高三物理一轮复习精品教案第8章简谐运动机械波.doc

第八章：简谐运动、机械波 机械振动和机械波这一部分概念较多，考点较多，对图象要求层次较高，因而高考试题对本部分内容考查的特点是试题容量较大，综合性较强，一道题往往要考查力学的多个概念或者多个规律。因此，在复习本部分时，应注意概念的理解和记忆、应注意机械振动及牛顿定律、动量守恒定律、机械能守恒定律的综合应用。在理解和掌握简谐运动的运动学特征和动力学特征的基础上，进而掌握机械波的相关知识。本部分高考题多以选择题、填空题形式出现，但试题信息量大，一道题中考查多个概念、规律，尤其注重对波的考查。例如：2000年高考第7题，由动态波形判定、T、V、A等量，以检查学生的理解能力、推理能力和空间想象能力；2001年高考题第9题考查单摆及机械能的综合问题、理综第20题将波动图象和振动图像结合起来考查综合运用知识的能力；2003年全国物理第7题考查对振动图像理解、上海物理试题则考查波的形成和波的图像的描绘；2004年各种物理试卷和理科综合试卷中都含有这一部分知识的考题，特别是上海卷第13题要求学生作出两列波长不同的波叠加以后的波形，将这一部分试题的难度推到了顶峰！但从历年的高考得分情况来看，这一部分试题的难度还是较低的，因此同学们只要弄清下面所讲的相关问题，得到这一部分试题的分数是不困难的。 夯实基础知识 一机械振动 1、定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动。简称振动。其特点是具有往复性、重复性和周期性。 2、振动的特点： 存在某一中心位置； 往复运动 2、产生振动的条件： （1）受到一个始终指向平衡位置的回复力的作用 （2）振动过程中的阻力足够小 说明： 回复力：是指振动物体所受到的指向平衡位置的力。 a：是由作用效果来命名的。可由任意性质的力提供，可以是几个力的合力也可以是一个力的分力 它可以重力、弹力或者摩擦力或者几个力的合力（如弹簧振子），甚至是某一个力的分力（如单摆）。 b：回复力时刻指向平衡位置 c：在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零，如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零。 d：回复力的作用效果总是将物体拉回平衡位置，从而使物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。 平衡位置：平衡位置是指物体在振动中所受的回复力为零的位置，也是振动停止后，振动物体所在位置，平衡位置通常在振动轨迹的中点。"平衡位置"不等于"平衡状态"。此时振子未必一定处于平衡状态。比如单摆经过平衡位置时，虽然回复力为零，但合外力并不为零，还有向心力 3描述振动的物理量： （1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段 物体振动时的位移总是相对于平衡位置而言的，振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置总是背离平衡位置向外。大小为这两位置间的直线距离。 是矢量，其最大值等于振幅；始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；位移随时间的变化图线就是振动图象 （2）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。 是标量，没有方向，是一个正数。质点在做简谐振动时，振幅不变。 它是描述振动强弱的物理量。 （3）周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T，它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f。 二简谐运动 1、简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。 式中x指振动物体相对于平衡位置的位移，起点在平衡位置，终点随物体的所在位置而变化、方向始终由平衡位置指向物体所在位置，如图所示弹簧振子位移的示意图。 2、简谐运动的特征是： （1）受力特征： 从动力学角度看，简谐运动的特征表现在所受到的回复力的形式上：简谐运动的质点所受到的回复力F其方向总及质点偏离平衡位置的位移x的方向相反，从而总指向平衡位置；其大小则总及质点偏离平衡位置的位移x的大小成正比，即 动力学特征也是判断某机械运动是否为简谐运动的依据 （2）运动学特征： ，此式表明加速度也跟位移大小成正比，并总指向平衡位置。由此可见，简谐运动是一变加速运动，且加速度和速度都在做周期性的变化。 简谐振动是一种周期性运动，相关物理量也随时间作周期性变化，其中位移、速度、加速度、回复力都为矢量，随时间作周期性变化；而动能和势能为标量，变化周期为 （3）能量特征：振幅确定振动物体的能量，在振动的过程中只发生动能和势能的转化，总的机械能守恒。 （4）对称特征：关于平衡位置对称的两点等物理量的大小相等，此外还体现在过程量上的相等，如从某点到平衡位置的时间和从平衡位置到及该点关于平衡位置对称点的时间相同等等 3、简谐运动的规律： （1）弹簧振子：一个可作为质点的小球及一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子。一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖直的弹簧振子)提供的。弹簧振子及质点一样，是一个理想的物理模型。 （2）弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，及振幅无关，也及弹簧振动情况无关。(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上) （3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。 （4）振动过程中各物理量的变化情况 如图所示是一个弹簧振子的振动，O点为平衡位置，AA'分别是左、右两端的最大位移处，振子的振动可以分成四个阶段： 四个阶段中，振子的位移，回复力、速度和加速度的变化如下表： 在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。 在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大 （5）周期性： 每经过一个周期，描述振动的物理量大小和方向都恢复到原来状态，振动质点都以相同的方向通过原位置。 振动质点在一个周期内通过的路程为4A，半个周期通过的路程为2A，但四分之一周期通过的路程也能大于A也可能等于A也可能小于A，这要看从何位置开始计时。 4、简谐运动的判断方法：通常可以利用简谐运动的动力学特征去判断某质点的运动是否是简谐运动，其具体的判断方法是分为两个步骤： 首先找到运动质点的平衡位置，即运动过程中所达到的受到的合力为零的位置，以该位置为坐标原点，沿质点运动方向过立坐标；其次是在质点运动到一般位置（坐标值为x）处时所受到的回复力F，如F可表为 则运动是简谐的，否则就不是简谐运动。 4匀速圆周运动及简谐运动的关系。 匀速圆周运动的投影是简谐运动 如图所示，当质点m沿半径A的圆，以角速度做匀速圆周运动时，一束平行光的照射下，质点在水平地面上的投影将在O点附近往复运动，做圆周运动的质点所受到的向心力大小为 其投影相当于受到的大小为的回复力的振动，考虑到cos= 其F的方向及投影偏离"平衡位置"O点的位移x的方向相反，于是有 即：匀速圆周运动的投影是简谐运动 5、简谐运动的周期公式 由于匀速圆周运动的周期及角速度的关系为而其投影做简谐运动的周期也为T，且注意到 于是可得到简谐运动的一般表达式为 （弹簧振子） 6简谐运动的图象及其应用 （1）定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是反映质点的位移随时间的变化规律。 （2）图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 （3）作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑线连接各点便得图线。 （4）图象的意义：简谐运动的振动图像反映的是某振动质点在各个时刻相对于平衡位置的位移的变化情况。 （5）简谐运动图象的应用： 可求出任一时刻振动质点的位移。 可求振幅A：位移的正负最大值。 可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 可确定任一时刻的回复力、速度、加速度的方向。 可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况 计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。 三机械振动的应用-受迫振动和共振现象的分析 1、振动的能量：对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和 2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动 3、阻尼振动及无阻尼振动 振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动 振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动 注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用 4、受迫振动 （1）物体在周期性的外力（策动力）作用下的振动叫做受迫振动 受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，及物体的固有频率无关。受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。 5、共振 在受迫振动中，策动力的频率及物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振。 产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。 共振曲线 共振的应用：转速计、共振筛 四单摆 单摆的振动是一种比较特殊的简谐运动，对它的学习可以加深我们对简谐运动的理解。 1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆 这是一种理想化的模型，理想的单摆应具备如下理想化条件：和小球的质量m相比，线的质量可以忽略；及线的长度l相比，小球的半径可以忽略。 2、单摆的受力特征 当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直向下的重力mg，和一个变化的始终沿绳方向指向点的拉力F，而将这些力沿垂直于和平行于运速度方向分解，其中垂直于速度方向上的力使摆球的速度方向发生改变，充当摆球绕悬点做变速圆周运动所需的向心力。平行于速度方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力 由图可知：（当很小时，一般小于10°） 令 可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。 图2中，G1不能认为等于重力G和拉力T的合力，因为T及G2一般不相等，不能抵消。一般情况下：，且 即T及G2的合力作为向心力。 