综上：练习4：在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.其中F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1及C2在第一象限的交点，且.（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线lMN，且及C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。类型五：最值问题例5：已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，一个焦点的坐标为 （I）求椭圆C方程；（II）设直线及椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点T当变化时，求面积的最大值解：（）由：知1分设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是5分消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为 7分（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以及的斜率相同，故的斜率设的方程为 8分由 消去并化简得 10分设，.11分因为，所以 12分所以此时，故所求直线的方程为，或 14分解法一：（I）依题意，设椭圆C的方程为 :3分 4分椭圆C的方程是 5分 （II）设，AB中点为 11分 13分当，即时，取得最大值为 14分解法二：（I）同解法一 （II）设，AB中点为 8分10分的方程为令，得， 9分设AB交轴及点R,则 11分 13分当，即时，取得最大值为14分类型六：存在性问题已知双曲线中，且双曲线及椭圆4x29y236有公共焦点.()求双曲线的标准方程；(II) 在双曲线右支上是否存在一点P，使，其中、分别为双曲线的左右焦点，若存在求的值，若不存在，请说明理由答案：解：() y21 （） (2007广东文19)平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆及直线相切于坐标原点O.椭圆1及圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10(1)求圆C的方程. (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 略（2008广东理）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，及抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）解：（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线及抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。类型七：轨迹方程问题例题：已知的周长为6，点。（）求动点A的轨迹C的方程；（）过点且斜率为1的直线及点A的轨迹C交于P、Q两点，O为坐标原点，求的面积。答案：() （II）高考链接（一）小题 1、（2007广东理11）在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 2、（2008广东理11）经过圆的圆心，且及直线垂直的直线方程是 3、（2009广东理11）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为_4、（2010广东理12）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且及直线x+y=0 相切，则圆O的方程是 5、（2012广东理12）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。（二）解答题：理科1、(2007广东理18)平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆及直线相切于坐标原点O.椭圆1及圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10(1)求圆C的方程. (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2、(2008广东理18)设b>0，椭圆方程为，抛物线方程为，如图4所示，过点F(0,b+2)作轴的平行线，及抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）3、(2009广东理19)已知曲线C：及直线l：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L及线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，设点是L上的任一点，且点P及点A和点B均不重合，(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；(2)若曲线G：及D有公共点，试求a的最小值4、(2010广东理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点(1)求直线及交点的轨迹的方程；(2)若过点 的两条直线和及轨迹E都只有一个交点，且，求 的值5、(2010广东理21)设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为：，对于平面上给定的不同两点，(1)若点是平面上的点，试证明：；(2)在平面上是否存在点，同时满足若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明6、(2011广东理19)设圆及两圆，中的一个内切，另一个外切(1)求的圆心轨迹的方程；(2)已知点，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标7、(2011广东理21)在平面直角坐标系上，给定抛物线：实数，满足，是方程的两根，记(1)过点 作的切线交轴于点证明：对线段上的任一点，有；(2)设是定点，其中，满足，过作的两条切线，切点分别为，及轴分别交于，线段上异于两端点的点集记为证明：；(3)设当点取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为) 8、（2012广东理20）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1及圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。文科1、（2013年文科20题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为；（2）设点,，由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为，即. 点在切线上, . 同理， . 综合、得，点的坐标都满足方程 . 经过两点的直线是唯一的，直线 的方程为，即；（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为 2、（2012年文科20题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点，且在在上。（1）求的方程；（2）设直线同时及椭圆和抛物线相切，求直线的方程【解析】（1）由题意得：故椭圆的方程为： （2）设直线，直线及椭圆相切 直线及抛物线相切，得：不存在 设直线 直线及椭圆相切两根相等直线及抛物线相切两根相等 解得：或3、（2011年文科21题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行及y轴的直线l1及轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。21（本小题满分14分）解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为分析的变化范围，设为上任意点由 （即）得，故的轨迹方程为综合和得，点M轨迹E的方程为（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：当时，过作垂直于的直线，垂足为，交E1于。再过H作垂直于的直线，交因此，（抛物线的性质）。（该等号仅当重合（或H及D重合）时取得）。当时，则综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。设故的方程得：因判别式所以及E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知，若及E2有交点，则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。因此，直线的取值范围是4、（2010年文科21题）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出及轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离及线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设及为两个给定的不同的正整数，及是满足（2）中条件的点的坐标，【解析】（1），的切线斜率，的方程为，当x=0时，；（2）原点O到的距离，此时，；（3）而，得证。5、（2009年文科19题）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为（3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.6、（2007年文科19题）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆及直线相切于坐标原点，椭圆及圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解: (1) 设圆C 的圆心为 (m，n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为 ， 右焦点为 F( 4，0) ； 假设存在Q点使， 整理得 代入 得:因此不存在符合题意的Q点7、（2008年文科20题）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，及抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线及抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。第 32 页