中国科学院大学硕士研究生入学考试统一命题科目试题高等数学（甲）.pdf
中国科学院大学中国科学院大学 20202020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（科目名称：高等数学（甲甲） 考生须知：考生须知： 1 1本试卷满分为本试卷满分为 150150 分，全部考试时间总计分，全部考试时间总计 180180 分钟。分钟。 2 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题一、选择题 (本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空 格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标 清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) 1. 极限 222 242 lim 11 n n nnnn + + + + 的值为( )。 A. 0 B. 1 C. 2 D. + 2设()在 = 处连续, () = ()| |, 则() = 0是()在 = 处可导的( )。 A充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 3 极限 sin 2 1 1 lim sin() x x x 的值为( )。 A. 1 e B. 1 C. e D. + 4设周期函数()在(,+)内可导, 周期为4 , 又lim 0 (1)(1) 2 = 1 , 则曲线 = () 在点(5,(5)处的切线斜率为( )。 A. 1 2 B. 2 C. 1 D. 2 5. 设向量(1,2,2),(0,1,2)ab=，则向量b在向量a方向上的投影向量为( )。 A 6 12 0, 55 B. 1 2 2 , 3 3 3 ， C. 12 0 55 ， D. 2 4 4 , 3 3 3 ， 科目名称：高等数学（甲） 第 1 页 共 3 页 6. 二元函数( , )f x y在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ） 。 A ( , )(0,0) lim ( , )(0,0)0 x y f x yf =. B 0 ( ,0)(0,0) lim0 x f xf x =，且 0 (0, )(0,0) lim0 y fyf y =. C 22( , )(0,0) ( ,y)(0,0) lim0 x y f xf xy = + . D 0 lim( ,0)(0,0)0 xx x fxf =，且 0 lim(0, )(0,0)0 yy y fyf =. 7级数 1 1 (n 1)(n 2) n n = + =（ ） 。 A0 B 1 4 C 1 3 D1 8设方程 xy xyze+=，则 22 22 zz xy + 的表达式是（ ） 。 A 22 ()exyxy+ B()exyxy+ C2exyxy D(1)exyxy+ 9 设 0 3a =， 1 5a =， 且对任何自然数1n 有 11 2 (1) 3 nnn naana =， 则幂级数 0 n n n a x = 的收敛半径为（ ）。 A 2 3 B1 C 3 2 D2 10下列反常积分发散的是（ ） 。 A 6 0 1 x x dx e + + B 0 1 (1)dxxx + + C 4 1 1 ln dx xx + D 2 2 1 2sin 1 xdx x + + 二二、（本题满分、（本题满分10分）分） 已知 0 l m( )i x f x 存在， 而 0 (m)li x fx 不存在， 并且 0 31 ( )1 3 sin lim x xf x x + =， 求 0 l m( )i x f x 。 三、三、 （本题满分（本题满分 10 分）分）两平面均通过点( 2,1, 1)A ，其中一个平面通过x轴，另一个平面 科目名称：高等数学（甲） 第 2 页 共 3 页 通过直线 11 211 xyz+ = ，求两平面夹角的余弦。 四、四、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设函数 = ()由 + 2= 0, arctan() = ln(1 + 22)确定, 求 。 五 、五 、 ( 本 题 满 分本 题 满 分10分分 ) 已 知 函 数 222 ( ),lnuf r rxyz=+满 足 方 程 222 2223 2 222 (+) uuu xyz xyz += ，求( )f x的表达式。 六、 （本题满分六、 （本题满分 10 分）分）设曲线 C: 3 2yxx=+与其在（1，3）点处的切线以及x轴围成的区 域落在第一象限中的部分为 D，计算： （1）D 的面积； （2）D 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 七、七、 （本题满分（本题满分 10 分）分）计算下列第二型曲面积分： 46 23, S xdydzy dxdzz dxdy+ 其中S是椭球面： 222 491xyz+=。 八八、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设( )f x 是周期为 3 的连续函数，证明：在任意长度为 2 的闭区间 ,2a a+ 上至少存在一点 ，使得( )(1)ff=+。 九九、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设(), ()在,上二阶可导, 且() = () = () = 0. 证明: 存在 (,), 使得()() + 2()() + ()() = 0。 十、 （本题满分十、 （本题满分 10 分）分）设f是0,1上的连续函数，满足 0 ( )0 x f t dt 对所有的0,1x成立 且 1 0 ( )0f t dt = 。证明： 1 0 ( )0 xf x dx 。 十十一一、 （本题满分（本题满分 10 分）分）求证：若正数, ,x y z满足 222 xyza+=，其中0a ，则有不等 式 333 3 3 aa xyz+恒成立。 科目名称：高等数学（甲） 第 3 页 共 3 页
