【高考数学】新高考题型：结构不良题（数列）（精选50题）.docx

新高考题型：结构不良题（数列） （精选50题）1设数列的前项和为，在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答问题：已知数列满足，_，若数列是等比数列，求数列的通项公式；若数列不是等比数列，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分2已知数列中，前n项为和其中nN*，=1，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定并解答以下问题：（1）求的通项公式；（2）数列中是否存在三项成等差数列？请写出解答过程条件：；条件：；条件：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分3在，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答已知是公差不为的等差数列，其前项和为，若_，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和4已知数列的前n项和为，且.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）在；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足_，求的前n项和.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.5已知等比数列的前项和为，给出条件：；，且若_，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答. （1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和6，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知数列的前项和为，_，求的表达式注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分7给定三个条件：，成等比数列，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，_.（1）求数列的通项；（2）若，数列的前项和，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.8从“；，；，是，的等比中项”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答已知等差数列的前项和为，公差不等于零，_，（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分9在；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题问题：已知数列满足_（），若，求数列的前项和10已知数列an是递增的等比数列，前3项和为13，且a13，3a2，a35成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，且 ，若数列cn满足cnanbn，cn的前n项和为Tn，求Tn的最小值.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.3Snbn4；bnbn12(n2)；5bnbn1(n2).11在 ， ， ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为且_.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列的前项和为，满足_.（1）求；（2）若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）若等差数列满足，求，的通项公式；（2）若_，求数列的前项和.在；这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.14在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问题：已知等差数列的前项和为，_，若数列满足，求数列的前项和.15在为常数)，为常数)，为常数)这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，若问题中的数列存在，求数列的前项和；若问题中的数列不存在，说明理由.问题：是否存在数列，其前项和为，且_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16已知为等差数列，数列的前和为，_.在，这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.17在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列是各项均为正数的等差数列，且、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记_，求数列的前项和.18条件：设数列的前项之和为，且条件：对，有（为常数），并且成等差数列在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答在数列中，_（1）求数列的通项公式；（2）记，求的值注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分19在，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.20已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.，；是和的等比中项，.若公差不为0的等差数列的前项和为，且_，求数列的前项和.21已知是等差数列，是递增的等比数列且前和为，_.在成 等差数列，(为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.22已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_(从，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).（1）求（2）设，数列的前项和为，求证：.23在，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答设等差数列的前项和为，_，数列为等比数列，求数列的前项和24在；，；，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.问题：设数列的前项和为，_，若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.25从，为等差数列且，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列，满足，且_.