《解题达人》（2022）高三二轮小题专练——数列新定义A.docx

解题达人（2022）高三二轮小题专练数列新定义A一、单选题1南宋杨辉在他年所著的详解九章算术一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”，如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合且中所有的数从小到大排列的数列，、下列结论错误的是（ ）A第四行的数是、BCD2已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）ABCD3若在数列an中，对任意正整数n，都有 (p为常数)，则称数列an为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列an为“等方和数列”，其前n项和为Sn，且“公方和”为1，首项a11，则S2 014的最大值与最小值之和为A2 014B1 007C1D24如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于2），且所有项数之和为，那么称该数列为“型标准数列”，例如，数列为“型标准数列”，则“型标准数列”的个数为（ ）ABCD5若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，且，数列的前项和，若，则的值为（ ）A9B11C12D146已知数列的前n项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）ABCD7已知数列满足(为常数)，则称为等比差数列，叫做公比差，若是以为公比差的等比差数列，其中，则（ ）ABCD8设正整数，其中，记，则以下命题正确的个数是（ ）；.A4B3C2D19已知数列具有性质P：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：数列0，1，3具有性质P；数列0，2，4，6具有性质P；若数列A具有性质P，则；若数列具有性质P，则其中真命题有A4个B3个C2个D1个10对于数列，若存在常数M，使得对任意正整数n，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（ ）A若，则数列各项均不小于MB若，则C若，则D，则11记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（ ）A5B6C15D1612若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列an是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（ ）A1009B1010C1011D2020第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13定义为数列的均值,已知数列的均值,记数列的前项和是,若对于任意的正整数恒成立,则实数k的取值范围是_14数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称数列是“美好数列”现有以下四个数列：；其中是“美好数列”的是_（把序号填写在横线上）15一个有限数列、的部分和定义为，其中，称为该有限数列的“凯森和”已知一个有项的数列、的“凯森和”为，则有项的数列、的“凯森和”为_16记表示数列的前项的积，如，若数列满足，则_试卷第3页，共3页参考答案：1C【解析】【分析】根据规律可知第行从左至右第个数对应且第行共有个数；根据第四行对应的项可依次求得第四行的数，知A正确；由对应，代入可知B正确；由对应，代入可知C错误；由对应，代入可知D正确.【详解】利用表示每一项，可知第一行对应；第二行从左至右对应，；第三行从左至右对应，依次类推，可知第行从左至右第个数对应且第行共有个数；对于A，第四行从左至右对应，即第四行的数为，A正确；对于B，对应第行从左至右第个数，即对应，B正确；对于C，对应第行从左至右第个数，即对应，C错误；对于D，对应第行从左至右第个数，即对应，D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据数字排列的规律总结得到第行从左至右第个数对应，通过确定每个选项中的项对应的位置可求得结果.2D【解析】【分析】根据，得到，两式相减得到，从而得到数列的通项公式，根据“和谐项"的定义可得，再利用等比数列的前项和可得答案.【详解】，-得，即，故，所以数列的所有“和谐项”的平方和为.故选：D.3D【解析】【详解】由题意可知，首项a11，a20，a3±1，a40，a5±1，从第2项起，数列的奇数项为1或1，偶数项为0，S2 014的最大值为1 007，最小值为1 005，S2 014的最大值与最小值之和为2.本题选择D选项.4B【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式得出这个有限连续正整数数列的首项与项数的关系，然后分析其所有取值可能性.【详解】设这连续的正整数有个，第一个数为，则由题意得：，整理得，因为，且与一奇一偶，所以与的可能值为与，与与，与共三组，所以“型标准数列”有组.故选：B.【点睛】本题考查数列新定义问题，考查等差数列的前项和公式及应用，难度一般,理解题目意思是关键.5B【解析】【分析】根据生成数列的定义，先求出，然后分为偶数和奇数讨论即可求解.