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空间与图形知识拓展第1页，共132页，编辑于2022年，星期一2022/9/162浙江外国语学院蒋志萍欧氏几何欧氏几何直观几何直观几何非欧几何非欧几何几何分形几何分形空间与图形知识拓展空间与图形知识拓展第2页，共132页，编辑于2022年，星期一2022/9/163浙江外国语学院蒋志萍墨经 公元前4世纪欧氏几何 公元前3世纪解析几何 公元16世纪非欧几何 公元19世纪分形几何 公元20世纪直观几何直观几何 生活中的几何生活中的几何 几何发展简史几何发展简史第3页，共132页，编辑于2022年，星期一 墨经是我国春秋战国时期的思想家、政治家墨子的弟子及其再传弟子对墨子言行的记述。墨经中有17条专论数学，墨子给出了不少几何概念的定义，也对一些数学概念进行了论述，是我国古代数学家对数学理论以逻辑方法加以研究的最早尝试。如：如：“平，同高也平，同高也”，这是关于平行的定义。，这是关于平行的定义。“圜，一中同长也圜，一中同长也”，这是圆的定义。等等，这是圆的定义。等等 墨经的一些定义和论述虽然不成一个完整的体系，也不够严密，但仍然值得我们珍视，因为它的成书比几何原本要早近一世纪。中国古代几何中国古代几何墨经墨经第4页，共132页，编辑于2022年，星期一 几何原本是古希腊伟大数学家欧几里德在公元前3世纪是所著的，古往今来最伟大的著作之一。在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍。两千多年来，几何原本一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过几何原本，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。欧氏几何欧氏几何几何原本几何原本第5页，共132页，编辑于2022年，星期一 几何原本几何原本 几何原本共十三卷。整个著作以2323个个定定义义开始，同时列置了五五条条公公设设和五五条条公公理理，然后按逻辑次序，系统而有组织地排列命题，并以严格的演绎方法进行命题的证明。第6页，共132页，编辑于2022年，星期一2323条定义条定义1.点是没有部分的东西 2.线只有长度而没有宽度 3.一线的两端是点 4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽度 6.面的边缘是线 7.平面是它上面的线一样地平放着的面第7页，共132页，编辑于2022年，星期一8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.9.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.10.当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。11.大于直角的角称为钝角。12.小于直角的角称为锐角。13.边界是物体的边缘。14.图形是一个边界或者几个边界所围成的。第8页，共132页，编辑于2022年，星期一15.圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。16.这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。17.圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的.第9页，共132页，编辑于2022年，星期一20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;三个都是锐角的,叫做锐角三角形.第10页，共132页，编辑于2022年，星期一22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.第11页，共132页，编辑于2022年，星期一五条公理五条公理几何原本中有“公设”与“公理”之分，近代数学对此不再区分，都称“公理”。1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。第12页，共132页，编辑于2022年，星期一五条公设五条公设1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4.凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。第13页，共132页，编辑于2022年，星期一几何原本共有十三卷第一卷 几何基础 第二卷 几何与代数 第三卷 圆与角 第四卷 圆与正多边形 第五卷 比例 第六卷 相似 第七卷 数论（一）第八卷 数论（二）第九卷 数论（三）第十卷 无理量 第十一卷 立体几何 第十二卷 立体的测量 第十三卷 建正多面体 第14页，共132页，编辑于2022年，星期一第第一一卷卷：几几何何基基础础 重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第第二二卷卷：几几何何与与代代数数 讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。