（1）证明：数列为等比数列；（2）若表示数列在区间内的项数，求数列的前项的和.26从、成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列的前项和为， ，求数列的前项和为.27已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，再从；这三个条件中选择_，_两个作为已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.28设数列的前项和为，_从数列是公比为2的等比数列，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和29已知数列的首项为4（1）若数列是等差数列，且公差为2，求的通项公式（2）在且，且，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答问题，若是等比数列，_，求数列的前n项和30从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分）已知数列的前n项和为，_（1）求数列的通项公式；（2）若，成等比数列，求正整数k的值31在数列为递增的等比数列，且，数列满足，数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答问题：设数列的前n项和为，_（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和32在,，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，_，是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分33在，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答已知数列的前项和为，满足_，_；又知正项等差数列满足，且，成等比数列（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和34在，且，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答问题：设数列为等差数列，其前项和为，_数列为等比数列，求数列的前项和35在；.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列的前n项和为，且公差，若_.（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.36设等差数列的前n项和为，数列为正项等比数列，其满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）若_，求数列的前n项和.在，这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.37在，；，.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列是等差数列其前项和为，若_.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列的通项公式；（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为，求数列的通项公式和数列的前项和.38已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列的首项，其前项和为Sn，且_，若数列满足，的前项和为，求的最小值在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题；（）；（）39已知数列的前n项和为，各项均为正数的等比数列的前n项和为，_，且.在；这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求证：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.40在对任意满足；.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题:已知数列的前n项和为_，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由.41在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列的前项和为，满足_.（1）求的通项公式；（2）若为数列的前项和，记，求证：.42从；中任选两个补充到下面问题中的横线上，然后完成问题的解答.问题：已知数列为正项等比数列，；数列满足： .（1）求；（2）求的前项和.注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分.43给出下列三个条件：；，请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解：设数列的前项和为，满足_，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和44在且；，且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知等比数列的前n项和为，且_，则是否存在正整数n，使成立？若存在，求出n的最小值？若不存在，试说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.45在这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.设等差数列的公差为()，前项和为，等比数列的公比为.已知，_，.（1）请写出你的选择，并求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.46在；（为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答设等差数列的前项和为，若数列的各项均为正整数，且满足公差，_（1）求数列的通项公式；（2）令，前项和是若恒成立，求实数的取值范围47已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若_，求的前项和，并求的最小值从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题数列满足：，（）；数列的前项和（）；数列的前项和满足：（）注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分48在，；，；，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，_；求数列、的通项公式.49在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列的公差是等差数列的公差的两倍，设、分别为数列、的前n项和，且，_，设，求的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.50在，；，；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且， _（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.- 13 -新高考题型：结构不良题（数列）（精选50题）答案解析1答案不唯一，具体见解析【分析】若选，利用化简得，得，从而可作出判断；若选，利用可得，从而有数列是首项为1，公比为3的等比数列；若选，先求出，然后可得，再利用得，从而可判断数列是首项为1，公比为2的等比数列，【详解】解：若选：，则当时，两式相减，得，即，结合，可知，所以由，得，即，故数列不是等比数列若选：，由，得，即，于是，当时，两式相减得，即，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此若选：，由，得，当时，两式相减得，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此2答案不唯一，具体见解析【分析】选择条件（1）由，nN*，变形为，再利用等比数列定义求解；（2）假设数列中存在三项，成等差数列，不妨设，则有，再由奇偶数判断.选择条件：根据，缺少条件无法求解；选择条件（1）根据，利用数列通项与前n项的关系求解.（2）假设数列中存在三项，成等差数列，不妨设，则有再由奇偶数判断.