6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）（解析版）.docx

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）思维导图常见考法考法一 数量积的坐标运算【例1】（1）（2020全国高一）向量，则（ ）A1BC7D0（2）（2020全国高一）已知向量，则与的夹角是（ ）ABCD（3）（2020全国）已知，则在上的投影的数量为（ ）ABCD（4）（2020天津和平区耀华中学高一期末）已知向量，若，则等于（ ）ABCD（5）（2020黑龙江双鸭山市双鸭山一中）设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围_.【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5）【解析】（1）因为，所以，故选：B.（2）设与的夹角为，则，又，即与的夹角是.故选：C（3）由题意知，在上的投影的数量为，故选：B.（4）因为，所以，解得：，故选：D（5）因为与的夹角为钝角，且不反向， ， 即解得当两向量反向时，存在使即，解得所以的取值范围.故答案为：.【一隅三反】1（2020银川市宁夏大学附属中学高一期末）向量，则（ ）A1BCD6【答案】D【解析】因为所以故选：D2（2020广东高一期末）向量，则（ ）ABC与的夹角为60D与的夹角为【答案】B【解析】向量，.故选：B.3（2020湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量，则向量在上的投影为（ ）A3BCD【答案】A【解析】因为向量，所以向量在上的投影为故选：A4（2020北京高一期末）已知向量，若，那么m的值为（ ）ABC2D【答案】C【解析】向量，若，则，即，解得.故选：C.5（2020沙坪坝区重庆八中高一期末）已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）ABCD【答案】A【解析】，与的夹角为，在方向上的投影为故选：6（2020湖南郴州市高一月考）若向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，则，,，.故选：A.7（2020河北唐山市唐山一中高一月考）平面向量，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（ ）ABC1D2【答案】A【解析】由已知，与的夹角与与的夹角互补，解得故选：A8（2020宝山区上海交大附中高一期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为_；【答案】【解析】由题意 ，即，若，则，解得，综上的范围是故答案为：考法二 巧建坐标解数量积【例2】（2020四川高一期末）如图，边长为1的等边ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（）A，0B0，C，+）D，0【答案】A【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：故可得，设点，因为点在线段上，故可得.故，故当时，取得最小值，当或时，取得最大值.故.故选：A.【一隅三反】1（2021湖南）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=4，CD=8，若，则=_.【答案】【解析】以为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=4，CD=8，若，所以，所以，则故答案为：2（2020山东济南市）在中，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）A1BC1D-2【答案】C【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，当时，取得最小值故选：C3（2021山西）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，则的最小值是（ ）A1BCD【答案】B【解析】如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，设，.故，故，故或.，故，故或.，当时，有最小值为.故选：.考法三 数量积与三角函数综合运用【例3】（2020广东揭阳市高一期末）已知向量，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.【解析】（1）因为，所以，于是，又，所以；（2）.因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值2；当，即时，取到最小值.【一隅三反】1.向量，且，则的值为（）A1B2CD3【答案】A【解析】由题意可得 ，即 ，故选A2（2020北京二十中高一期末）已知是锐角，且，则为（ ）A30B45C60D30或60【答案】B【解析】，且，求得，由是锐角，所以.故选：B.3（2021新疆）已知向量,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.【答案】(1)，；(2).【解析】(1),即.代入,得,又,则,.则.(2),.又,.=.由,得.4（2021江苏）已知向量(1)若，求证：;(2)若向量共线，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）当时，又 （2）因为向量共线，即当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：又 另解：由得所以考法四 数量积与几何的综合运用【例4】（2020陕西渭南市高一期末）已知向量，.（1）若点，能够成三角形，求实数应满足的条件；（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知向量，若点，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.，故知，实数时，满足条件.（2）若为直角三角形，且为直角，则，解得.【一隅三反】1（2020唐山市第十一中学高一期末）已知，则的形状是（ ）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形【答案】A【解析】根据已知，有，因为，所以，即故为直角三角形故选：A2（2020全国高一课时练习）已知、且（1）证明：是等腰直角三角形（2）求【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由题意得，因为，所以所以是直角三角形又，是等腰直角三角形（2）解：设点，则，且，解得，3（2020全国高一课时练习）平面直角坐标系中，已知向量，且（1）求与之间的关系式；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）；（2）16.【解析】（1）由题意得， 因为，所以，即，所以与之间的关系式为： （2）由题意得， 因为，所以，即，由得或 当时，则 当时，则 所以，四边形的面积为16. 14 / 14