第第三三卷卷：圆圆与与角角 阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。第四卷：圆与正多边形第四卷：圆与正多边形 讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；第15页，共132页，编辑于2022年，星期一第第五五卷卷：比比例例 讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是最重要的数学杰作之一 第六卷：相似第六卷：相似 讲相似多边形理论，以此阐述了比例的性质第七、八、九卷：数论第七、八、九卷：数论 讲述算术理论；第第十十卷卷：无无理理量量 篇幅最大的一卷，讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。第十一、十二、十三卷：立体几何第十一、十二、十三卷：立体几何 讲述立体几何的内容.从这些内容可以看出，目前中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了。第16页，共132页，编辑于2022年，星期一公理化方法公理化方法指在一个理论体系中尽可能少地选取一组原始概念和一组不加证明的基本公理，以此为出发点并运用纯逻辑推理法则，把该系统建成一个演绎体系的方法发展历史发展历史欧几里德欧几里德 产生产生 罗巴切夫斯基、黎曼罗巴切夫斯基、黎曼 半形式化半形式化 希尔伯特希尔伯特 形式化纯形式化形式化纯形式化 哥德尔哥德尔 不完备性定理（不完备性定理（1931 1931）第17页，共132页，编辑于2022年，星期一公理化方法的基本内容公理化方法的基本内容(1)选择基本概念 基本概念应当是该论域中最原始对象的最简单的思想规定。点 线 面第18页，共132页，编辑于2022年，星期一选择基本公理选择基本公理公理是对基本概念之间相互关系的规定。独立性 基本公理 相容性 完备性第19页，共132页，编辑于2022年，星期一 欧几里德的几何原本诞生后，它统治了几何学2000余年，但对其持怀疑态度者也为数不少，最集中的怀疑点就是第五公设：“当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个内角之和小于两直角，则将这两条直线向该侧两个内角之和小于两直角，则将这两条直线向该侧适当延长后必定相交。适当延长后必定相交。”非欧几何非欧几何第20页，共132页，编辑于2022年，星期一 怀疑的原因主要有两点，一是它远不如前面四条公设那样简单清楚，而是语句冗长，做含意不清；二是欧几里德本人也似乎尽量少用第五公设，直到第29个定理才用到它。1795年，苏格兰的普雷菲尔提出了更为简明替代公设：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行。”这一公设也叫平行公设，它被普遍采用。第21页，共132页，编辑于2022年，星期一 1816年，俄国数学家罗巴切夫斯基首先提出了一个不同的假设：“过直线外上一点不止作一条直线与该直线不相交。”从这个假设出发，推导出一第列前后一贯的命题，构成了逻辑上没有矛盾，但与欧几里德几何完全不同的另外一种几何，他称之为“虚几何学”。第22页，共132页，编辑于2022年，星期一 但由于罗巴切夫斯基的新学说背离了几千年的传统思想，他的学说一发表，就遭到了社会上的攻击、侮辱和谩骂。面对这种种攻击和非难，罗巴切夫斯基毫不畏惧，并为自己的学说奋斗了一生。在逝世的前一年，已双目失明的罗巴切夫斯基，还口授了一部非欧几何的著作泛几何学。第23页，共132页，编辑于2022年，星期一 同时发现非欧几何的还有两个人，一是德国数学家高斯，另一个是匈牙利的鲍耶。但都因能想象的原因没有发表他们的研究结果。第24页，共132页，编辑于2022年，星期一 非欧几何还包括黎曼几何，其出发点是将平行公设改为“在平面上过直线外任一点所作直线必定与该直线相交。”第25页，共132页，编辑于2022年，星期一 1868年，意大利数学家贝特拉米发表非欧几何解释的尝试，首次证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。两年后，德国数学家克莱因也对非欧几何给出解释，把欧氏几何叫“抛物几何”，罗巴切夫斯基几何叫“双曲几何”，黎曼几何叫“椭圆几何”，三者之间就其空间概念来说，所不同的仅是“曲率”。第26页，共132页，编辑于2022年，星期一欧氏几何:同一直线的垂线和斜线相交。垂直于同一直线的两条直线平行。存在相似而不全等的多边形。过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。罗巴切夫斯基几何:同一直线的垂线和斜线不一定相交。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候离散到无穷 不存在相似而不全等的多边形。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。