9.3.3　向量平行的坐标表示 讲义 （word版含解析）.doc

93.3向量平行的坐标表示学习指导核心素养1.理解两平行向量的坐标之间的关系，会用向量的坐标运算解决向量平行问题2.能根据向量的坐标运算解决与三点共线有关的问题数学运算、逻辑推理：向量平行的坐标表示探究点1向量共线的判定 (1)已知向量a(1，2)，b(3，4).若(3ab)(akb)，则k_(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】(1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因为(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以k.故填.(2)因为(1(1)，3(1)(2，4)，(2(1)，5(1)(3，6)，因为2×63×40，所以，所以与共线又，所以与的方向相同变问法若本例(1)条件不变，判断向量(3ab)与(akb)是反向还是同向？解：由向量(3ab)与(akb)共线，得k，所以3ab(3，6)(3，4)(0，10)，akbab(1，2)(3，4)(0，10)，所以向量(3ab)与(akb)同向 向量共线的判定方法1已知向量a(1，2)，b(，1).若ab与a平行，则()A5BC7D解析：选Dab(1，2)(，1)(1，3)，由ab与a平行，可得1×32×(1)0，解得.2.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线解：由已知可得M，N，所以，由××0，所以和共线探究点2三点共线问题 (2021·江苏高一检测)已知向量(3，4)，(6，3)，(5x，3).(1)若点A，B，C三点共线，求x的值；(2)若ABC为直角三角形，且B为直角，求x的值【解】(1)因为(3，4)，(6，3)，(5x，3)，所以(3，1)，(1x，6)，因为点A，B，C三点共线，所以和共线，所以3×61x，解得x19.(2)因为ABC为直角三角形，且B为直角，所以，所以·3(1x)60，解得x1.判断向量(或三点)共线的三个步骤 1已知A，B，C三点共线，且A(3，6)，B(5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为()A3B9 C9D3解析：选A设C(x，6)，因为A，B，C三点共线，所以，又(2，4)，(x3，0)，所以2×04(x3)0.所以x3.2设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：(2x，2)(x，1)(x，1)，(1，2x)(2x，2)(12x，2x2)，(5，3x)(1，2x)(4，x).由与共线，所以x21×4，所以x±2.又与方向相同，所以x2.所以当x2时，与共线且方向相同此时，(2，1)，(3，2)，而2×23×1，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，D不在同一条直线上探究点3向量共线的应用 如图所示，在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标【解】因为(0，5)，所以C.因为(4，3)，所以D.设M(x，y)，则(x，y5)，.因为，所以x2(y5)0，即7x4y20.又，因为，所以x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 如图所示，已知ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以(37，58)(4，3)，(47，38)(3，5).又因为D是BC的中点，所以()(43，35)(7，8).因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以.1已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8) D(4，8)解析：选C因为向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，所以1×4(2)×m，所以m2，所以2ab(2m，44)(4，8).2若向量m(0，2)，n(，1)，则与2mn共线的向量可以是()A(，1) B(1，)C(，1) D(1，)解析：选B因为m，n，所以2mn，因为，故选B3已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A(9，1) B(9，1)C(9，1) D(9，1)解析：选C设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以.因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C4与向量a(3，4)同向的单位向量的坐标为_，反向的单位向量的坐标为_解析：由题意，设与向量a(3，4)平行的向量b(3，4)(3，4)，由单位向量的模长为1，得(3)2(4)21，所以±.当0时，两向量同向；当0时，两向量反向故与向量a(3，4)同向的单位向量的坐标为，反向的单位向量的坐标为.答案：5平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1).(1)求满足ambnc的实数m，n的值；(2)若(akc)(2ba)，求实数k的值解：(1)因为ambnc，所以(3，2)m(1，2)n(4，1)(m4n，2mn).