高中数学必考点1：《函数与导数》（难点突破）.docx

高中数学必考点1：函数与导数（难点突破）一、单选题1已知函数，记，则（ ）ABCD2已知函数，若关于的方程无实数解，则实数的取值范围是（ ）ABCD3已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，则不等式的解集是（ ）ABCD4已知是定义在上的偶函数，当时，若，则（ ）ABCD5已知，对任意，均有，则当时，函数的最大值为（ ）A1B2C3D46已知，函数，则方程的实根个数最多有（ ）A6个B7个C8个D9个7已知函数的零点为，函数，则，的大小关系为（ ）ABCD大小关系不确定8已知定义在上的图象连续的函数的导数是，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD9已知函数，若方程有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（ ）ABCD10若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”设，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、多选题11已知函数，若关于的方程的解，则实数的可能取值为（ ）ABC0D112函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）ABCD，则最大13已知正数，满足，则（ ）ABCD14已知，则下列有关函数在上零点的说法正确的是（ ）A函数有5个零点B函数有6个零点C函数所有零点之和大于2D函数正数零点之和小于415关于函数，下列判断正确的是（ ）A是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得恒成立D对任意两个正实数，且，若，则16若函数，值域为，则（ ）ABCD17已知函数，是的导函数，则下列说法正确的是（ ）A当时，在单调递增B当时，在处的切线为x轴C当时，在上无零点D当时，在存在唯一极小值点18已知函数，则下列说法正确的是（ ）A是奇函数B的图象关于点对称C若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D令，若，则实数的取值范围是19已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的是（ ）AB在上单调递增CD若，则20用符号表示不超过的最大整数，例如：.设有3个不同的零点，则（ ）A是的一个零点BC的取值范围是D若，则的范围是三、填空题21已知的三边长分别为，角是钝角，则的取值范围是_.22如果关于的方程有唯一的正实数根，则实数的取值范围是_23已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_24已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_.25已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是_26已知，设函数，存在满足，且，则的取值范围是_.27函数的定义域为D，对D内的任意，当时，恒有，则称为非减函数已知是定义域为的非减函数，且满足：对任意，对任意则的值为_28设，函数在定义域上有两个零点，函数有两个零点，为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是_.29已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_.30已知函数的两个零点分别为，函数是定义在上的单调递增函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_四、解答题1已知实数，设函数，.（1）若，讨论的单调性；（2）若方程有唯一实根，求实数的取值范围.2已知函数，.（1）若，比较函数与的大小；（2）若，求证；（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.3已知函数，（1）当时，判断函数在定义域内的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围4已知函数，其中，（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在上恰有两个极小值点，求的取值范围；并判断是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由5已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且6已知函数，函数（1）讨论函数的极值；（2）当时，求证：；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围7函数.（1）若，求函数在处的切线；（2）若函数有两个零点，且，（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.8函数.（1）求证：有且仅有两个极值点；（2）设的两个极值点分别为，且满足，若函数有三个零点，求实数的取值范围.9已知函数，是的导数，且.（1）求的值，并讨论在上的单调性；（2）讨论函数在上的零点个数.10已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，若在上是单调函数，求实数的取值范围.11已知函数，为的导数.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 12已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点、求实数的取值范围；求证：13已知（1）若函数的图象在处的切线过坐标原点，求的值；（2）若，判断方程的实根个数14已知函数（）若，求在上的最大值；（）已知函数，若存在实数，使得函数有三个零点，求实数m的取值范围15已知函数，.（1）（）证明： ；（）证明：.