特殊地：当单摆位于左、右两端最大位移位时，因为此时 （3）单摆的周期公式 对于单摆，回复力及偏离平衡位置的位移的比例系数为 将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得 及摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。 小球在光滑圆弧上的往复滚动和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。 秒摆：周期为2s的单摆其摆长约为lm （4）单摆的等时性，从该式中可以看出，单摆的周期只及摆长及重力加速度有关，及振幅（即偏角）无关，这一性质叫做单摆的等时性。 （5）等效摆长和等效加速度：实际应用中：不同环境下的单摆，如放在加速运动的升降机中，或将单摆放在匀强电场中，需将单摆周期公式：中的g换成视重加速度，视重加速度等于摆锤相对悬点静止时，悬线拉力及摆锤质量的比值。 （6）单摆的应用： 计时器；测定重力加速度g， （6）改变钟的快慢 对于这一类问题，解决时抓住以下三点： 1、一摆钟的机械结构是固定的，所以不管是准确的钟还是不准的，摆锤摆动一次，钟面指示的时间都相同。 2、一段时间内摆锤的摆动次数： 准确钟不准的钟 钟面上相应的批示时间为 准确钟t 不准的钟（"+"表示钟快；"-"代表钟慢） 3、同一时间内钟面指示时间之比等于摆动次数之比。 即钟面指示时间及钟的周期成反比。 特殊地，对于一昼夜而言，就有： 机械波 一、机械波 1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波 简谐波：波源做简谐振动，传播方向单一且振幅不变，波形图为正弦或余弦线的波为简谐波 2、机械波产生的必要条件是： （1）有作机械振动的物体作为波源； （2）有能传播机械振动的介质。 3、分类 横波：质点的振动方向及波的传播方向垂直凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷 纵波：质点的振动方向及波的传播方向在一直线上。质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波 4、机械波的特点： 每个质点都在自己平衡位置附近作振动，并不随波迁移 后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都及波源相同。 介质中各质点的振动周期和频率都及波源的振动周期和频率相同 5、描述机械波的物理量： 波长：在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离。波长通常用表示。 在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离。在纵波中两相邻的的密部(或疏部)中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长。 波长反映了波动空间的周期性。 周期：波在介质中传播一个波长所用的时间。波的周期及传播的介质无关，取决于波源，波从一种介质进入另一种介质周期不会改变。周期用T表示。 频率：单位时间内所传播的完整波（即波长）的个数。周期的倒数为波的频率。波的频率就是质点的振动频率。频率用f表示。 周期或频率反映了波动的时间周期性。 注意：波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率(或周期)，波速及波长都发生变化 波速：波在单位时间传播的距离。机械波的波速取决于介质，一般及频率无关。波速用V表示。 波速是介质对波的传播速度介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同所以，介质对波的传播速度由介质决定，及振动频率无关 6、描述机械波的物理量关系： 7、说明： 波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率 8、波的图象 （1）坐标轴：规定用横坐标x表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，连结各质点位移量末端得到的曲线叫做该时刻波的图象 （2）图象特点：是一条正弦（余弦）曲线； （3）物理意义：显示某一瞬间波传播方向上介质中各质点离开平衡位置的位移情况，类似人们给大型团体操队伍拍的一张照片。 注意：波的图象和振动图象是根本不同的，波的图象描述的是介质中"各质点"在"某一时刻"离开平衡位置的位移；而振动图象描述的是"一个质点"在"各个时刻"离开平衡位置的位移。 （4）波的图象的特点 波图象的重复性：相隔时间为周期的整数倍的两个时刻的波的图象是相同的； 波传播方向双向性：不指定波的传播方向时，图象中波可能向x轴正向或x轴负向传播； （5）横波图象的应用： 可知波动中质点的振幅和波长 若已知波的传播方向，可知介质质点的振动方向，反之亦然。 相邻的波峰波谷点间的质点振动方向相同 相邻平衡位置间以波峰（或波谷）对称的质点振动方向相反 若知波速v，可求此时刻以后的波形图，方法是把波形图平移x=vt的距离。 （6）波的传播方向及质点的振动方向关系确定方法。 质点带动法（特殊点法）： 由波的形成传播原理可知，后振动的质点总是重复先振动质点的运动，若已知波的传播方向而判断质点振动方向时，可在波源一侧找及该点距离较近（小于）的前一质点，如果前一质点在该质点下方，则该质点将向下运动（力求重复前面质点的运动），否则该质点向上运动。例如向右传的某列波，某时刻波的图象如图所示，试判断质点M的振动方向，可在波源一侧找出离M较近的前一质点M，M在M下方，则该时刻M向下运动。 微平移法： 所谓微移波形，即将波形沿波的传播方向平衡微小的一段距离得到经过微小一段时间后的波形图，据质点在新波形图中的对应位置，便可判断该质点的运动方向。如图所示，原波形图（实线）沿传播方向经微移后得到微小一段时间的波形图（虚线），M点的对应位置在M处，便知原时刻M向下运动。 上下坡法 沿波的传播方向看去，"上坡"处的质点向下振动。"下坡"处的质点向上振动。