所以解得(2)因为(akc)(2ba)，又akc(34k，2k)，2ba(5，2)，所以2×(34k)(5)×(2k)0.所以k.A基础达标1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选B因为平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，所以1×m(2)×20，解得m4，所以2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8).2已知向量a(1，2)，b(0，1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值是()AB CD解析：选Bv2(1，2)(0，1)(2，3)，u(1，2)k(0，1)(1，2k).因为uv，所以2(2k)1×30，解得k.3(多选)已知向量a(1，2)，ab，则b可能是()A(4，8) B(4，8)C(4，8) D(4，8)解析：选BD设b，依题意有解得或故选BD4若A(2，3)，B(3，2)，C三点共线，则实数m的值为()A2B2 CD解析：选C因为A(2，3)，B(3，2)，C三点共线，所以向量(5，1)与共线，所以5(m3)(1)×0，解得m.故选C5(2021·盘州市第二中学月考)已知向量a(2，3)，b(1，1)，向量manb与2a3b共线，则()AB CD解析：选C由题意可知a和b不共线，所以a和b可以作为一组基底，而manb与2a3b共线，所以，故选C6已知向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，则实数x的值为_.解析：因为向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，所以2(3x1)4×10，解得x1.答案：17在平面内M(1，1)，N(a，0)，P(0，b)(a，b0)三点共线，则ab的最小值为_解析：(a1，1)，(a，b)，因为M，N，P三点共线，故，为共线向量故(a1)ba即abab，而ab，故ab，所以ab4，当且仅当ab2时等号成立，故ab的最小值为4.答案：48已知a，b，c，点M，点N，若ab，·3，则向量的模为_解析：因为a，b，且ab，所以x2×，得x4，所以b，所以ab，bc.因为·3，所以6×1×3，所以y3，则点M，N，所以，所以|7.答案：79已知a，b，c.(1)求a与b的夹角的大小；(2)若c，求k的值解：(1)设求a与b的夹角为，因为cos ，又因为0，所以.(2)akb， 因为c，即12k3k0, 解得k.10已知a(1，0)，b(2，1).(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2).因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)×50，得k.所以当k时，kab与a2b共线(2)因为A，B，C三点共线，所以，R，即2a3b(amb)，所以解得m.B能力提升11已知向量a(1，0)，b(0，1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选D因为a(1，0)，b(0，1)，若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，显然，c与d不平行，排除A，B若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，即cd且c与d反向12(多选)已知向量a(x，3)，b(3，x)，则下列叙述中不正确是()A存在实数x，使abB存在实数x，使(ab)aC存在实数x，m，使(mab)aD存在实数x，m，使(mab)b解析：选ABC由ab，得x29，无实数解，故A中叙述错误；ab(x3，3x)，由(ab)a，得3(x3)x(3x)0，即x29，无实数解，故B中叙述错误；mab(mx3，3mx)，由(mab)a，得(3mx)x3(mx3)0，即x29，无实数解，故C中叙述错误；由(mab)b，得3(3mx)x(mx3)0，即m0，所以m0，xR，故D中叙述正确故选ABC13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为_解析：设P(x，y)，则(x1，y)，(5，4)，(3，6)，(4，0).由B，P，D三点共线可得(5，4).又因为(54，4)，由与共线得(54)×6120.解得.所以，所以P的坐标为.答案：14设(2，1)，(3，0)，(m，3).(1)当m8时，将用和表示；(2)若以A，B，C三点为顶点能构成三角形，求实数m应满足的条件解：(1)当m8时，(8，3)，设xy，则x(2，1)y(3，0)(2x3y，x)(8，3)，所以所以所以3.(2)因为以A，B，C三点为顶点能构成三角形，所以，不共线又(1，1)，(m2，4)，所以1×41×(m2)0，所以m6.C拓展探究15已知平面上有A(2，1)，B(1，4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC，点E在CD上，且，求E点的坐标解：因为，所以2.所以2，所以.设C点坐标为(x，y)，则(x2，y1)(3，3)，所以x5，y2，所以C(5，2).因为，所以4，所以445，所以45.设E点坐标为(x，y)，则4(9，1)5(4x，3y).所以解得所以E点的坐标为.