（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案1D【分析】首先根据函数是偶函数判断，然后比较得到，最后根据函数在上单调递增比较三个函数值的大小即可.【解析】因为，由对数的单调性可知：，所以，且，因为函数，所以函数为偶函数，从而，因为时，所以，则当时，所以在上单调递增；则当时，所以在上单调递增；因为，所以，即；故选：D.【小结】对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断对于不同底而同真数的对数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确当底数与真数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小当底数与真数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小当然一般情况下，这两个值最好都是正数作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小2D【分析】利用导数求出在的变化情况，即可画出函数图象，观察图形，利用导数求出当直线与相切时的值，即可求出范围.【解析】当时，则，在单调递增，当时，则存在，使得，即，当时，单调递减；当时，单调递增，且，画出的函数图象如下：若关于的方程无实数解，则和无公共点，观察图形可知，当时，和必有公共点，即有实数解，当时，设直线与相切于点，即切线斜率为，则切线方程为，即，则，解得，则可得.故选：D.【小结】本题考查利用导数解决方程根的问题，解题的关键是利用导数求出函数的变化情况，数形结合可求出.3A【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当 时，即，当 时，即，.【解析】构造函数 , ,当 时，故，在 上单调递增，又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在 单调递减.,则，;，当 时，即，所以 ；当 时，即，所以.综上所述，.故选：A【小结】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当 时，当 时两种情况，因为两边同时除以，要考虑其正负.4B【分析】先根据已知得出函数在上的单调性，再利用“中间值”方法得出，的大小关系，即可作出判断【解析】当时，易知单调递减，根据偶函数的性质，得在上单调递增因为，且，所以，即故选：B.【小结】解决本题的关键一是函数单调性的判断与分析，二是这三个数的比较.5B【分析】根据一次函数的单调性及绝对值的性质，分析出的最大值即可求解.【解析】设，则，所以，当时，由于是关于x的一次函数，其最大、最小值在区间端点处取得，故，所以，所以，故选：B【小结】关键点点睛：在求的最值过程中，利用变形放缩，是解题的关键和难点，属于难题.6C【分析】以的特殊情形为突破口，解出或或；或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【解析】由基本不等式可得或，作出函数，的图像，如下： 且，当时，故方程的实数根个数为2；当时，或，故方程的实数根个数为；当时，或或，故方程的实数根个数为6；当时，或或，故方程的实数根个数为5；当时，或，故方程的实数根个数为；当时，或，故方程的实数根个数为；当时，或，故方程的实数根个数为4；综上可知，则方程的实根个数最多有6个，故选： A【小结】函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.7A【分析】先判断出函数，同零点，均为，且当时，函数，均单调递增，再利用作差法分别判断出当时，最后由即可解得结果.【解析】令，则；令，则，即，；令，则，即，；有相同的零点；在上恒成立，在上单调递增；由单调性的性质知：在上均单调递增，当时，则当时，；当时，令，则当时，在上单调递增，；当时，令，则，又当时，；综上所述：当时，又，.故选：A.【小结】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较，解题关键是能够确定三个函数共零点，结合函数的单调性，利用作差法可比较出函数值的大小关系.8A【分析】由题设，易知，构造，利用导数研究其在上的单调性，并确定对称轴，进而得到的单调性，由等价于，即可求解集.【解析】当时，即有令，则当时，故在上单调递增，关于直线对称，故在上单调递减，由等价于，则，得的解集为故选：A.【小结】关键点点睛：首先确定符号，构造函数研究单调性、对称性，由等价于求解集9D【分析】由方程有两个不相等的正实根，转化为方程有两个不相等的正实根，进而得到函数的图象与直线在上有两个不同的交点，根据当时，若直线与的图象相切，得到切点坐标为和切线方程，结合图象，即可求解.【解析】因为函数，且方程有两个不相等的正实根，所以方程有两个不相等的正实根，即方程有两个不相等的正实根，即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，因为当时，所以在上单调递增，作出在上的大致图象，如图所示，当时，若直线与的图象相切，设切点坐标为，则切线方程为，可得切线过点，所以，解得或(舍去)，所以该切线的斜率为，因为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，所以数形结合可得.故选：D.【小结】方法点拨：把方程有两个不相等的正实根，转化为方程有两个不相等的正实根，进而转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键.10B【分析】利用导数可证得在上单调递增，设，可将不等式化为，可将问题转化为在上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为在上有解，令，可得，则，利用导数求得最大值，从而得到结果.【解析】在恒成立，在上单调递增，由对数函数单调性知：在上单调递增；不妨设，由得：，令，则，在上存在单调递增区间，即在上有解，即在上有解，令，则，令，则，当时，单调递增，即实数的取值范围为.故选：B.