如图所示，简称"上坡下，下坡上" 同侧法 在波的图形的某质点M上，沿波的传播方向画一箭头，再沿竖直方向向曲线的同侧画另一箭头，则该箭头即为质点振动方向，如图所示 （7）画出再经t时间波形图的方法： 方法一、平移法： （1）确定t=？ （2）算出t时间内波的传播距离s = vt = ？ （3）把整个波形沿波的传播方向平移s 。 2、方法二、特殊点法： （1）找两点（原点和的点并确定其运动方向； （2）确定经t = ？T时间内这两点所达到的位置； （3）按正弦规律画出新的波形。 波的干涉、衍射现象，了解多普勒效应 （1）波的叠加原理：在两列波重叠的区域，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移的矢量和。 （2）波的独立传播原理：在两列波重叠的区域，每一列波保持自己的特性互不干扰继续前进。 (3)波的干涉:产生稳定干涉现象的条件：频率相同；振动方向相同；有固定的相位差。两列相干波的波峰及波峰（或波谷及波谷）相遇处是振动最强的地方，波峰及波谷（或波谷及波峰）相遇处是振动最弱的地方。驻波：是一种特殊的干涉现象。驻波的特点是两波节间的各质点均做同时向下或同时向上，但振幅不同的同步调振动；波形随时间变化，但并不在传播方向上移动。 (4)波的衍射:波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。 (5)多普勒效应 当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。 (6)声波:发声体的振动在介质中的传播就是声波。人耳能听到的声波的频率范围在20Hz到20000Hz之间。频率低于20Hz的声波叫次声波。频率高于20000Hz的声波叫超声波。空气中的声波是纵波。能够把回声及原声区别开来的最小时间间隔为0.1S。声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。 题型解析 1、类型题： 必须弄清简谐运动的判断方法 要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx，则该物体的运动是简谐运动。 【例题】两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们及一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。 解析：证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为 F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx。 所以，弹簧振子做的运动是简谐运动 【例题】试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动 解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 ，根据胡克定律及平衡条件有 当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为 将代人得：，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件 2、类型题： 简谐运动中各物理量的变化特点 简谐运动涉及到的物理量较多，但都及简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系 【例题】弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中： A振子所受的回复力逐渐增大 B振子的位移逐渐增大 C振子的速度逐渐减小 D振子的加速度逐渐减小。 解析：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确 【例题】有一弹簧振子做简谐运动，则（ CD ） A加速度最大时，速度最大 B速度最大时，位移最大 C位移最大时，回复力最大 D回复力最大时，加速度最大 3、类型题： 必须弄清简谐运动的对称性 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。 理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 【例题】如图所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s，从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为：( B ) A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz。 解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经o到a所用的时间也是0.2s，由于"从b再回到a的最短时间是0.4s"，说明振子运动到b后是第一次回到a点，且ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s，同理，振子从a经d到a，也历时0.2s，故该振子的周期T=0.8S，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz。故本题答。 【例题】如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重球运动过程的正确说法应是 A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。 B、重球下落至b处获得最大速度。 C、重球下落至d处获得最大加速度。 D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。 