第27页，共132页，编辑于2022年，星期一 从上面所列举得罗巴切夫斯基几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗巴切夫斯基几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。第28页，共132页，编辑于2022年，星期一第29页，共132页，编辑于2022年，星期一 用四根筷子，先在桌面上摆成有一对角很小的菱形，这时菱形的内角和等于360度。之后，你将一对筷子沿钝角翻折，保持在翻折过程中，两根筷子之间的顶角不变。此时-如图所示，四个筷子之间的夹角就小于360度了。第30页，共132页，编辑于2022年，星期一解析几何解析几何 解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门学科。它的创始人是法国数学家笛卡儿，笛卡儿同时是一位杰出的哲学家和生物学家。第31页，共132页，编辑于2022年，星期一 欧拉在研究七桥问题中，把问题转换为一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑它们大小的新几何学，如今这一新的几何学，已经发展成一门重要的数学分支拓朴学。关于拓朴关于拓朴第32页，共132页，编辑于2022年，星期一 在拓朴学中人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。有人把拓朴学说成是橡皮膜上的几何学是很恰当的。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化。此时谈论“有多长？”、“有多大？”之类的问题，是毫无意义的！第33页，共132页，编辑于2022年，星期一 不过在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变。例如点变化后仍然是点；线变化后依旧是线；相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓朴学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。第34页，共132页，编辑于2022年，星期一 在橡皮几何中，有一个极为重要的公式，这个公式是欧拉于公元1750年证得的。公式说：对于一个平面脉络（连通的网络），脉络的顶点数V、弧线数E和区域数F，三者之间有如下关系：V VF FE E2 2 这个结论，推广到多面体显然也是成立的。事实上多面体的欧拉公式只是平面欧拉公式的一个特例。第35页，共132页，编辑于2022年，星期一1.去掉一个面，再将它压缩为平面图形四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变只需证VF1E1 2.将所得的平面图形外围的线段逐一去掉每去掉一条线段，就减少一个面，VF1E不变依次去掉所有的外围线段，变为“树枝形”3.从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，直至只剩一条线段每去掉一条线段，就减少一个顶点，VF1E不变，最后只剩下一条线段，此时VF1E2011 4.以上VF1E1所以加上去掉的一个面，VFE 2 证明证明V VF FE E2 2（V=顶点 F=面 E=棱）第36页，共132页，编辑于2022年，星期一证明2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和 一方面，在原图中利用各面求内角总和 设有F个面，各面的边数分别为n1，n2，nF，各面内角总和为：(n12)180(n22)180(nF2)180 (n1n2nF2F)180 (2E2F)180 （EF）360（1）第37页，共132页，编辑于2022年，星期一另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n2)1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，Vn个顶点在中间中间Vn个顶点处的内角和为(Vn)360，边上的n个顶点处的内角和(n2)1800 所以，多面体各面的内角总和：（Vn）360（n2）180（n2）180 （V2）360（2）由（1）（2）得：（EF）3600（V2）360 所以 VFE2 第38页，共132页，编辑于2022年，星期一问题：还有其它的正多面体么？为什么？Fn=2E Vm=2E （每个面n边形 每个顶点m条棱）正多面体正多面体第39页，共132页，编辑于2022年，星期一问题1：蜂房构造问题问题2：圆周率计算问题3：等距图形。相关问题相关问题第40页，共132页，编辑于2022年，星期一普通几何学简述普通几何学简述欧氏几何学的元素欧氏几何学的元素 点：现实中的点抽象为几何中的点0维；线：现实中的线抽象为几何中的线一维；面：现实中的面抽象为几何中的面二维；体：现实中的体抽象为几何中的体三维；时空：空间加时间抽象为几何时空四维；以上概念再抽象为一般的欧氏空间n维。第41页，共132页，编辑于2022年，星期一欧氏几何学的特征欧氏几何学的特征 1 维数整数；2 测度特征长度；3 图形光滑（可微）。