2015—2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）文科数学真题及参考答案汇总.pdf

20152020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷（全国卷） 文科数学真题及参考答案汇总文科数学真题及参考答案汇总 2015 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 文文 科科 数数 学学 注注意意事事项项： 1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓 名、准考证号码填写在答题卡上。 2回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第 I I 卷卷（选选择择题题，共共 6 60 0 分分） 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目 要要求求的的。 1已知集合 | 12Axx ， |03Bxx，则AB A( 1,3)B( 1,0)C(0,2)D(2,3) 2若 a 为实数，且 2 3 1 ai i i ，则 a = A-4B-3C3D4 3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不 正确的是 2004 年2005 年2006 年2007 年2008 年2009 年2010 年2011 年2012 年2013 年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4向量(1, 1)a，( 1,2) b，则(2)aba A-1B0C1D3 5设 Sn等差数列 n a的前 n 项和。若 a1+ a3+ a5= 3，则 S5= A5B7C9D11 6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为 A 1 8 B 1 7 C 1 6 D 1 5 7已知三点(1,0)A，(0, 3)B，(2, 3)C，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 A 5 3 B 21 3 C 2 5 3 D 4 3 8 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九 章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入 的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a = A0B2C4D14 9已知等比数列 n a满足 1 1 4 a ，a3a5= 4 4(1)a ，则 a2= A2B1C 1 2 D 1 8 10已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB = 90，C 为该球面上的动点。若三棱锥 OABC 体积的 最大值为 36，则球 O 的表面积为 A36B64C144D256 11如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2，BC = 1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记AOB = x。将动点 P 到 A，B 两点距 离之和表示为 x 的函数( )f x，则( )yf x的图象大致为 12设函数 2 1 ( )ln(1 |) 1 f xx x ，则使得( )(21)f xfx成立的 x 的取值范围是 A 1 ( ,1) 3 B 1 (, )(1,) 3 C 1 1 (, ) 3 3 D 11 (,)( ,) 33 第第 I II I 卷卷（非非选选择择题题，共共 9 90 0 分分） 本本卷卷包包括括必必考考题题和和选选考考题题两两部部分分。第第 13 题题 第第 21 题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。 第第 22 题题 第第 24 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答。 二二、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分。 13已知函数 3 ( )2f xaxx的图象过点( 1,4)，则 a = _。 14若 x，y 满足约束条件 50 210 210 xy xy xy ，则2zxy的最大值为_。 15已知双曲线过点(4, 3)，且渐近线方程为 1 2 yx ，则该双曲线的标准方程为_。 16已知曲线lnyxx在点(1,1)处的切线与曲线 2 (2)1yaxax相切，则 a = _。 三三、解解答答题题：解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。 17 （本小题满分 12 分） ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC。 （1）求 sin sin B C ； （2）若60BAC ，求B。 18 （本小题满分 12 分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对 产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数 分布表。 A 地地区区用用户户满满意意度度评评分分的的频频率率分分布布直直方方图图 405060708090满意度评分 O 100 0.005 0.015 0.025 0.035 频率/组距 0.010 0.020 0.030 0.040 B 地地区区用用户户满满意意度度评评分分的的频频数数分分布布表表 满意度评分分组 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数2814106 （1）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） ； B 地地区区用用户户满满意意度度评评分分的的频频率率分分布布直直方方图图 O 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 频率/组距 5060708090100 满意度评分 （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 19 （本小题满分 12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1= 8， 点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ； （2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，点(2, 2)在 C 上。 （1）求 C 的方程； （2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M。证 明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln(1)f xxax。 （1）讨论( )f x的单调性； （2）当( )f x有最大值，且最大值大于 2a - 2 时，求 a 的取值范围。 