【详解】解：由题意可知，当为偶数时，可得，则；当为奇数时，可得，则，所以，则当为偶数时，则，因为，所以无解；当为奇数时，所以，因为，所以，故选：B.6D【解析】当时，又由，两式相减，得到，求得，得到数列的所有“和谐项”为，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由，可得，当时，又由，两式相减，可得，即，即，则数列从第二项起是公比为2的等比数列，即，又由，即，可得，所以“和谐项”共有项，则数列的所有“和谐项”为，可得数列的所有“和谐项”的平方和为.故选：D.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.7D【解析】【分析】首先判断数列是以首项为，公差为的等差数列，然后求出，进而利用累乘法可以求出.【详解】方法一：有题设可知：数列是以为公比差的等比差数列，则故数列是以首项为，公差为的等差数列，故故则由··········故将上式左右两边分别相乘，则····(注······)故故故选方法二：数列是以为公比差的等比差数列，则故数列具以首项为，公差为的等差数列，故故由故则.故选:.8B【解析】【分析】利用的定义可判断选项的正误，利用特殊值法可判断选项的正误.【详解】对于，所以，正确；对于，取，而，则，即，错误；对于，所以，所以，因此，正确；对于，故，正确.故选：B9B【解析】【详解】考点：数列的应用分析：根据数列A：a1，a2，an（0a1a2an，n3）具有性质P：对任意i，j（1ijn），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知错误，其余都正确解：对任意i，j（1ijn），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项，数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故不正确；数列0，2，4，6，aj+ai与aj-ai（1ij3）两数中都是该数列中的项，并且a4-a3=2是该数列中的项，故正确；若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，0a1a2an，n3，而2an不是该数列中的项，0是该数列中的项，a1=0；故正确；数列a1，a2，a3具有性质P，0a1a2a3a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，a1=0，易知a2+a3不是该数列的项a3-a2=a2，a1+a3=2a22°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3若a3-a1=a3同1°，若a3-a1=a2，则a3=a2，与a2a3矛盾，a3-a1=a1，则a3=2a1综上a1+a3=2a2，故选B10D【解析】通过数列为1，2，1，2，1，2，当时，判断A；当时，判断C；当数列为1，2，1，2，1，2，为2，1，2，1，2，时，判断B；直接根据定义可判断D正确.【详解】对于A：在数列1，2，1，2，1，2中，数列各项均大于或等于不成立，故A错误；对于B：数列为1，2，1，2，1，2，为2，1，2，1，2，而各项均为3，则不成立，故B错误； 对于C：在数列1，2，1，2，1，2中，此时不正确，故C错误；对于D：若，则中，与中至少有一个不小于，故正确，故选：D【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义是解题的关键，属于中档题.方法点睛：特殊数列是常用的解题方法，尤其在命题的判断中，常采用特殊数列做反例说明命题不正确.11C【解析】【分析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】， ，当时，使的正整数n的最大值为，故选：C12C【解析】根据数列的新定义，得到，再由等比数列的性质得到，再利用求解即可.【详解】根据题意：，所以，因为an等比数列，设公比为，则，所以，因为，所以，所以，所以前n项的乘积取最大值时n的最大值为1011.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出以及进行判断.13【解析】【分析】因为,从而求出,可得数列为等差数列,记数列为,从而将对任意的恒成立化为,即可求得答案.【详解】 , ,故,则,对也成立,则,数列为等差数列,记数列为.故对任意的恒成立,可化为:,；即,解得,故答案为:【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14【解析】【分析】根据“美好数列”的定义逐个判断即可.【详解】解：令，则，所以数列是“美好数列”；令，则，所以，所以数列不是“美好数列”；令，则，所以，所以数列不是“美好数列”；令，则，所以数列是“美好数列”综上，是“美好数列”的为故答案为：.【点睛】本题主要考查新定义题型，属于中档题.15【解析】【分析】先求出有项的数列、的“凯森和”，求得的值，再利用“凯森和”的定义可求得有项的数列、的“凯森和”.【详解】由题意可得，所以，所以，数列、的“凯森和”为.故答案为：.【点睛】本题考查数列的新定义，主要考查数列的求和问题，考查计算能力，属于中等题.16【解析】【分析】先根据已知条件求解出的通项公式，再表示出，由此根据定义即可计算的结果.【详解】因为，所以，所以，所以，且，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故，故答案为：.【点睛】本题考查数列中的新定义问题以及根据与的关系求解数列通项公式，难度一般.已知与的关系求解数列通项公式时，可通过将原式中的替换为（或）得到另一个等式，再由两式作差去分析求解通项公式.答案第12页，共12页