【小结】关键点点睛：解决本题的关键一是理解新定义并结合题中函数的性质去掉绝对值符号；二是合理对问题进行转化，并构造函数，将问题最终转化为存在性问题，利用分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的关系，从而利用导数来求解11AB【分析】利用导数可得在恒成立，由此可判断CD错误；令，两次求导可得在上存在，使得在上单调递减，在上单调递增，利用零点存在性定理可判断.【解析】，当时，故在单调递减，则恒成立，则当时，在无解，故C错误；令，若，则时，此时恒成立，显然D错误；对于A，B，当时，在上恒为正，故在上单调递增又因为，在上存在唯一零点，当，；，在上单调递减，在上单调递增，而，故在上存在唯一零点，A，B正确故选：AB.【小结】本题考查利用导数解决方程解的问题，解题的关键是构造函数，求导判断出函数的变化情况，结合零点存在性定理讨论.12ABD【分析】利用导数求得函数，单调性与最值及函数的图象，结合函数最值，可得判定A正确；根据函数单调的性，可判定B正确；根据图象的变换趋势，可得判定C不正确；根据指数函数与幂函数的单调性，可判定D正确.【解析】由题意，函数，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，且当时，当时，当时，函数取得最大值，最大值为，结合函数的图象，要使得时，有，所以，所以A正确；对于B中，由，因为函数为定义域上的单调递增函数，且，所以，所以B正确；对于C中，当时，要使得，不妨设，此时，此时，所以C不正确；对于D中，因为，由指数函数的性质，可得，由幂函数的单调性，可得，所以，所以最大的为与之中，最小值在与之中，又由，可得，即，由，可得，即，所以，同理可得，综上可得，这6个数中最大的数为，最小的为，所以D正确.故选：ABD【小结】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.13BCD【分析】利用基本不等式证明不等式，判断选项AC的正误；利用，根据选项BD分别构造函数，利用导数研究单调性和最值情况来判断选项BD的正误.【解析】正数，满足，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误；由知，构造函数，则，故时，单调递减；时，单调递增.所以，故时，有，B正确；由，当且仅当时等号成立，故，故，当且仅当时取等号，而，所以，C正确；由知，构造函数，则，由指数函数性质可知单调递增，又，故时，单调递减；时，单调递增.故，即，D正确.故选：BCD.【小结】思路点睛：（1）利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立.积定，利用，求和的最小值；和定，利用，求积的最大值；妙用“1”拼凑基本不等式求最值.（2）利用导数研究函数的最值的一般步骤：写定义域，对函数求导；在定义域内，解不等式和得到单调性；利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.14BC【分析】画出函数的图象，然后使用换元法，令，转化为可知的范围，然后结合图象进行判断即可.【解析】画出函数的图象，如图所示：令，则将问题转化为方程根的个数当时，又所以，所以函数在处的切线方程为又当时，所以方程根的个数分别为又，则如图：所以方程共有6个交点，所以函数有6个零点，故A错，B对设由图可知：，又，所以，当且仅当取等号又，所以所以，故C对，D错故选：BC【小结】关键点点睛：解决本题的关键在于画出函数图象并使用等价转化的思想以及结合换元法的使用.15BD【分析】A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系【解析】A：函数的定义域为，当时，单调递减；当时，单调递增，所以是的极小值点，故A错误；B：，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，故B正确；C：若，即，则，令，则，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C错；D：因为在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，对任意两个正实数，且，若，则令，则，由，得，即，即，解得，所以故要证，需证，需证，需证，则，证令，所以在上是增函数因为时，则，所以在上是增函数因为时，则，所以，故D正确，故选：BD【小结】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系16ACD【分析】利用分段函数定义结合导数，确定函数的单调性，求出函数的值域，确定的取值范围，判断AC，再引入新函数，结合导数求其单调性，从而可判断的大小，即可判断B；引入新函数，确定单调性后判断D【解析】解：对于A，当，则恒成立，所以在上为单调递增函数，因为，故，故选项A正确；且，故当时，值域为；对于C，当时，则恒成立，所以在上单调递减，所以，故，又的值域为，所以，故，故选项C正确；对于B，由选项C可知，故，所以，令，()，所以，当时，则单调递增，当时，此时，故选项B错误；对于D，设，则，令，则在恒成立，在上单调递增，因此时，是减函数，又，即，所以，则D正确故选：ACD.【小结】关键点睛:本题的关键是结合选项构造新函数，利用导数判断其单调性.17ACD【分析】当时，求导判断函数的单调性可知A选项正确；由导数的几何意义求得函数在处的切线方程为：，故B选项错误；当时，判断导函数的单调性及特殊值，进而判断导函数的零点问题可判断C选项；当时，判断导函数在区间的正负，得到原函数的单调性，最后判断函数在区间上有极小值，从而判断D选项.【解析】当时，则，因为当时，所以恒成立，所以函数在单调递增，故A选项正确；，故在处的切线方程为：，故B选项错误；当时，所以，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上无零点，故C选项正确；当时，在单调递增，又，而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，当时，所以函数在上单调递减，当时，所以函数在上单调递增，从而在存在唯一极小值点，故D选项正确；故选：ACD.【小结】(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值18BCD【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.