非欧几何学非欧几何学 1 球面几何学：三角形三内角和定理、勾股定理等不再成立。其模型是球面。第42页，共132页，编辑于2022年，星期一 2 罗巴契夫斯基几何：过已知直线外一点，至少可作两条直线平行于该直线。其模型类似于“马鞍面”。3 黎曼几何：过直线外一点，不再有直线与已知直线平行。其模型基本上是的球面。欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。第43页，共132页，编辑于2022年，星期一 在常观领域，欧氏几何是适用的；在宇观或微观世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。但大自然既丰富多彩又姿态万千，呈现十分的复杂性。以上各种几何均不能确切反映大自然的这种异常复杂性、自相似性、标度（尺度）不变性（无特征长度或称伸缩对称性）、层次性、递归性等,而分形几何对此却可大显身手。第44页，共132页，编辑于2022年，星期一分形几何分形几何 分形几何学是一门研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。分形包括线性分形和非线性分形。自相似性、标度不变性和分数维是分形几何最基本的特征。分形几何学描述了真实大自然的形状、性质等，具有广泛的应用性。第45页，共132页，编辑于2022年，星期一 传统几何学对研究大自然具有很大局限性。它们在表达自然时总是会遇到这样的难题：即无法表现大自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。正如曼德布罗特所说：“云朵不是球，山峦不是锥，海岸线不是圆，树皮不光滑，闪电也不走直线”。曼德布罗特曾提出一个划时代的问题：英国的海岸线有多长？分形几何学起源分形几何学起源第46页，共132页，编辑于2022年，星期一 第47页，共132页，编辑于2022年，星期一 这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。为研究自然的复杂性和一些所谓的“病态图形”，需要一种新的几何学分形几何学，即所谓的大自然几何学。可以这样说，从大自然到欧氏几何、非欧几何，是人类抽象思维的奇葩；从大自然到分形几何，是人类描述客观世界的瑰宝。第48页，共132页，编辑于2022年，星期一分形几何学图述分形几何学图述 1 1 请欣赏繁复多姿的大自然请欣赏繁复多姿的大自然 （1 1）浩瀚星空）浩瀚星空第49页，共132页，编辑于2022年，星期一（2 2）层叠山峦层叠山峦第50页，共132页，编辑于2022年，星期一（3）千姿云霞千姿云霞第51页，共132页，编辑于2022年，星期一（4）纵横水系纵横水系 第52页，共132页，编辑于2022年，星期一（5）清幽文竹清幽文竹第53页，共132页，编辑于2022年，星期一（6 6）交错气管交错气管第54页，共132页，编辑于2022年，星期一 （7 7）肾脏血管肾脏血管第55页，共132页，编辑于2022年，星期一（8 8）曲折海岸曲折海岸第56页，共132页，编辑于2022年，星期一（9）交织闪电交织闪电第57页，共132页，编辑于2022年，星期一（1010）参天大树）参天大树第58页，共132页，编辑于2022年，星期一猜想：它们虽然很复杂且各不相同，但每个事物猜想：它们虽然很复杂且各不相同，但每个事物的的局部与整体具有很大的相似性局部与整体具有很大的相似性。我国海岸线自鸭绿江口至北仑河口，长达我国海岸线自鸭绿江口至北仑河口，长达1.81.8万万多千米。此长度是以多千米。此长度是以千米千米为标尺测量所得，测得海岸为标尺测量所得，测得海岸线有线有 段。如果用段。如果用厘米厘米为标尺，则测得为标尺，则测得海岸线就有海岸线就有 段，可以算出这时海岸线段，可以算出这时海岸线的长度为的长度为381.2381.2万千米。这是书上给出长度的万千米。这是书上给出长度的212212倍。倍。复杂大自然的共性复杂大自然的共性第59页，共132页，编辑于2022年，星期一曼德布罗特其人曼德布罗特其人第60页，共132页，编辑于2022年，星期一 1924年出生在华沙的一个犹太家庭中，父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。1936年迁往巴黎。他受的教育很不正规，时断时续，他自己说从来没有学过字母表，没有学过5乘5以上的乘法表。他当过车窗维修学徒工。然而当他回忆起个人的艰辛历程时，始终记住在学校里与老师成为朋友，其中有几位是因战争而流落的杰出学者。第61页，共132页，编辑于2022年，星期一 巴黎解放后，由于他天赋好，虽然缺乏准备，却通过了高等师范和高等工业学院的严格考试，笔试和口试竟长达一个月，还包括绘画课。他在临摹维纳斯雕像时表现出潜在的灵巧。数学考试他成功地靠几何直觉掩盖了缺乏训练。不管给出什么解析问题，他几乎总可以用脑海中的形象加以思考。给出一个图形，它可以设法变换它，改变它的对称，使他更为和谐。他的变换往往直接导致问题的解决。由于学术思想上的尖锐冲突，他离开法国到美国定居。1958年，他接受国际商用机器公司（IBM）沃森研究中心的聘请，开始他的异国科学研究生涯。