2015—2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文数真题及参考答案汇总.pdf
20152020 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 （全全国国卷卷） 文文真题及参考答案汇总真题及参考答案汇总数 文科数学试题 第 1页（共 10页） 2015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页，满分 150 分 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 （1）已知集合32,Ax xnnN，6,8,10,12,14B ，则AB中的元素个数为 （A）5（B）4（C）3（D）2 （2）已知点(0,1),(3,2)AB，向量( 4, 3)AC ，则向量BC （A）( 7, 4)（B）(7,4)（C）( 1,4)（D）(1,4) （3）已知复数z满足(1)1zii ，则z （A）2i （B）2i （C）2i（D）2i （4）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数， 从1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（） （A） 3 10 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 （5）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线 2 :8C yx的焦点 重合，,A B是 C 的准线与 E 的两个交点，则AB （A）3（B）6（C）9（D）12 （6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问”积及为 米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米 （如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长 为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各 为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率 约为 3，估算出堆放的米约有 （A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 （7）已知 n a是公差为 1 的等差数列， n S为 n a的前n项和，若 84 4SS，则 10 a 文科数学试题 第 2页（共 10页） （A）17 2 （B）19 2 （C）10（D）12 （8）函数( )cos()f xx的部分图像如图所示，则( )f x的单调递减区间为 （A） 13 (,)() 44 kkkZ （B） 13 (2,2)() 44 kkkZ （C） 13 (,)() 44 kkkZ （D） 13 (2,2)() 44 kkkZ （9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t ，则输出的n （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）已知函数 1 2 22,1 ( ) log (1),1 x x f x xx ， 且( )3f a ，则(6)fa （A） 7 4 （B） 5 4 （C） 3 4 （D） 1 4 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成 一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示.若该几何体的表面积为 1620，则 r （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 （12）设函数( )yf x的图像与2x ay 的图像关于直线 yx 对称，且( 2)( 4)1ff，则a （A）1（B）1（C）2（D）4 2r r 正视图正视图 俯视图 r 2r 文科数学试题 第 3页（共 10页） 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 （13）数列 n a中 11 2,2, nnn aaa S 为 n a的前 n 项和，若126 n S ，则n （14）已知函数 3 1f xaxx的图像在点 1,1f的处的切线过点2,7，则 a （15）若 x，y 满足约束条件 20 210 220 xy xy xy ，则 z=3x+y 的最大值为 （16） 已知F是双曲线 2 2 :1 8 y C x 的右焦点， P 是 C 左支上一点， 0,6 6A， 当APF 周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17 ） （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知, ,a b c分 别 是 ABC内 角, ,A B C的 对 边 ， 2 sin2sinsinBAC （）若ab，求cosB； （）若90B ，且 2,a 求ABC的面积 （18）（本小题满分 12 分） 如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点，BEABCD 平面 （）证明：平面AEC 平面BED； （）若120ABC ，AEEC， 三棱锥EACD的体积为 6 3 ，求该三棱 锥的侧面积 （19） （本小题满分 12 分）某公司为确定下一 年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和 年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 i x和年销售量1,2,8 i y i 数据作 了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 文科数学试题 第 4页（共 10页） xyw 8 2 1 () i i xx 8 2 1 () i i ww 8 22 1 () () ii i xxyy 8 2 1 () () ii i wwyy 46.65636.8289.81.61469108.8 表中， ii wx， 8 1 1 8 i i ww （）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量 y 关于 年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为0.2zyx，根据（）的结果回答 下列问题： （i）当年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 1122 ( ,),(,),(,) nn u vu vu v，其回归直线vu的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i uu vv vu uu （20）（本小题满分12分） 已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C： 22 231xy 交于 M，N 两点 （）求 k 的取值范围； （）若12OM ON ，其中 O 为坐标原点，求MN （21） （本小题满分 12 分）设函数 2 ln x f xeax （）讨论 f