中国科学院大学硕士研究生入学考试统一命题科目试题量子力学.pdf

科目名称：量子力学 第 1页，共 2页 中国科学院中国科学院大学大学 20202020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：量子力学科目名称：量子力学 考生须知：考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 （共 30 分）考虑一维束缚态。 (1)证明( , )( , )x tx t不随时间变化，此处波函数不必是定态。 (2)证明对于定态，动量的期望值为零。 (3)证明如果粒子在0t 时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。 二、 （共 30 分）设波函数 () 2 ip x xe = 1/，而 x ， p 分别为x方向的坐标 和动量算符，其中为实常数。 (1)说明 x是否为 p 的归一化本征态。 (2)证明 / ip x ex ，及 / ip exx ，其中为实常数。 (3)化简算符 / ipip exe 。 (4)化简算符 /2/ ipip ex e 。 三、 （共 30 分）一个无自旋粒子的波函数为(2 ) r K xiyz e =，此处 222 zyxr,其中K,为实常数。 （球谐函数： 0 0 1 4 Y ， 0 1 3 cos 4 Y , 1 1 3 sin 8 i Ye 。 ） (1)求粒子的总角动量。 (2)求角动量z分量即 z L 的期望值，及测得 z L的概率。 (3)求发现粒子在),(方向上d立体角内的概率。 科目名称：量子力学 第 2页，共 2页 四、 （共 30 分） (1)一个电子在=0t的时刻处于自旋态 2 2-1 3 1 i 。在0t时刻，在外界加一个 磁场 0 (sincos) xz BBee ，此时电子的哈密顿量为BSH B 2 ，其中 S 为 自旋算符， B 为玻尔磁子，求此粒子在任意t时刻的波函数。 (2)考虑两个自旋为 2 1 的粒子处于磁场中，此时系统的哈密顿量为 12012 zz Habc ， 其中a，b， 0 c为常数， 是泡利算符，前两项为粒子处于磁场中的势能，最后 一项为两粒子自旋-自旋相互作用能。求系统的能级。 五、 （共 30 分）考虑谐振子问题。 (1)一维谐振子的哈密顿量为 2 2 1 22 p Hkx m ，证明由不确定性关系得到的能量最 小值与该谐振子的基态能量一致。 (2)若(1)中的基态波函数是高斯型 2 x e ，用变分法求。 (3)利用升、降算符写出(1)中的第一激发态的波函数（不必归一） 。 (4)对于三维各向同性谐振子，第一激发态是三重简并的。现有一微扰 010 100 2 000 b Hbxy m ，写出该微扰引起的第一激发态的能级分裂。