请请考考生生在在第第 22、23、24 题题中中任任选选一一题题作作答答，如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题记记分分。作作答答时时请请写写 清清题题号号 22 （本小题满分 10 分） 选修 4 - 1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E， F 两点。 （1）证明：EFBC； （2）若 AG 等于O 的半径，且2 3AEMN，求四边形 EBCF 的面积。 G A EF O ND BC M D D1C1 A1 E F AB C B1 23 （本小题满分 10 分） 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： cos sin xt yt （t 为参数，t 0） ，其中 0 cd；则abcd； （2）abcd是| |abcd的充要条件。 参参考考答答案案 一选择题 （1）A（2）D（3）D（4）C（5）A（6）D （7）B（8）B（9）C（10）C（11）B（12）A 二填空题 （13）-2（14）8（15） 2 2 1 4 x y（16）8 三解答题 （17）解： （）由正弦定理得 , sinsinsinsin ADBDADDC BBADCCAD 因为AD平分,2BAC BDDC，所以 sin1 sin2 BDC CBD （）因为180(),60CBACBBAC ，所以 31 sinsin()cossin 22 CBACBBB 由（）知2sinsinBC，所以 3 tan 3 B，即30B （18）解： （） 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较 分散。 （）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 记 A C表示事件： “A 地区用户的满意度等级为不满意” ； 记 B C表示事件： “B 地区用户的满意 度等级为不满意” 。 由直方图得() A P C的估计值为(0.01 0.020.03) 100.6 () B P C的估计值为(0.0050.02) 100.25 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 （19）解： （）交线围成的正方形EHGF如图： （）作EMAB，垂足为 M，则 111 4,12,8AMAEEBEMAA 因为EHGF为正方形，所以10EHEFBC 于是 22 6,10,6MHEHEMAHHB 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 9 7 （ 7 9 也正确） （20）解： （）由题意有 22 22 242 ,1 2 ab aab ， 解得 22 8,4ab 所以C的方程为 22 1 84 xy （）设直线 1122 :(0,0), ( ,), (,),(,) MM l ykxb kbA x yB xyM xy 将ykxb代入 22 1 84 xy 得 222 (21)4280kxkbxb 故 12 22 2 , 22121 MMM xxkbb xykxb kk 于是直线 OM 的斜率 1 2 M OM M y k xk ，即 1 2 OM kk 所以直线 OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。 （21）解： （）( )f x的定义域为 1 (0,),( )fxa x 若0a ，则( )0fx，所以( )f x在(0,)单调递增 若0a ，则当 1 (0,)x a 时，( )0fx；当 1 (,)x a 时，( )0fx。所以( )f x在 1 (0,) a 单调递增，在 1 (,) a 单调递减。 （）由（）知，当0a 时，( )f x在(0,)无最大值；当0a 时，( )f x在 1 x a 取得最大 值，最大值为 111 ( )ln( )(1)ln1faaa aaa 因此 1 ( )22fa a 等价于ln10aa 令( )ln1g aaa，则( )g a在(0,)单调递增，(1)0g 于是，当01a时，( )0g a ；当1a 时，( )0g a 因此，a的取值范围是(0,1) （22）解： （）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB 的平分线 又因为O分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以AEAF， 故ADEF 从而/EFBC （）由（）知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦，所 以O在AD上 连结,OE OM，则OEAE 由AG等于O的半径得2AOOE，所以30OAE ，因此ABC和AEF都是等边 三角形 因为2 3AE ，所以4,2AOOE 因为 1 2,3 2 OMOEDMMN，所以1OD ，于是 10 3 5, 3 ADAB 所以四边形EBCF的面积为 22 110 331316 3 ()(2 3) 232223 （23）解： （） 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 20 xyy，曲线 3 C的直角坐标方程为 22 2 30 xyx. 联立 22 22 20, 2 30 xyy xyx 解得 0, 0, x y 或 3 , 2 3 . 2 x y 所以 2 C与 3 C交点的直角坐标为(0,0)和 3 3 (, ) 22 （）曲线 1 C的极坐标方程为(,0)R ，其中0 因此A的极坐标为(2sin, ) ，B的极坐标为(2 3cos , ) 所以| |2sin2 3cos| 4|sin()| 3 AB 当 5 6 时，|AB取得最大值，最大值为 4 （24）解： （）因为 22 ()2,()2abababcdcdcd， 由题设,abcd abcd得 22 ()()abcd 因此abcd （） （）若| |abcd，则 22 ()()abcd，即 22 ()4()4ababcdcd 因为abcd，所以abcd 由（）得abcd （）若abcd，则 22 ()()abcd，即 22ababcdcd 因为abcd，所以abcd，于是 2222 ()()4()4()abababcdcdcd 因此| |abcd 综上，abcd是| |abcd的充要条件 2 20 01 16 6 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 文文科科数数学学 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第卷 一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 （1）已知集合123A ， ， 2 |9Bx x，则AB （A）21 0 1 2 3， ， ，（B）21 0 1 2， ， ，（C）1 2 3，（D）1 2， （2）设复数 z 满足i3iz ，则z= （A）12i （B）12i（C）32i（D）32i (3) 函数= sin()y Ax的部分图像如图所示，则 （A）2sin(2) 6 yx （B）2sin(2) 3 yx （C）2sin(2 +) 6 yx （D）2sin(2 +) 3 yx (4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A）12（B） 