【解析】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为，又因为，所以不是奇函数，所以错误；将的图象向下平移两个单位得到，再向左平移一个单位得到，此时，所以图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以B正确；将函数的图象向左平移一个单位得，因为，即，所以函数为奇函数，所以函数关于点对称，所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，则，所以C正确；由，可得，由，设，可得，所以为减函数，可得函数为减函数，所以函数为单调递减函数，又由为减函数，所以为减函数，因为关于点对称，所以，即，即，解得，所以D正确.故选：BCD.【小结】求解函数有关的不等式的方法及策略：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：将函数不等式转化为的形式；根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.19ABD【分析】A将问题转化为有两根，然后构造函数，根据的图象与的图象有两个交点求解出的取值范围；B先求解出的单调递增区间，然后判断出与的单调递增区间的关系，由此可完成判断；C考虑当时的取值情况，故的取值情况可分析出，由此作出判断；D根据与的大小关系结合的单调性判断出的取值范围，由此确定出与的大小关系.【解析】令得，记，令得当时，单调递增；当时，单调递减；且时，时，据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，所以，故A选项正确；因为所以当时，递增，因为，所以，故B选项正确；当时，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以C选项错误；因为在递增，在递减，且所以，因为，所以因为，所以所以，故D选项正确故选：ABD.【小结】利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.20AD【分析】令，即，可得或，可判断A正确；由，转化为与有两个交点，令，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，可判定B、C不正确；由，得到，得出，列出不等式组，即可求解.【解析】由题意，函数有3个不同的零点，令，即，可得或，其中是函数的一个零点，所以A正确；设方程有两个实数根，由，可得，即与有两个交点，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，当时，当时，函数的图象如图所示，所以，解得，所以C不正确；由有3个不同的零点，其中一个零点为，设，结合图象，例如：若，此时，此时，即，所以B不正确；由图象可得，可得，因为，可得，所以，所以，即，解得，即实数的范围是，所以D正确. 故选：AD.【小结】方法点拨：根据，得到或，把，转化为与有两个交点，令，利用导数求得函数的单调性与极值（最值），再由题意，得出，结合图象，列出不等式组是解答的关键.21【分析】由B是钝角，得出，再按c>a和ca放缩，转化为的函数得解.【解析】的三边长分别为，且角是钝角，则，当c>a时，令，当且仅当时取“=”，即，ca时，令，在上单调递增，即，综上得，所以的取值范围是.故答案为：【小结】思路点睛：涉及三角形边的比值范围求解，先整理变形为某个量的表达式，再构造函数，转化为求函数值域.22【分析】原方程可化为，令，则方程有唯一正实数根转化为函数，的图象在上有唯一的交点.然后借助函数的单调性以及正弦函数的有界性，将问题转化为两个函数图象在交点处的切线斜率之间的大小关系，进而解决问题【解析】原方程可化为，令，则由题意知函数，的图象在上有唯一的交点当时，所以在上单调递减的最小正周期为4，最大值为，且，作出，在上的大致图象如图所示，数形结合可知，要使函数，的图象在上有唯一的交点，应满足，因为，所以，又，所以，得故答案为：.【小结】关键点点睛：原问题转化为函数，的图象在上有唯一的交点，然后作出，在上的简图，数形结合分析是关键.23【分析】先利用指、对数性质整理方程为，令，即得在有两个不相等的实根，再转化为和，有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可.【解析】解: 由，则方程，即，令，则由单调性可知，函数是递增的，故时，值域为.而转化为，当时，方程为，不成立，故，即转化为在有两个不相等的实根，即和，有两个不同的交点.，当和时，即在上递减，在上递减；当时，递增.另外，时，；时，；.结合函数，图象可知，当时，和，的图象有两个不同的交点.故答案为：.【小结】已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.24【分析】化简可得题目等价于点与点距离的平方的最小值小于等于，转化为的最小值为与相切且与平行的直线与的距离，利用导数求出的切线即可求出.【解析】，则存在实数，使得成立，等价于，即可看作点与点距离的平方的最小值小于等于，因为在曲线上，点在直线上，则的最小值为与相切且与平行的直线与的距离，对于，令，解得，则切点为，即点到直线的距离最小，且距离为，要使，则，此时垂直于直线，则，解得.故答案为：.【小结】本题解题的关键是将不等式转化为点与点距离的平方的最小值小于等于，利用导数求出切线进行求解.25【分析】原方程化为，得或，对函数求导分析单调性求取最值，并作出图象进而求解问题【解析】因为，所以，所以或，当时，所以在上单调递增，在上的最大值为，且当趋向于0时，趋向于负无穷；当时，当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极小值，即在上的最小值为且，作出函数的大致图象如图所示，方程有1个实数根，所以方程要有4个不同的实数根，则有3个不同的实数根，又当时，；当时， 所以，即，所以a的取值范围是故答案为：【小结】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.26【分析】求得关于对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得的取值范围.【解析】由于存在满足，且，所以图象上存在关于对称的两个不同的点.