【详解】选择条件（1）因为，nN*，所以又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列所以，nN*（2）假设数列中存在三项，成等差数列，不妨设，所以+=2，即，即，因为所以为递增数列，i<j<k所以与，均为偶数矛盾所以假设不成立，结论得证.选择条件：由，因为nN*，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，但不知，无法求解.选择条件（1）因为，nN*，所以所以，nN*又因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列所以，nN*（2）假设数列中存在三项，成等差数列，不妨设，所以+=2，即因为所以为递增数列，i<j<k所以与，均为偶数矛盾所以假设不成立，结论得证.【点睛】关键点点睛：存在性问题，往往是先假设存在，再根据条件进行推理或求解，若存在则满足相应的条件，定理或性质，若不存在，则推出矛盾，如本题第二问，就是先假设存在三项，再利用等差中项推出了矛盾，说明不存在.3（1）；（2）【分析】(1)设是公差不为0的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式、结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，进而得到，再由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】(1)设是公差不为的等差数列，选，可得，即，由、成等比数列，可得，即，解得，则；选，可得，即由、成等比数列，可得，即，解得，则；选，可得，由、成等比数列，可得，即，解得，则；(2)设等比数列的公比为，可得，又，解得，所以，所以，所以数列的前项和.4（1）证明见解析，；（2）答案见解析.【分析】（1）利用得出的递推关系，变形后可证明是等比数列，由等比数列通项公式得，然后再除以得到新数列是等差数列，从而可求得；（2）选，直接求出，用错位相减法求和；选，求出，用分组（并项）求和法求和；选，求出，用裂项相消法求和【详解】解：（1）当时，因为，所以，两式相减得，.所以.当时，因为，所以，又，故，于是，所以是以4为首项2为公比的等比数列.所以，两边除以得，.又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.所以，即.（2）若选：，即.因为，所以.两式相减得，所以.若选：，即.所以.若选：，即.所以.【点睛】本题考查求等差数列、等比数列的通项公式，错位相减法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和5条件选择见解析：（1），；（2）.【分析】（1）选条件：方法一：令可得出，令，由得，两式作差得出，再由满足可求得的值，据此可得出数列的通项公式；方法二：分别求得、，求得等比数列的公比，可求得，再由满足在时的表达式可求得的值，据此可得出数列的通项公式；选条件：方法一：令，由得出，两式作差可得出，结合已知条件可知数列是公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式，再由得出，可求得的值；方法二：令可得出，令可得出，可知数列是公比为的等比数列，求出数列的通项公式，再由可求得实数的值；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）选条件，方法一：当时，；当时，由得，.因为数列是等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为，；方法二：当时，当时，当时，所以，等比数列的公比为，当时，.满足，则，解得.所以，；选条件，方法一：当时，由可得，两式相减得，即，因为数列是等比数列，且，所以数列的通项公式为，又当时，解得；方法二：当时，当时，所以，等比数列的公比为，且，.所以，解得；（2）由（1）可知，即因此，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.6答案见解析【分析】若选，写出当时表达式与原式作差可得，结合等比数列求和公式即可求出的表达式；若选，整理得，结合等差数列的定义和通项公式可得，由等比数列的求和公式可求出的表达式；若选，构造新数列是以为首项，4为公比的等比数列，求出，结合分组求和方法可得的表达式.【详解】若选：因为，所以当时，两式相减，可得，则，故，故，经验证也符合该式，故，则若选：因为，所以等式两边同时除以，得，故数列是公差为0的等差数列，即常数列所以，即，（1）由，得，所以（2）由（1）（2）得，即，故，经验证也符合该式，则若选，因为，故，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，故，即则【点睛】方法点睛:求数列的前项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.7条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所选条件得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）设等差数列的公差为.选条件：，成等比数列，解得，故数列的通项.选条件：，解得，故数列的通项.选条件：，解得，故数列的通项.（2），.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和8选择见解析：（1）；（2）【分析】（1）选：由时，即可求解；选：用基本量与列方程组即可求解；选：由等比中项公式即可求得公差，通项可得；（2）依题意求通项再用分组求和法求得前项和为【详解】解：选：（1），令当时，当时，而，选：（1）由得得，又得，因为得，所以；选：（1）由是，的等比中项得，则 因为，所以，则；（2），【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和9【分析】若选：利用求解可得数列为等比数列，求出，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；若选：先利用求解可得数列的通项公式，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可；若选：由已知条件可知数列为等比数列，利用，求出公比，写出通项公式，进而求出的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】解：若选：因为，所以当时，得：，即，所以数列为等比数列，当时，解得，所以所以，所以，得：，所以若选：因为，所以当时，当时，得：，因为符合上式，所以对一切都成立所以，所以，得：，所以若选：由，知数列是等比数列，设数列的公比为，则，即，所以，解得，所以所以，所以，得：，所以【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.10（1）an3n-1；（2）答案见解析.【分析】（1）根据等比数列的通项公式和等差中项列方程组解得首项和公比，可得数列an的通项公式；（2）选择时，构造方程3Sn-1bn-14(n2)，利用两式相减法求出，再求出，根据恒成立，可知的最小值为；选择时，根据等差数列的定义求出，再求出，根据恒成立，可知的最小值为；选择时，根据等比数列的定义求出，再求出，讨论的奇偶可解得结果.【详解】（1）设数列an的公比为q，则由前3项和为13，且a13，3a2，a35成等差数列，得所以所以，即3q210q30，解得或又因为an是递增的等比数列，所以q>1，所以q3，所以，所以an3n-1.（2）选择因为3Snbn4，所以3Sn-1bn-14(n2)， 两式相减得3(SnSn-1)(bnbn-1)0，即4bnbn-10(n2)，所以(n2)，所以数列bn是以b11为首项，为公比的等比数列，故，因此，因为恒成立，即c1>0，c2>0，c3>0，所以(Tn)minT1c11.