32 3 （C）（D） (5) 设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= k x （k0）与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k= （A） 1 2 （B）1（C） 3 2 （D）2 (6) 圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心到直线 ax+y1=0 的距离为 1，则 a= （A） 4 3 （B） 3 4 （C）3（D）2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20（B）24（C）28（D）32 (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 （A） 7 10 （B） 5 8 （C） 3 8 （D） 3 10 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图执行该程 序框图，若输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域相同的是 （A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D） 1 y x (11) 函数 ( )cos26cos() 2 f xxx的最大值为 （A）4（B）5（C）6（D）7 (12) 已知函数 f(x)（xR）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（x1,y1） ，(x2,y2)， （xm,ym） ，则 1 = i i x (A)0(B)m(C) 2m(D)4m 二二填填空空题题：共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分. . (13) 已知向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 ab，则 m=_. (14) 若 x，y 满足约束条件 10 30 30 xy xy x ，则 z=x-2y 的最小值为_ （15）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 4 cos 5 A ， 5 cos 13 C ，a=1，则 b=_. （16）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后 说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙 说： “我的卡片上的数字之和不是 5” ，则甲的卡片上的数字是_. 三三、解解答答题题：解解答答应应写写出出文文字字说说明明，证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 （17）(本小题满分 12 分) 等差数列 n a中， 3457 4,6aaaa （I）求 n a的通项公式； (II)设 n b = n a ，求数列 n b 的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=0,2.6=2 （18）(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年 度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： （I）记 A 为事件： “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A)的估计值； (II)记 B 为事件： “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160”. 求 P(B)的估计值； （III）求续保人本年度的平均保费估计值. （19） （本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H， 将DEF沿 EF 折到D EF的位置. （I）证明：ACHD ； (II)若 5 5,6,2 2 4 ABACAEOD,求五棱锥 ABCEFD 体积. （20） （本小题满分 12 分） 已知函数( )(1)ln(1)f xxxa x. （I）当4a 时，求曲线( )yf x在1,(1)f处的切线方程； (II)若当1,x时，( )0f x ，求a的取值范围. （21） （本小题满分 12 分） 已知 A 是椭圆 E： 22 1 43 xy 的左顶点， 斜率为0k k的直线交 E 于 A， M 两点， 点 N 在 E 上，MANA. （I）当AMAN时，求AMN的面积 (II)当 2AMAN时，证明：32k. 请考生在第 2224 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作 DFCE， 垂足为 F. （）证明：B，C，G，F 四点共圆； （）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积. （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 22 ( +6) += 25xy. （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （）直线 l 的参数方程是 cos sin xt, yt, = = （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点，10AB =,求 l 的斜率. （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 11 ( ) 22 f xxx=-+，M 为不等式( )2f x <的解集. （）求 M； （）证明：当 a，bM时，1abab+0） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 2 (1) 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k ，故 2 12 2 24k xx k 所以 2 12 2 44 (1)(1) k ABAFBFxx k 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得 k=1（舍去） ，k=1 因此 l 的方程为 y=x1 （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为 2(3)yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则 00 2 200 0 5 (1) (1)16. 