x的导函数 fx的零点的个数； （）证明：当0a 时 2 2lnf xaa a 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时 文科数学试题 第 5页（共 10页） 请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图 AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点 E （）若 D 为 AC 中点，证明：DE 是O 切线； （）若3OACE，求ACB的大小 （23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1: 2Cx ，圆 22 2: 121Cxy，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 12 ,C C的极坐标方程； （） 若直线 3 C的极坐标方程为 R 4 ， 设 23 ,C C的交点为,M N， 求 2 C MN 的面积 （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )12,0f xxxa a （）当1a 时求不等式( )1f x 的解集； （）若( )f x的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 2015 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 文文科科数数学学参参考考答答案案 一、选择题 （1）D（2）A（3）C（4）C（5）B（6）B （7）B（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C 二、填空题 （13）6（14）1（15）4（16）12 6 三、解答题 17、解： C D A E B O 文科数学试题 第 6页（共 10页） （）由题设及正弦定理可得 2 b=2ac. 又 a=b，可得 cosB= 2 22 2 acb ac = 1 4 6 分 （）由（）知 2 b=2ac. 因为 B= o 90，由勾股定理得 222 ac =b. 故 22 ac =2ac，的 c=a=2. 所以ABC 的面积为 1.12 分 18、解： （）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE，故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.5 分 （）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，又ABC= o 120，可得 AG=GC= 3 2 x，GB=GD= 2 x . 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可的 EG= 3 2 x. 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE= 2 2 x. 由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 E ACD V = 1 3 1 2 ACGDBE= 3 66 243 x . 故x=29 分 从而可得 AE=EC=ED=6. 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为5. 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+25.12 分 19、解： （）由散点图可以判断，y=c+dx适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x的回归方程 式类型. 文科数学试题 第 7页（共 10页） （）令wx，先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于 2 8 1 8 1 ()() 108.8 d=68 1.6 () ii i i i ww yy ww ， 56368 6.8100.6cydw ， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y=100.668w ，因此 y 关于x的回归方程为 y100.668 x （） （）由（）知，当x=49 时，年销售量 y 的预报值 y100.668 49=576.6 ， 年利润 z 的预报值 z=576.6 0.24966.32 9 分 （）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值 z=0.2(100.6+68)- =-13.620.12x xxx . 所以当 13.6 =6.8 2 x ，即x=46.24 时，z 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分 20、解： （）由题设，可知直线l的方程为1ykx. 因为l与 C 交于两点，所以 2 23 1 1 1 k k . 解得 4747 33 k . 所以 k 的取值范围为 47 47 (,) 33 .5 分 （）设 1122 ,(,)M x yN xy. 将1ykx代入方程 22 (2)(3)1xy，整理得 22 (1)4(1)70kxk x. 文科数学试题 第 8页（共 10页） 所以 1212 22 4(1)7 , 11 k xxx x kk . 1212 OM ONc xy y 2 1212 11kx xk xx 2 41 8 1 kk k . 由题设可得 2 41 8 1 kk k =12，解得 k=1，所以l的方程是 y=x+1. 故圆心 C 在l上，所以2MN .12 分 21、解： （） f x的定义域为 2 0,2(0) x a fxex x . 当a0 时， 0fxfx ，没有零点； 当0a时， 因为 2x e单调递增， a x 单调递减， 所以 fx在0,单调递增， 又 0fa， 当 b 满足 0b 4 a 且 b 1 4 时，( ) 0f b，故当a0 时 fx存在唯一零点. 6 分 （）由（） ，可设 fx在0,的唯一零点为 0 x，当 0 0 xx，时， fx0； 当 0 xx，时， fx0. 故 f x在0 ，单调递减，在 0 x ，单调递增，所以 0 xx时， f x取得最小值， 最小值为 0 f x. 由于 0 2 0 20 x a e x ，所以 00 0 22 2121 2 a f xaxa naa n xaa . 故当0a时， 2 21f xaa n a .12 分 22、解： （）连接 AE，由已知得，AEBC，ACAB. 在 RtAEC 中，由已知得，DE=DC，故DEC=DCE. 连结 OE，则OBE=OEB. 又OED+ABC= o 90，所以DEC+OEB= o 90，故OED= o 90，DE 是O 的切线. 文科数学试题 第 9页（共 10页） 5 分 （） 设 CE=1， AE=x， 由已知得 AB=2 3， BE= 2 12x.由射影定理可得， 2 AECE BE， 所以 22 12xx，即 42 120 xx.可得3x ，所以ACB=60o. 10 分 23、解： （）因为cos ,sinxy，所以 1 C的极坐标方程为cos2 ， 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin40.5 分 （）将 4 代入 2 2 cos4 sin40，得 2 3 240，解得 12 2 2,2.