选择由bnbn-12(n2)知bn是以b11为首项，2为公差的等差数列，所以bn12(n1)2n1，所以，因为cn(2n1)3n1>0，即c1>0，c2>0，c3>0，所以(Tn)minT1c11.选择由5bnbn-1(n2)知bn是以b11为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，当n为奇数时，由于，故；当n为偶数时，由于，故，由在n为偶数时单调递增，所以当n2时，综上所述：Tn的最小值为.【点睛】关键点点睛：第（2）问，选择时，求出后，讨论的奇偶是解题关键.11条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）选择任一条件，利用等差数列的通项公式与前项和公式得到数列的基本量，进而得到其通项公式；（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.【详解】解：（1）方案一：选条件.设等差数列的公差为.因为，所以,解得所以.方案二：选条件.设等差数列的公差为.因为，所以,解得所以.方案三：选条件.设等差数列的公差为，所以.因为，所以，所以，所以.（2）由（1）知，所以.【点睛】方法技巧：在求解等差数列基本量问题时，常用的思想方法有：（1）方程思想，设出公差，然后利用通项公式或前项和公式将已知条件转化为方程(组)求解；（2）整体思想，当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用和公差表示，寻求两者的联系，整体代换即可求解；（3）利用性质，运用等差数列的性质可以化繁为简，优化解题过程.12（1）条件选择见解析，；（2）.【分析】（1）若选，当时，得，再利用累乘法求解；若选，当时，得，得，再利用等差数列求解；若选，得，再利用等差数列求解；（2）由题得，再利用错位相减法求解.【详解】若选，则当时，得当时，得，即当时也成立，.若选，即当时，得当时，得得由得又.是公差为，首项为的等差数列，是公差为，首项为的等差数列故.若选，即当时，两式相减得，即，由得，是公差为的等差数列，故.两式相减，得故.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）裂项相消法；（4）错位相减法；（5）倒序相加法. 要根据通项的特征，灵活选择方法求解.13（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）利用等比数列的通项公式与求和公式求出和，得到数列的通项公式，再求出对应等差数列的前两项和公差，即可得数列的通项公式；（2）根据已知条件进行整理，得出数列的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）设数列的公比为，则.，解得：或，又因为各项均为正数，所以，又，代入得，则，设数列的公差为，则.（2）选择：，则，.选择：，则，.选择：由（1）知，.，.【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的14答案见解析.【分析】选择，设公差为，解方程可求和的值，即可得的通项公式，再利用分组求和即可求解；若选择，设公差为，由、可求和的值，即可得的通项公式，再利用分组求和即可求解；若选择，设公差为，由，可求和的值，即可得的通项公式，再利用分组求和即可求解.【详解】若选择，设公差为，由，得，所以，解得:，所以， 又因为，所以，所以 .若选择，设公差为，因为，所以可得又因为，所以，所以，所以. 又因为，所以，所以， .若选择，设公差为，因为，可得，即，所以，又因为，所以，所以.又因为，所以，.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.15答案见解析【分析】选择，由求出和，常数不存在，数列不存在；选择，得数列为等差数列，求出通项公式，用裂项相消法结果；选择，得数列为等比数列，从而也是等比数列，由等比数列前项和公式可得结论【详解】解.如果选择，由即解得该方程组无解，所以该数列不存在.如果选择为常数)，即数列为等差数列，由，可得公差，所以所以如果选择为常数)，即数列为等比数列，由，可得公比，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以其前项和为.【点睛】关键点点睛：本题考查由前项和求通项公式，解题时要注意，而，是两种不同的求法，如果要求通项公式，注意最后的结论能否统一，否则写成分段函数形式16条件选择见解析；（1），；（2）.【分析】选（1）由等差数列的基本量法求出公差后可得通项公式，再利用确定数列是等比数列，从而得出通项公式；（2）用分组（并项）求和法求和选（1）由等差数列的基本量法求出公差后可得通项公式，由求得，从而得通项公式，并并确定其是等比数列；（2）用分组（并项）求和法求和【详解】解：选解：（1）设等差数列的公差为，由，得，当时，即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，.选解：（1）设等差数列的公差为，.，令，得，即，.（2）解法同选的第（2）问解法相同.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和17（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；（2）选，求得，利用错位相减法可求得；选，求得，分和两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得；选，可得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）因为、成等比数列，所以，设等差数列的公差为，则，则有，又，所以，联立解得，所以；（2）选，则，上式下式得，化简得；选，则，当时，；当时，.综上；选，则.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.18（1）条件性选择见解析，；（2）【分析】（1）若选条件，则得，再利用可求得；若选条件，则数列是公比为的等比数列，再由已知条件可得，可求出，进而可求出 ；（2）利用错位相减法求和即可【详解】选条件，由得 当时， 又 数列的通项公式为 选条件，（1）知数列是公比为的等比数列， 且由已知可得：即: 解得（舍去） （2） （或）19（1）条件性选择见解析，；（2）.【分析】（1）若选，先求出，由可得，两式相减可得，从而得出答案; 若选，由可得，两式相减可得，由累乘法可得答案.(2)由（1）可得，则，于是，由错位相减法可求和得出答案.【详解】（1）选时，当时，因为，所以，由，可得，得，整理得，所以因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选时，因为所以当时，得：，即中，令，得，适合上式所以当时，又，所以对任意，（2）因为即所以，于是，得所以【点睛】关键点睛：本题考查求数列的通项公式和应用错位相减法求数列的前项和，解答本题的关键是按照步骤求解，考查计算能力，由，得出，两式相减再化简得出答案，属于中档题.20（1）；（2）选择：；选择：.【分析】（1）由数列与的关系转化条件为，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列的公差为，若选择，由等差数列的通项公式列方程可得，进而可得，再结合错位相减法即可得解；若选择，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n项和公式可得，再结合错位相减法即可得解.【详解】（1）当时，可得；当时，所以，即，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）设数列的公差为，若选择，由题意，解得；所以，由（1）得，所以，所以，两式相减得，所以；若选择，有，即，即，因为，所以