对于，交换得，即，构造函数（），所以的零点满足，由得，由得，即，由于，所以解得.故答案为：【小结】本题解题关键是关于对称的图象与有交点.272【分析】分析所给条件，得到的函数图像在关于对称，再由任意得出且，又为非减函数即可求得时，必有，据此即可得解.【解析】根据题意，由对任意，则的函数图像在关于对称，令可得，又因为对任意，所以，又因为且是定义域为的非减函数，所以当时，必有，又由于的函数图像关于对称，所以时，也有，故答案为：2.【小结】本题考查了函数相关性质，考查了非减函数的新定义，同时考查了对称性，需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.本题的关键有：（1）理解应用函数中心对称的基本公式；（2）对数据的精准把握，即且；（3）理解非减函数的含义.28【分析】分别令和，可得到所求零点即为，和的交点，又与交于点，画出图像，可得到满足条件的关系式.【解析】由题意可知，令，可得，即，令，可得，即，且，是的一个根因为与交于点，所以若，只需满足且，所以，则实数的取值范围是.故答案为：.【小结】思路点睛：（1）求函数的零点，经常将所求函数拆分成两个函数的交点.（2）多个函数零点的比较，可以将函数拆分成多个函数与同一个函数相交，然后比较交点的位置.29【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.【解析】分以下三种情况讨论：若时，即当时，所以，函数在上单调递减，且，当时，此时，函数无最小值；若时，即当时，当时，当时，.，所以，整理可得，解得（舍去）；当时，即当时，当时，当时，.因为，所以，整理可得，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.【小结】关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.30【分析】根据函数图象关于对称，结合，图象的交点可确定，将不等式化为，构造函数，利用导数可确定单调性，得到，利用导数可求得的最大值，由此可得的取值范围.【解析】函数的图象关于直线对称，结合函数，的图象知两函数有且仅有两个交点，故函数有且仅有两个零点，且，则不等式，可化为，即设函数，为上的增函数，则函数单调递增，所以，即令，则，当时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减，即的取值范围为.【小结】关键点点睛：本题考查根据函数不等式求解参数范围的问题，解题关键是能够根据函数图象的对称性，将不等式转化为同一函数的函数值之间大小关系的比较，由此构造函数，通过单调性确定自变量的大小关系.四、解答题1（1）见解析；（2）；【分析】（1）若，得，求导解不等式，即可得到答案；（2）根据方程的根为可得：，再两边取对数，利用基本不等式，即可得到的取值范围；【解析】（1）若，则，或，在区间单调递增，在区间单调减；（2）若方程有唯一实根，等号成立当且仅当.【小结】本题考查利用导数研究不含参函数的单调性，函数零点的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想及基本不等式的应用.2（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）当时，构造函数，利用导数求出函数的最值，由此可得出结论；（2）分析可知所证不等式等价于，换元，即证，结合（1）中的结论可得证；（3）令，则，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，分析对任意的是否恒成立，由此可得出实数的取值范围.【解析】（1）当时，所以，函数在单调递增，且，综上，当时，；当时，；当时，；（2），则，要证，即证，即证，设，且，则即证，即证，由（1）知，当时，成立，所以，当时，；（3）因为在上恒成立，构造函数，其中，且，.当时，对任意的，此时，函数在上为减函数，则，不合乎题意；当时，由，可得，.（i）若，可得，对任意的，此时，函数在上为增函数，则，合乎题意；（ii）若，可得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增.所以，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【小结】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.3（1）函数在内为减函数；（2）【分析】（1）当时，求得，令，利用导数求得的单调性与最值，得到，即可求解；（2）由恒成立，转化为对任意的，恒成立，令，利用导数求得，进而转化为恒成立，设，再利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】（1）当时，所以，令，则，若，则；若，则，所以函数在上为增函数，在上为减函数，则，即，仅在时，所以函数在内为减函数（2）因为，若恒成立，即对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，即，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，若对任意恒成立，则恒成立设，则，所以，当时，单调递增，所以，所以若恒成立，则实数的取值范围【小结】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别4（1）；（2）；存在；【分析】（1）对函数求导，利用导数的性质进行求解即可；（2）判断函数的奇偶性，根据二次求导法分类讨论求出的取值范围，最后再根据，之间的关系进行求解即可.【解析】解：（1）当时，则设，则，显然在上单调递增又，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，函数的值域为（2），是上的偶函数“函数在上恰有两个极小值点”等价于“函数在上恰有一个极小值点”因，设，则当时，则在上单调递减则，此时在上单调递减，无极小值当时，则在上单调递增则，此时在上单调递增，无极小值当时，存在，使当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，（i）当，即时，此时在上单调递减，无极小值（ii）当，即时，则存在