2021-2022学年新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 （含解析）.docx

12.5空间中的距离导思1.空间中的距离有哪些，它们分别是怎样定义的？2如何求这些空间距离？空间中的距离名称概念求法两点之间的距离空间中两个点连线的线段长求向量的模点到直线的距离过直线外一点作直线的一条垂线段的长求向量的模点到平面的距离过平面外一点作平面的一条垂线段的长d，其中A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量线到面的距离当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离转化为求点到平面的距离面到面的距离(公垂线段长)当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离空间距离的几种形式的求解方法之间有何关系？提示：点点距、点线距都可用空间向量的模来求解，而线面距和面面距可以转化为点面距，利用平面的法向量来求解1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)点到线的距离就是垂线的方向向量的模()(2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离()(3)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离()提示：(1).点到线的距离可用空间向量的模来求解，但不一定是垂线的方向向量的模(2).直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离(3).两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离2已知A(1，1，0)，B(1，2，1)，则A，B两点间的距离是()A6BCD5【解析】选C.因为A(1，1，0)，B(1，2，1)，所以A，B两点间的距离是.3(教材例题改编)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为_【解析】由题意可知，A1A平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1的长即为所求由题意可得A1O1A1C1.答案：关键能力合作学习类型一空间两点之间的距离(逻辑推理、数学运算)1如图，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD与平面成30角，则C，D间的距离为()A.1B2CD【解析】选C.|2|2|2|2|222211100211cos1202，所以|.2如图，已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120，则线段AC1的长为()A.1BCD2【解析】选B.因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120，所以，所以()22222114212cos120212cos1202.所以线段AC1的长为.3如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点M，N分别是边AB，CD的中点，则MN的长为_【解析】设p，q，r，由题意可知，|p|q|r|1，且p，q，r三个向量两两夹角均为60，(qrp)，所以|2(qrp)q2r2p22(qrqprp)2，所以|，即MN的长为.答案：计算两点间的距离的基本方法(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2aa，通过向量运算求|a|.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离).类型二点到直线的距离(逻辑推理、数学运算)【典例】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离四步内容理解题意条件：正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是C1C，D1A1的中点结论：求点A到直线EF的距离思路探求建系，用坐标法求解书写表达方法一：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，(1，2，1)，(1，0，2).所以|，110(2)(2)11，所以在上的投影的长为.所以点A到直线EF的距离d.则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，(1，2，1)，设点G，且满足，则，所以G，所以，由0得，.即点A到直线EF的距离为.书写表达题后反思计算点到直线的距离的方法有很多，解题时要根据题意灵活选择方法计算点到直线的距离的基本方法(1)先求出直线的方向向量，再计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的长，最后利用勾股定理求点到直线的距离(2)在直线上设出垂线段的垂足的坐标，利用共线和垂直求出垂足坐标，再求向量的模如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，求点B到直线AC的距离【解析】因为AB1，BC2，AA3，所以A(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以(1，2，3).又因为(0，2，0)，所以在上的投影的长为.所以点B到直线AC的距离d.类型三点到平面的距离(逻辑推理、数学运算)点到平面的距离【典例】已知在四棱锥PABCD中，(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，则点P到底面ABCD的距离为()ABC1D2【思路导引】求出平面ABCD的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可【解析】选D.在四棱锥PABCD中，(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，设平面ABCD的法向量为n(x，y，z)，则，可得，不妨令x3，则y12，z4，可得n(3，12，4).在法向量n上的射影的长度就是P到底面ABCD的距离h，所以h|cos，n|2.本例若改为：在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离【解析】如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM平面ACD交AB于点M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，D，所以，设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则yx，zx，取n(，1，3)，代入d，得d，即点D到平面ABC的距离是.线面距离与面面距离【典例】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离【思路导引】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法转化为点到平面的距离，求出A1D1到平面EFGH的距离【解析】因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，所以AHAA1，所以A1D1平面EFGH，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1(1，0，1)，H(1，0，)，G(0，0，)，E(1，1，)，(1，0，0)，设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则，取y1，得n(0，1，6)，所以A1D1到平面EFGH的距离d.1用向量法求点面距的方法与步骤2线面距离与面面距离的求解思路(1)求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可1如图，一长方体ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA13，EAA1，FBB1，AEBF1，GA1B1，则点G到平面D1EF的距离是()A.BCD【解析】选A.由题意得四边形ABFE为矩形，可得EFAB，又A1B1AB，所以A1B1EF，而EF平面D1EF，A1B1平面D1EF，所以A1B1平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离由AB平面AA1D1D，EFAB，得EF平面AA1D1D，而EF平面D1EF，所以平面D1EF平面AA1D1D，且平面D1EF平面AA1D1DED1，则点A1到ED1F的距离即为点A1到直线ED1的距离在RtEA1D1中，因为A1E2，A1D11，所以D1E，则点A1到平面D1EF的距离为.所以点G到平面D1EF的距离是.2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).从而(2，2，0)，(2，2，0)，(2，0，4)，(2，0，4)，所以，所以EFMN，AMBF，EFBFF，MNAMM，所以平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，从而解得取z1，得n(2，2，1)，由于(0，4，0)，所以在n上的投影的长为.所以两平行平面间的距离d.【补偿训练】已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，PA2，且PA平面ABC，设Q是CE的中点(1)求证：AE平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离【解析】(1)如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系因为AP2，ABBCAC4，又E，F分别是BC，AC的中点，所以A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2).因为，(，3，0)，所以2.因为AE与FQ无交点，所以AEFQ.又FQ平面PFQ，AE平面PFQ，所以AE平面PFQ.(2)由(1)知，AE平面PFQ，所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离设平面PFQ的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，即n0，n0.又(0，2，2)，所以n2y2z0，即yz.又，所以nxy0，即xy.令y1，则x，z1，所以平面PFQ的一个法向量为n(，1，1).又，所以所求距离d.课堂检测素养达标1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，BB11，则线段BD1的长是()AB2C28D3【解析】选A.因为ABCDA1B1C1D1是长方体，且AB3，ADBC2，DD1BB11，所以BD1.2(教材练习改编)如图，正四棱锥PABCD的高为2，且底面边长也为2，则点A到平面PBC的距离为()A.BCD【解析】选A.由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD为正方形，底面对角线的长度为2，侧棱长度为，所以SPBC2，VPABC222，又VAPBCVPABC，设点A到平面PBC的距离为h，所以h，所以h.3已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n(1，0，1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为_【解析】因为(2，0，1)，又n所在直线与l垂直，所以点P到l的距离为.答案：4已知长方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，AB，AD的长分为3，4，5，则点A到棱B1C1的距离为_【解析】如图，连接AB1，由长方体的性质可得B1C1平面ABB1A1.所以AB1B1C1.则点A到棱B1C1的距离为AB15.答案：55设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，则点D到平面ABC的距离为_【解析】设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z).所以n0，n0，所以即所以令z2，则n(3，2，2).又因为(7，7，7)，所以点D到平面ABC的距离为d.