88全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

一选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 4已知三个平面、，每两个之间的夹角都是，且=a，=b，=c若有命题甲：>； 命题乙：a、b、c相交于一点 则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 2(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 3在ABC中，已知A=，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= 1988年全国高中数学联赛二试题一已知数列an，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切nN*，an0二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件：来源:Zxxk.Com 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)；来源:Zxxk.Com kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)来源:学|科|网Z|X|X|K并证明你的结论1988年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：2已知原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|>1 B|k|1 C1<k<1 D0<|k|<1 【答案】D【解析】因是椭圆，故k0，以(0，0)代入方程，得k21<0，选D4已知三个平面、，每两个之间的夹角都是，且=a，=b，=c若有 命题甲：>； 命题乙：a、b、c相交于一点则来源:学科网 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 【答案】D【解析】均正确，选D2(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 【答案】(32n+1+1)【解析】(+2)2n+1(2)2n+1=2(C2xn+C23xn1+C25xn2+C22n+1)令x=1，得所求系数和=(32n+1+1)3在ABC中，已知A=，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= 【答案】【解析】AEDABC，=|cos|4甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积四(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满足Z1Z=1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15分)已知a、b为正实数，且+=1试证：对每一个nN*， (a+b)nanbn22n2n+1【解析】证明：由已知得a+b=ab又a+b2， ab2，故a+b=ab4于是(a+b)k=(ab)k22k又 ak+bk2=22k+1下面用数学归纳法证明： 1 当n=1时，左=右=0左右成立 2 设当n=k(k1，kN)时结论成立，即(a+b)kakbk22k2k+1成立则(a+b)k+1ak+1bk+1=(a+b)(a+b)k(ak+bk)(a+b)+ab(ak1+bk1)=(a+b)(a+b)kakbk+ ab(ak1+bk1)4(22k2k+1)+42k=22(k+1)42k+1+42k=22(k+1)2(k+1)+1即命题对于n=k+1也成立故对于一切nN*，命题成立二试题一已知数列an，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切nN*，an0（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证an0(mod 4)或an0(mod 3)二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>【解析】证明：作ABC及PQR的高CN、RH设ABC的周长为1则PQ=则=，但AB<，于是>，APABPQ<=， AR=AP>，AC<，故>，从而>来源:学.科.网三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并证明你的结论【解析】证明：设an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn1由于k1随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k11，从而必存在一个m值，m=m1(m1m0)，使k1，而1<k=k<0，此时kk<0即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在