2 yx yx x ， 解得 0 0 3 2 x y ， 或 0 0 11 6. x y ， 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 21解： （1）当 a=3 时，f（x）= 32 1 333 3 xxx，f （x）= 2 63xx 令 f （x）=0 解得 x=3 2 3 或 x=3 2 3 当 x（，3 2 3 ）（3 2 3 ，+）时，f （x）0； 当 x（3 2 3 ，3 2 3 ）时，f （x）<0 故 f（x）在（，3 2 3 ），（3 2 3 ，+）单调递增，在（3 2 3 ，3 2 3 ）单调递减 （2）由于 2 10 xx ，所以 ( )0f x 等价于 3 2 30 1 x a xx 设 ( )g x= 3 2 3 1 x a xx ，则 g （x）= 22 22 (23) (1) xxx xx 0，仅当 x=0 时 g （x）=0，所以 g（x）在（， +）单调递增故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点学科网 又 f（3a1）= 22 111 626()0 366 aaa ，f（3a+1）= 1 0 3 ，故 f（x）有一个零点 综上，f（x）只有一个零点 22解： （1）曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时，l的直角坐标方程为 tan2tanyx ， 当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22 (13cos)4(2cossin)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为 1 t， 2 t，则 12 0tt 又由得 12 2 4(2cossin) 13cos tt ，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23解： （1）当1a 时， 24,1, ( )2, 12, 26,2. xx f xx xx 可得 ( )0f x 的解集为 | 2 3xx （2） ( )1f x 等价于| |2| 4xax 而| |2| |2|xaxa ，且当2x 时等号成立故 ( )1f x 等价于| 2| 4a 由| 2| 4a 可得6a 或2a ，所以a的取值范围是( , 62,) 第 1页（共 9页） 2019 年全国统一高考数学试卷（文科） （全国新课标） 一、选择题：本本题题共共 1 12 2 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 6 60 0 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有 一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。 1已知集合 |1Ax x ， |2Bx x，则(AB ) A( 1,) B(,2)C( 1,2)D 2设(2)zii，则(z ) A12iB12i C12iD12i 3已知向量(2,3)a ，(3,2)b ，则| (ab ) A2B2C5 2D50 4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为() A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后， 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确， 那么三人按成绩由高到低的次序为 () A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙 6设( )f x为奇函数，且当0 x时，( )1 x f xe，则当0 x 时，( )(f x ) A1 x eB1 x eC1 x eD1 x e 7设，为两个平面，则/ /的充要条件是() A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面 8若 1 4 x ， 2 3 4 x 是函数( )sin(0)f xx两个相邻的极值点，则() A2B 3 2 C1D 1 2 9若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点是椭圆 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则(p ) A2B3C4D8 10曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为() A10 xy B2210 xy C2210 xy D10 xy 11已知(0,) 2 ，2sin2cos21，则sin() A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 12设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆 与圆 222 xya交于P，Q两点，若| |PQOF，则C的离心率为() 第 2页（共 9页） A2B3C2D5 二、填空题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共 2 20 0 分分。 13若变量x，y满足约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 则3zxy的最大值是 14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正 点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站 高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知sincos0bAaB， 则B 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方 体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图1)半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是 一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱 长为1则该半正多面体共有个面，其棱长 为 三、解答题：共共 7 70 0 分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。第第 1 17 72 21 1 题题为为必必考考 题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。第第 2 22 2、2 23 3 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答。 （一一）必必考考题题：共共 6 60 0 分分。 17 （12 分）如图，长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，点E在棱 1 AA上， 1 BEEC （1）证明：BE 平面 11 EBC； （2）若 1 AEAE，3AB ，求四棱锥 11 EBBC C的体积 第 3页（共 9页） 18 （12 分）已知 n a的各项均为正数的等比数列， 1 2a ， 32 216aa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，求数列 n b的前n项和 19 （12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业， 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表 y的分组 0.20，0)0，0.20)0.20，0.40)0.40，0.60)0.60，0.80) 企业数22453147 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表） （精确到0.01) 附：748.602 20 （12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点，P为C上的点，O为 坐标原点 （1）若 2 POF为等边三角形，求C的离心率； （2）如果存在点P，使得 12 PFPF，且 12 FPF的面积等于 16，求b的值和a的取值范围 21 （12 分）已知函数( )(1)1f xxlnxx证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 （二）选考题：共共 1 10 0 分分。