故 12 2，即2MN 由于 2 C的半径为 1，所以 2 C MN的面积为 1 2 .10 分 24、解： （）当1a 时， 1f x 化为1211 0 xx . 当1x 时，不等式化为40 x ，无解； 当11x 时，不等式化为320 x ，解得 2 1 3 x ； 当1x ，不等式化为-x+20，解得 1x2. 所以 1f x 的解集为 2 2 3 xx .5 分 （）由题设可得， 12 ,1 31 2 , 1, 12 ,. xa x f xxaxa xa xa 所以函数 f x的图像与x轴围成的三角形的三个丁点分别为 文科数学试题 第 10页（共 10页） 21,0 , 21,0 ,1 3 a ABaC a a ，ABC 的面积为 22 1 3 a. 由题设得 22 1 3 a6，故a2. 所以a的取值范围为2 ，.10 分 - 1 - 2016 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 文文科科数数学学 本本试试题题卷卷共共 5 页页，24 题题（含含选选考考题题） 。全全卷卷满满分分 150 分分。考考试试用用时时 120 分分钟钟。 注注意意事事项项： 1 1、答答题题前前，先先将将自自己己的的姓姓名名、准准考考证证号号填填写写在在试试题题卷卷和和答答题题卡卡上上，并并将将准准考考证证号号条条形形码码 粘粘贴贴在在答答题题卡卡上上的的指指定定位位置置。用用 2B 铅铅笔笔将将答答题题卡卡上上试试卷卷类类型型 A 后后的的方方框框涂涂黑黑。 2 2、选选择择题题的的作作答答：每每小小题题选选出出答答案案后后，用用 2B 铅铅笔笔把把答答题题卡卡上上对对应应题题目目的的答答案案标标号号涂涂黑黑。 写写在在试试题题卷卷、草草稿稿纸纸和和答答题题卡卡上上的的非非答答题题区区域域均均无无效效。 3 3、 填填空空题题和和解解答答题题的的作作答答： 用用签签字字笔笔直直接接答答在在答答题题卡卡上上对对应应的的答答题题区区域域内内。 写写在在试试题题卷卷、 草草稿稿纸纸和和答答题题卡卡上上的的非非答答题题区区域域均均无无效效。 4 4、选选考考题题的的作作答答：先先把把所所选选题题目目的的题题号号在在答答题题卡卡上上指指定定的的位位置置用用 2B 铅铅笔笔涂涂黑黑。答答案案写写 在在答答题题卡卡上上对对应应的的答答题题区区域域内内，写写在在试试题题卷卷、草草稿稿纸纸和和答答题题卡卡上上的的非非答答题题区区域域均均无无效效。 5 5、考考试试结结束束后后，请请将将本本试试题题卷卷和和答答题题卡卡一一并并上上交交。 第第卷卷 一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合 题题目目要要求求的的. （1）设集合，则 （A）1,3（B）3,5（C）5,7（D）1,7 (2) 设的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a= （A）3（B）2（C）2（D）3 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A）（B）（C）（D） （4）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知，则 b= - 2 - （A）（B）（C）2（D）3 （5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭 圆的离心率为 （A） 1 3（B） 1 2（C） 2 3（D）34 （6）将函数 y=2sin (2x+6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 （A）y=2sin(2x+4)（B）y=2sin(2x+3)（C）y=2sin(2x4)（D）y=2sin(2x3) （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何 体的体积是283 ，则它的表面积是 （A）17（B）18（C）20（D）28 （8）若 ab0，0<c<1，则 （A）logac<logbc（B）logca<logcb（C）accb （9）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为 （A）（B） （C）（D） （10）执行右面的程序框图，如果输入的n=1,则输出的值满足 - 3 - （A） （B） （C） （D） （11）平面过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，,， ，则 m，n 所成角的正弦值为 （A）（B）（C）（D） （12）若函数在单调递增，则 a 的取值范围是 （A）（B）（C）（D） 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第(22) 题第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 ab，则 x=. （14）已知是第四象限角，且 sin(+)=，则 tan()=. （15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若， 则圆 C 的面积为. （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲 材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg， 用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现 - 4 - 有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的 利润之和的最大值为元. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （ 17 ） （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列满 足 . （I）求的通项公式； （II）求的前 n 项和. （18） （本小题满分 12 分）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点D，D在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明：G 是 AB 的中点； （II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由） ，并求四面体 PDEF 的体 积 （19） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间， 如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此 搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： - 5 - 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所 需的费用（单位：元） ，表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若=19，求 y 与 x 的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于 0.5，求 的最小值； （III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损 零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购 买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ （20） （本小题满分 12 分）在直角坐标系中，直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H. （I）求； （II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. （21） （本小题满分 12 分）已知函数. (I)讨论的单调性； (II)若有两个零点，求的取值范围. 