学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用..向量的数量积应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc

6.2.4 向量的数量积A基础达标1已知ABCD中DAB30°，则与的夹角为()A30°B60°C120° D150°解析：选D.如图，与的夹角为ABC150°.2已知单位向量a，b，则(2ab)·(2ab)的值为()A. B.C3 D5解析：选C.由题意得(2ab)·(2ab)4a2b2413.3(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选C.因为a·(ab)a2a·b42cosa，b3，所以cosa，b，又因为a，b0，所以a，b.4若向量a与b的夹角为60°，|b|4，(a2b)·(a3b)72，则|a|()A2 B4C6 D12解析：选C.因为(a2b)·(a3b)a2a·b6b2|a|2|a|·|b|cos 60°6|b|2|a|22|a|9672.所以|a|22|a|240.解得|a|6或|a|4(舍去)故选C.5(2019·广东佛山质检)如图所示，ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB1，则·等于()A BC D解析：选C.因为ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB1，所以BC，所以·1××cos 150°.6若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|b|1，则(3a)·(ab)_解析：设a与b的夹角为，则120°，所以(3a)·(ab)3|a|23a·b33×1×1×cos 120°33×.答案：7已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|2，若(ab)a，则实数_解析：根据题意得a·b|a|·|b|cos 1，因为(ab)a，所以(ab)·aa2a·b0，所以.答案：8已知在ABC中，ABAC4，·8，则ABC的形状是_解析：因为·|cosBAC，即84×4cosBAC，于是cosBAC，所以BAC60°.又ABAC，故ABC是等边三角形答案：等边三角形9已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)·(ab)，且a·b.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)因为(ab)·(ab)，所以a2b2，即|a|2|b|2，又|a|1，所以|b|.设向量a，b的夹角为，因为a·b，所以|a|·|b|cos ，所以cos ，因为0°180°，所以45°，所以向量a，b的夹角为45°.(2)因为|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2，所以|ab|.10已知|a|2|b|2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为e.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)·b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)由题意知|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影向量为|a|cos ee，所以cos ，所以.(2)易知a·b|a|·|b|cos 1，则(a2b)·ba·b2b2123.(3)因为ab与a3b互相垂直，所以(ab)·(a3b)a23a·bb·a3b24313740，所以.B能力提升11在ABC中，若2···，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析：选D.因为2···，所以2···，所以·()·()，所以·2，所以·()0，所以·0，所以ACBC，所以ABC是直角三角形12若|ab|ab|2|a|，则向量ab与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选D.由|ab|ab|可得a·b0，由|ab|2|a|可得3a2b2，所以|b|a|，设向量ab与b的夹角为，则cos ，又0，所以.13在ABC中，BAC120°，AB2，AC1，D是边BC上一点，2，则·_解析：由2，所以，故·()··()·()·22|cos 120°|2|2×2×1××1×22.答案：14设向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得<0，即(2te17e2)·(e1te2)<0，化简即得2t215t7<0，画出y2t215t7的图象，如图若2t215t7<0，则t.当夹角为时，也有(2te17e2)·(e1te2)<0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，<0，可得所以所求实数t的取值范围是.C拓展探究15在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·0，由2，得，.所以···2·236×8118.(2)由题意，所以··2·236·1818·.又·6，所以18·6，所以·36.设与的夹角为，又·|·|cos 9×6×cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.