请请考考生生在在第第 2 22 2、2 23 3 题题中中任任选选一一题题作作答答。如如果果多多做做，则则按按所所做做的的 第第一一题题计计分分。 选选修修 4 4- -4 4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程 （1 10 0 分分） 22 （10 分）在极坐标系中，O为极点，点 0 (M， 00 )(0)在曲线:4sinC上，直 线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P （1）当 0 3 时，求 0 及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程 选选修修 4 4- -5 5：不不等等式式选选讲讲 （1 10 0 分分） 23已知函数( ) |2|()f xxa xxxa （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）当(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围 第 4页（共 9页） 1.【解析】 ：由 |1Ax x ， |2Bx x， 得 |1 |2( 1,2)ABx xx x 故选：C 2.【解析】 ：(2)12ziii ， 12zi ， 故选：D 3.【解析】 ：(2,3)a ，(3,2)b ， (2ab ，3)(3，2)( 1 ，1)， 22 |( 1)12ab 故选：A 4.【解析】 ：由题意，可知： 根据组合的概念，可知： 从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况数为 3 5 C， 恰有 2 只测量过该指标的所有情况数为 21 32 C C 21 32 3 5 3 5 C C p C 故选：B 5.【解析】 ：由题意，可把三人的预测简写如下： 甲：甲乙 乙：丙乙且丙甲 丙：丙乙 只有一个人预测正确， 分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲， 乙预测不正确，而丙乙正确， 只有丙甲不正确， 甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾 不符合题意 只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙 故选：A 第 5页（共 9页） 6.【解析】 ：设0 x ，则0 x ， ()1 x fxe， 设( )f x为奇函数，( )1 x f xe， 即( )1 x f xe 故选：D 7.【解析】 ：对于A，内有无数条直线与平行， 或/ /； 对于B，内有两条相交直线与平行，/ /； 对于C，平行于同一条直线， 或/ /； 对于D，垂直于同一平面， 或/ / 故选：B 8.【解析】 ： 1 4 x ， 2 3 4 x 是函数( )sin(0)f xx两个相邻的极值点， 32 2() 44 T 2， 故选：A 9.【解析】 ：由题意可得： 2 3() 2 p pp，解得8p 故选：D 10.【解析】 ：由2sincosyxx，得2cossinyxx ， |2cossin2 x y ， 曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为12()yx ， 即2210 xy 故选：C 11.【解析】 ：2sin2cos21，可得： 2 4sincos2cos， (0,) 2 ，sin0，cos0，cos2sin， 22222 sincossin(2sin)5sin1， 解得： 5 sin 5 故选：B 12. 【解析】 ：如图， 第 6页（共 9页） 由题意，把 2 c x 代入 222 xya，得 2 2 2 4 c PQa， 再由| |PQOF，得 2 2 2 4 c ac，即 22 2ac， 2 2 2 c a ，解得2 c e a 故选：A 13.【解析】 ：由约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 作出可行域如图： 化目标函数3zxy为3yxz，由图可知，当直线3yxz过(3,0)A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 9故答案为：9 14.【解析】 ：经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97， 有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99， 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为： 1 (100.97200.98100.99)0.98 102010 x 故答案为：0.98 15.【解析】 ：sincos0bAaB， 由正弦定理可得：sinsinsincos0ABAB， (0, )A，sin0A ， 可得：sincos0BB，可得：tan1B ， (0, )B， 3 4 B 故答案为： 3 4 16. 【解析】 ： 该半正多面体共有888226个面， 设其棱长为x， 则 22 1 22 xxx， 解得21x 故答案为：26，21 17.【解析】 ： （1）证明：由长方体 1111 ABCDABC D，可知 第 7页（共 9页） 11 BC 平面 11 ABB A，BE 平面 11 ABB A， 11 BCBE， 1 BEEC， 1111 BCECC ， BE平面 11 EBC； （2）由（1）知 1 90BEB，由题设可知Rt ABERt 11 A B E， 11 45AEBAEB ，3AEAB， 1 26AAAE， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1/ / AA平面 11 BBC C， 1 EAA，AB 平面 11 BBC C， E到平面 11 BBC C的距离3dAB， 四棱锥 11 EBBC C的体积 1 36318 3 V 18.【解析】 ： （1）设等比数列的公比为q， 由 1 2a ， 32 216aa，得 2 2416qq， 即 2 280qq，解得2q （舍)或4q 1121 1 242 nnn n aa q ； （2） 21 22 log221 n nn balogn ， 1 1b ， 1 2(1)1212 nn bbnn ， 数列 n b是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则数列 n b的前n项和 2 (1)2 1 2 n n n