解析：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。 C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a，使ab=a，b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a，的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。而在d点的加速度大于在a，点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确 【例题】如图所示，一个轻弹簧竖直固定在水平地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，小球以相同的动量通过A、B两点，历时1s，过B点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内通过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小球在做简谐运动的过程中：（1）周期为 ；（2）振幅为 ；（3）小球由M点下落到N点的过程中，动能EK、重力势能EP、弹性势能EP'的变化为 ；（4）小球在最低点N点的加速度大小_ _ _重力加速度g（填>、<）。 解析：（1）小球以相同动量通过A、B两点，由空间上的对称性可知，平衡位置O在AB的中点；再由时间上的对称性可知，tAO=tBO=0.5s， tBN = tNB =0.5s，所以tONtOBtBN1s，因此小球做简谐运动的周期T4tON=4s。 （2）小球从A经B到N再返回B所经过的路程，及小球从B经A到M再返回A所经过的路程相等。因此小球在一个周期内所通过的路程是12cm，振幅为3cm。 （3）小球由M点下落到N点的过程中，重力做正功，重力势能减少；弹力做负功，弹性势能增加；小球在振幅处速度为零，在平衡位置处速率最大，所以动能先增大后减小。 （4）M点为小球的振幅位置，在该点小球只受重力的作用，加速度为g，方向竖直向下，由空间对称性可知，在另一个振幅位置（N点）小球的加速度大小为g，方向竖直向上。 解答：4s；3cm；EK先增大后减小，EP减少，EP' 增加；。 【例题】 弹簧振子在光滑的水平面上作简谐振动，周期是2.4s。当振子通过平衡位置向右运动时刻开始计时。有下列说法：经过1.6s，振子向右运动，速度正在不断变小；经过1.6s，振子向左运动，速度正在不断变小；经过1.9s，振子向右运动，回复力正在不断变小；经过1.9s，振子向左运动，回复力正在不断变大。以上说法中正确的是（ ） A只有、正确B只有、正确 C只有、正确D只有、正确 解析：据振的规律可判断D是正确的。 答案：D 4、类型题： 必须弄清简谐运动的周期性 【例题】一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：( C ) A若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍 B若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍 C若时刻振子运动的加速度一定相等 D若时刻弹簧的长度一定相等 5、类型题： 振动图象的应用 【例题】一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图6-3所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c 点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧振子振动的振幅。 解析：（1）弹簧振子振动的加速度及位移大小成正比，及位移方向相反。振子具有沿x轴正方向最大加速度，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移处，即图中f点对应的时刻。 振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿x轴正方向的最大速度。 （2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从+7cm处振动到7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从7cm处振动到负向最大位移处再返回到7cm处。由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动到g点对应x轴位置，振子振动半周期，时间为0.8s，弹簧振子振动周期为T=1.6s。 （3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上7cm处振动到负向最大位移处，又返回7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅A=10cm。 解答：（1）f点；h点。（2）T=1.6s。（3）A=10cm。 【例题】如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为：（ A ） Av变大，a变小 Bv变小，a变小 Cv变大，a变小 Dv变小，a变大 6、类型题： 单摆周期公式的应用 【例题】一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的1/2则单摆的( ) A频率不变，振幅不变 B频率不变，振幅改变 C频率改变，振幅不变 D频率改变，振幅改变 解析：（1）决定单摆周期(频率)的是摆长及当地的重力加速度，单摆的周期及质量无关，及单摆的运动速度也无关。所以不能选C，D。 （2）决定振幅的是振动的能量，在平衡位置（即最低点）时的动能，当m增为原来的4倍，速度减为原来的1/2时，动能不变，最高点的的重力势能也不变。但是由于第二次摆的质量增大了，势能EP= mgh不变，m大了，h就一定变小了，也就是说，振幅减小了。因此正确答案应选B。 答案:B 误点警示： 误解一：因为单摆的周期（频率）是由摆长L和当地重力加速度g决定的，所以频率是不变的，而从动能公式上看质量变为原来的4倍，速度变为原来的1/2，结果动能不变，既然动能不变，（指平衡位置动能也就是最大动能），由机械能守恒可知，势能也不变。所以振幅也不变，应选A。 误解二：认为速度减为原来的1/2，即运动变慢了，所以频率要变，而振幅及质量、速度无关所以振幅不变，应选C。 误解三：认为频率要改变，理由同错解二。而关于振幅的改变及否，除了错解一中所示理由外，即总能量不变，而因为重力势能EP= mgh，EP不变，m变为原来的4倍，h一定变小了，即上摆到最高点的高度下降了，所以振幅要改变，应选D。 答案：C 【例题】单摆的周期在下述情况下会变大的有：（） A、摆锤质量增大 B、摆长减小 C、单摆从赤道移到北极 D、单摆从海平面移到高山 分析：由单摆周期公式可以看出：周期T只及及g有关，及摆锤质量无关，从赤道到北极，g增大，从海平面到高山，g减小，所以要使周期变大。应选D。 答：D 【例题】已知某摆长为1m的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为 ；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度14倍的星球表面，则其振动周期为 ；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为 。 解析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在及光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。 解答：（1）依据，可得T=2s。 （2）等效重力加速度为，则依据 ，可得s。 （3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L11m，另半周期摆长为L20.5m。 则该小球的摆动周期为： s 说明：单摆做简谐运动的周期公式是我们学习各种简谐运动中唯一给出定量关系的周期公式。应该特别注意改变周期的因素：摆长和重力加速度。例如：双线摆没有明确给出摆长，需要你去找出等效摆长；再例如：把单摆放入有加速度的系统中，等效重力加速度将发生怎样的变化。比如把单摆放入在轨道上运行的航天器中，因为摆球完全失重，等效重力加速度为0，单摆不摆动。把单摆放入混合场中，比如摆球带电，单摆放入匀强电场中，这时就需要通过分析回复力的来源从而找出等效重力加速度。这类问题将在电学中遇到 【例题】如图，两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，开始时两绳互相平行，两球在同一水平线上且互相接触，第二球的摆长是第一球摆长的 4 倍。现把第一球拉开一个很小的角度后释放并开始计时，则在第一个摆球固有周期的两倍时间内，两球碰撞的次数为 ( ) A2次 B3次 C4次 D5次 解析：由单摆的周期公式，可知，据时间相等，会发生3交次碰撞。 答案：B 等效单摆 等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为。 1、等效摆长单摆：等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但gg。摆长L是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。 【例题】例如，在图中，三条长度均为L的绳子共同系住一个密度均匀的小球m，球直径为d。若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为 ，周期为; 若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期 【例题】双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图所示，两线夹角为2，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期。 解析：当双线摆在垂直纸面的平面内做小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO长为摆长的单摆，其等效摆长为LLcos，故此摆周期为： 2、等效重力加速度单摆：该类单摆的等效重力加速度gg，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效重力加速度g及单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关。 （1）公式中的g由单摆所在的空间位置决定，由gG知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9.8m/s2。 【例题】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期为T0，当气球停在某一高度时，测得该气球的周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。地球半径为R。 解析：根据单摆的周期公式可知：，（其中l为摆长，g0和g分别是两地的重力加速度）；根据万有引力及重力的关系公式可知：（其中G是引力常量，M是地球的质量）由以上各式解得： （2）g由单摆系统的运动状态决定，"等效重力加速度"等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长"绳子"上