请请考考生生在在 22、23、24 题题中中任任选选一一题题作作答答,如如果果多多做做,则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分,做做答答时时请请写写清清题题号号 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120.以 O 为圆心，OA 为半径作圆. - 6 - (I)证明：直线 AB 与O 相切； (II)点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD. （23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a 0） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=. （I）说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3的极坐标方程为，其中满足 tan=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a （24） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲 已知函数. （I）画出的图像； （II）求不等式的解集 - 7 - 1.【答案】B 考点：集合运算 2.【答案】A 【解析】 试题分析：，由已知，得，解得，选 A. 考点：复数的概念 3.【答案】C 考点：古典概型 4.【答案】D 【解析】 试题分析：由余弦定理得，解得（舍去） ，选 D. 考点：余弦定理 5.【答案】B 【解析】 试题分析：如图，在椭圆中， ， 在中，且，代入解得 ，所以椭圆的离心率为：，故选 B. - 8 - 考点：椭圆的几何性质 6.【答案】D 考点：三角函数图像的平移 7.【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则， 解得，所以它的表面积是，故选 A学科&网 考点：三视图及球的表面积与体积 8.【答案】B 考点：指数函数与对数函数的性质 - 9 - 9.【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 函 数 f(x)=2x2e|x|在 2,2 上 是 偶 函 数 ， 其 图 象 关 于轴 对 称 ， 因 为 ，所以排除选项；当时，有一零 点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选 D. 10.【答案】C 【解析】 试题分析：第一次循环：， 第二次循环：， 第三次循环：此时满足条件，循环结束，输出，满 足故选 C. 考点：程序框图与算法案例 11.【答案】A 考 点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角. - 10 - 12.【答案】C 考点：三角变换及导数的应用 13.【答案】 【解析】 试题分析：由题意， 考点：向量的数量积及坐标运算 14.【答案】 【解析】 - 11 - 试题分析：由题意，解得 所以， 考点：三角变换 15.【答案】 考点：直线与圆 16.【答案】 - 12 - 将变形，得，作直线：并平移，当直线 经过点时，取得最大值. 解方程组，得的坐标为. 所以当，时，. 故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元. 考点：线性规划的应用 17.【答案】 （I） ； （II） - 13 - 考 点：等差数列与等比数列 18.【答案】 （I）见解析； （II）作图见解析，体积为 . 【解析】 试题分析：证明由可得是的中点. （II）在平面内，过 点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面 是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得 四面体的体积 - 14 - （II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正 投影. 理由如下： 由已知可得， 又,所以, 因此平面，即点为在平面内的正投影. 连结，因为在平面内的正投影为 ，所以 是正三角形的中心. 由（I）知，是的中点，所以在上，故 由 题 设 可 得平 面，平 面， 所 以 ，因 此 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形中，可得 所以四面体的体积 考点：线面位置关系及几何体体积的结束 - 15 - 19.【答案】 （I） ； （II）19； （III）19. 【解析】 （）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 的最小值为 19. （）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买 易损零件上所需费用的平均数为 . 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4000，10 台的费用为 4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平 均数为. 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 考点：函数解析式、概率与统计 20.【答案】 （I）2； （II）没有. 【解答】 - 16 - （）直线与除以外没有其它公共点.理由如下： 直线的方程为，即.代入得，解得 ，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共 点. 考点：直线与抛物线 21.【答案】(I)见解析；(II) . - 17 - 考点：函数单调性，导数应用 22.【答案】(I)见解析；(II)见解析. 【解析】 - 18 - 试题分析：(I)设是的中点，证明；(II) 设是四点所在圆的 圆心，作直线，证明，由此可证明 试题解析： （）设是的中点，连结， 因为，所以， 在中，即到直线的距离等于O 半径，所以直线与 相切 （） 因为， 所以不是四点所在圆的圆心， 设是 四点所在圆的圆心，作直线 由已知得在线段的垂直平分线上， 又在线段的垂直平分线上， 所以 同理可证，所以 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 23.【答案】 （I）圆， ； （II）1. 【解析】 - 19 - 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 24.【答案】 （I）见解析； （II） . - 20 - 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页，满分 150 分。 