6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精讲）（解析版）.docx

6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精讲）思维导图常见考法考法一 平面向量的基本定理【例1-1】（2021陕西）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A B CD【答案】B【解析】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；对B：因为，故B中两个向量不共线；对C：因为，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；对D：因为，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.故选：B.【例1-2】（2020怀仁县大地学校高一月考）如图在梯形中，设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，又，所以.故选：D.【例1-3】（2020全国高一课时练习）在三角形中，为的中点，若，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为为的中点，所以，所以，又，所以，故选：C.【例1-4】（2020全国高一课时练习）在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）A1BCD【答案】B【解析】建立以为原点，为轴的直角坐标系，则，.又根据题意，得，则.所以，则，.故选:B.【一隅三反】1（2020上海）下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（ ）ABCD【答案】B【解析】对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确；对于，因为，所以与不共线，能成为平面内的一组基向量，故正确；对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确：对于，因为，所以与共线，不能成为平面内的一组基向量，故不正确；故选：B.2（2020河南高一其他模拟）如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】.故选：B.3（2020湖北高一期末）如图，在ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）ABCD【答案】D【解析】 ，故选D4（2021甘肃）设为所在平面内一点，若，则( )AB3CD2【答案】A【解析】若，化为，与比较，可得：，解得则故选5（2020株洲市九方中学高一期末）如图，已知，若点满足，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由得，即，又，所以，因此.故选：C.6（2020全国高一课时练习）中，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是ABCD【答案】B【解析】中，；以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，设点为，直线的方程为，联立，得，此时最大，故选：B考法二 加减数乘的坐标运算【例2】（1）（2020北京高一期末）已知点，则（ ）ABCD（2）（2020陕西省商丹高新学校高一期中）已知，则（ ）A2BC4D（3）（2020河南开封市高一期中）已知，若，则点的坐标为（ ）A（3，2）B（3，-1）C（7，0）D（1，0）（4）（2021黑龙江）已知向量，且，则，的值分别为（ ）A，B，C，D，【答案】（1）C（2）C（3）C（4）D【解析】（1）点，则.故选：C.（2）由题得=（0,4）所以故选C（3）设点的坐标为，则，因为，即，所以，解得，所以.故选：C.（4）因为，所以，因为，所以，解得，故选：D.【一隅三反】1（2020咸阳百灵学校高一月考）已知点(3，3)，(5，1)，那么等于（ ）A(2，4)B(4，2)C(2，4)D(4，2)【答案】A【解析】(3，3)，(5，1)，.故选：A2（2020渝中区重庆巴蜀中学高一期末）已知点，则与反方向的单位向量为（ ）ABCD【答案】B【解析】，,，则，所以与反方向的单位向量为.故选：B.3（2020全国高一）已知向量，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】因为向量，所以,故选：D4（2020北京二十中高一期末）已知向量，若，则实数的值为（ ）A-4B4C-1D1【答案】C【解析】由题意，向量，所以，可得，解得.故选：C.考法三 共线定理的坐标表示【例3-1】（多选）（2020三亚华侨学校高一月考）已知点，与向量平行的向量的坐标可以是（ ）ABCD(7，9)【答案】ABC【解析】由点，则选项A . ,所以A选项正确.选项B. ,所以B选项正确.选项C . ,所以C选项正确.选项D. ,所以选项D不正确故选：ABC【例3-2】（2020全国高一课时练习）已知非零向量，若，且，则（ ）A4B-4CD【答案】D【解析】由题意知，所以；又，所以，解得故选：D【例3-3】（2020全国高一）若，三点共线，则实数的值是（ ）A6BCD2【答案】B【解析】因为三点，共线，所以 ,若，三点共线，则和共线可得：，解得；故选：B【一隅三反】1（2020北京昌平区）下列各组向量中不平行的是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】对于A，有，所以与是平行向量；对于B，有，所以与是平行向量；对于C，是零向量，与是平行向量；对于D，不满足，所以与不是平行向量.故选：D2（2020浙江杭州市高一期末）与平行的一个向量的坐标是（ ）ABCD【答案】C【解析】若向量与向量平行，则，则设向量，则与符号相同，与符号相反，所以可知A，B，D不成立，选项C：若，则，故C正确.故选：C.3（2020全国高一）已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，解得或，所以“”是“” 充分不必要条件.故选：A.4（2020全国高一课时练习）已知向量，若，则实数（ ）A8BC2D【答案】D【解析】由，可得，因为，所以，解得.故选：D.5（2020全国高一单元测试）已知向量，若向量与平行，则_.【答案】【解析】向量， ，所以，若向量与平行，可得 ，解得.故答案为:考法四 向量与三角函数的综合运用【例4-1】（2021湖南）已知向量，若/，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为/，故可得，故可得，又.故选：【例4-2】（2020本溪市燕东高级中学高一月考）设向量，（1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值；（3）若，求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）由与垂直，则，即，则（2），最大值为32，所以的最大值为（3）由得，即，所以【一隅三反】1（2021新疆）已知平面向量，若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选：A2（2020全国高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，若，则的值（ ）A4B3CD0【答案】C【解析】在平面直角坐标系中，向量，因为，可得，即，所以.故选：C3（2020山东省五莲县第一中学高一月考）设0<2，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是( )ABC3D2【答案】C【解析】(2sin cos ，2cos sin )，|.当时，有最大值.故选C.考法五 奔驰定理解三角形面积【例5】（1）（2020衡水市第十四中学高一月考）若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ）.ABCD（2）（2020江西宜春市高一期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）ABCD【答案】（1）C（2）A【解析】（1）如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故ABM与ABC同底且高的比为35，故SABMSABC=35.所以选C.（2）分别取、的中点、，连接、，如图，所以是的中位线，因为，所以，所以，所以、三点共线，所以，所以即，所以即.故选：A.【一隅三反】1（2020河南安阳市林州一中高一月考）已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）ABCD【答案】C【解析】设是的中点，则，又因为，所以,，所以故选：2（2020怀仁市第一中学校云东校区）内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，在内有一点，满足，由奔驰定理可得，所以，故选A3（2020山西朔州市）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，设中点为，中点为，则,为的中位线，且，即选A4（2020全国高三专题练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为点是所在平面上一点，又，所以,即,即，则点在线段上，且,又，,又，即，所以点在线段上，且,，故选：C.5（2021山西）是所在平面上一点，满足，则为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为所以,选B. 17 / 17