05全国高中数学联赛试题（二）及参考答案.doc

2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一、（本题满分50分）如图，在ABC中，设AB>AC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）证明：（1）先证DE过ABC的内心。如图，连DE、DC，作BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，得，AGDC，ID=IC.又D、C、E在A上，IAC=DAC=IEC，A、I、C、E四点共圆，CIE=CAE=ABC，而CIE=2ICD，ICD=ABC.AIC=IGC+ICG=90+ABC，ACI=ACB，I为ABC的内心。 （2）再证DF过ABC的一个旁心.连FD并延长交ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由（1）知，I为内心，IBI1=90=EDI1，D、B、l1、I四点共圆，BI l1 =BDI1=90ADI1=（BAC+ADG）ADI=BAC+IDG，A、I、I1共线.I1是ABC的BC边外的旁心二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.解：由条件得，即，同理，得a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC， ，问题转化为：在锐角ABC中，求函数、）=的最小值.令则且同理，+（取等号当且仅当，此时，三、（本题满分50分）对每个正整数n，定义函数（其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值.解：对任意，若，则，设则让a跑遍区间）中的所有整数，则于是下面计算画一张2k2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共个，全表的“*”号共个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共个，因此=.示例如下：ji1234561*2*3*4*56*则由此，记易得的取值情况如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，据定义，又当，则从则- 3 -