考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知集合 A= |2xx ，B= |320 xx ，则 AAB= 3 | 2 xx BAB CAB 3 | 2 xx DAB=R 2为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：kg）分 别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差 Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数 3下列各式的运算结果为纯虚数的是 Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i) 4如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在 正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 5已知 F 是双曲线 C：x2- 2 3 y =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐 标是(1,3).则APF 的面积为 A 1 3 B 1 2C 2 3D 3 2 6如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点， 则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 7设 x，y 满足约束条件 33, 1, 0, xy xy y 则 z=x+y 的最大值为 A0B1C2D3 8.函数 sin2 1 cos x y x 的部分图像大致为 9已知函数( )lnln(2)f xxx，则 A( )f x在（0,2）单调递增B( )f x在（0,2）单调递减 Cy=( )f x的图像关于直线 x=1 对称Dy=( )f x的图像关于点（1,0）对称 10如图是为了求出满足321000 nn 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中， 可以分别填入 AA1000 和 n=n+1BA1000 和 n=n+2 CA1000 和 n=n+1DA1000 和 n=n+2 11ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知sinsin(sincos)0BACC， a=2，c= 2，则 C= A 12 B 6 C 4 D 3 12设 A、B 是椭圆 C： 22 1 3 xy m 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB=120， 则 m 的取值范围是 A(0,19,)B(0, 39,) C(0,14,)D(0, 34,) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 a=（1，2），b=（m，1）.若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=_. 14曲线 2 1 yx x 在点（1，2）处的切线方程为_. 15已知 (0) 2 a，,tan =2，则 cos () 4 =_。 16已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径。若平面 SCA 平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17（12 分） 记 Sn为等比数列 n a的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6. （1）求 n a的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。 18（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC,90APD ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为 8 3 ，求该四棱锥的 侧面积. 19（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽 取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的 尺寸： 抽取次序12345678 零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 抽取次序910111213141516 零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ， 16 2 1 (8.5)18.439 i i ， 16 1 ()(8.5)2.78 i i xx i ， 其中 i x为抽取的第i个零件的尺寸， 1,2,16i （1）求( , ) i x i (1,2,16)i 的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| 0.25r ，则可以认为零件的 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小） （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )xs xs之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检 查 （）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （）在(3 ,3 )xs xs之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01） 附 ： 样 本( ,) ii x y(1,2, )in的 相 关 系 数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 0.0080.09 20（12 分） 设 A，B 为曲线 C：y= 2 4 x 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程. 21（12 分） 已知函数( )f x=ex(exa)a2x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )0f x ，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数），直线 l 的参数方 程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数）. （1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a. 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=x+1+x1. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题： 1. A2. B3. C4. D5. A6. A 7. D8. C9. C10. D11. B12. A 二、填空题： 13. 714.1yx15. 3 10 10 16.36 三、解答题： 17. 解： （1）设 n a的公比为q，由题设可得 1 2 2 (1)2, (1)6. aq