第62页，共132页，编辑于2022年，星期一他尝试过语言学，解释词的一种分布规律；在哈佛大学教过经济学；在耶鲁大学教过工程学；在爱因斯坦医学院教过生理学，等等。他自己说过：“当我听到过去从事过的一连串职业时，常常怀疑自己是否存在，这些集合的交集肯定是空集。”弯弯曲曲的海岸线，蜿蜒起伏的山峦轮廓线，变换飞渡的浮云，袅袅上升的烟柱，一泻千里的江河，他反复观察，持续思考，试图从中悟出大自然的真谛。第63页，共132页，编辑于2022年，星期一1967年，他在美国科学杂志上发表了一篇题为英国的海岸线有多长的论文。这篇论文成为分形诞生的标志。1977年，他出版了奠基性著作分形：形、机遇与维数，紧接着于1982年又出版了自然界的分形几何学。曼德布罗特获得了巨大的成就，赢得了崇高荣誉。他是IBM公司的高级研究员，哈佛大学应用数学教授，美国国家科学院院士，美国艺术与科学研究员院士。第64页，共132页，编辑于2022年，星期一曼德布罗特这样定义分形曼德布罗特这样定义分形若一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数大于其拓扑维数，则称该集合为分形集，简称分形。组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。分形是非线性科学中与混沌、孤子平列的三个最重要的概分形是非线性科学中与混沌、孤子平列的三个最重要的概念之一。念之一。分形的定义分形的定义第65页，共132页，编辑于2022年，星期一分形可以看成具有下列性质的集合分形可以看成具有下列性质的集合F F：F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体；F是不规则的，以致于不能用普通几何语言来描述；F通常具有某种自相似性或自反射性，这可以是统计意义下的；F在某种方式下定义的分维数通常大于其拓扑维数；F的定义常常是非常简单的，或是递归（迭代）的。第66页，共132页，编辑于2022年，星期一 研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形或结构的几何学称为分形几何学。分形几何学研究的基本对象是：自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射平面间保持点组共线的可逆映射）；迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）分形函数（如魏尔斯托拉斯函数）；随机分形（如随机科赫曲线）。分形几何学的定义分形几何学的定义第67页，共132页，编辑于2022年，星期一分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有形态或统计意义上的相似性，即自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。第68页，共132页，编辑于2022年，星期一曼德布罗特集曼德布罗特集第69页，共132页，编辑于2022年，星期一 曼德尔布罗特集是在复平面上组成分形的点的集。集最经常被用来说明何为分形几何。它显示了分形之美，已成为分形、混沌的国际标志性图案；它可以帮助我们更好地理解我们周围不规则和粗糙的世界 集合可以用复二次多项式 来定义，其中 是一个复参数。给定 (一般取Z=0)为一初始复数，对Z进行以上迭代。第70页，共132页，编辑于2022年，星期一朱莉亚集朱莉亚集第71页，共132页，编辑于2022年，星期一逻辑斯蒂映射逻辑斯蒂映射第72页，共132页，编辑于2022年，星期一（1）康托尔三分集 康托尔集是由不断去掉线段中间三分之一而得出。首先从区间0,1中去掉中间三分之一(1/3,2/3)，留下两条线段0,1/32/3,1。再把它们中间三分之一都去掉,留下四条线段0,1/92/9,1/32/3,7/98/9,1。把这个过程一直进行下去，其中第 个集合为：康托尔集即由所有过程中未被去掉的区间0,1中的点组成。几个著名几个著名“病态病态”图形图形第73页，共132页，编辑于2022年，星期一下面的图显示了最初六个步骤 康托尔集是完备集、疏朗集、零测集和不可数集。类似地，可构造康托尔四分集、五分集康托尔三分集康托尔三分集第74页，共132页，编辑于2022年，星期一科赫曲线科赫曲线第75页，共132页，编辑于2022年，星期一 设一等边三角形（边长设为1）,把等边三角形的一边等分成三段，将中间的一段用夹角为60度的两条等长折线来代替，形成一生成元；经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的科赫曲线。科赫雪花边的总长度将趋于无穷科赫雪花边的总长度将趋于无穷它所围的面积是一个确定的值：它所围的面积是一个确定的值：科赫曲线的长度和面积科赫曲线的长度和面积第76页，共132页，编辑于2022年，星期一类似地可以构造一些“病态”图形：将单位线段中间一段用正方形的另外三条边来代替，得到 第77页，共132页，编辑于2022年，星期一 将单位线段四等分，中间两段分别用方向相反的两个正方形的另三条边代替，得到 第78页，共132页，编辑于2022年，星期一 将单位线段五等分，第二段和第四段用方向相反的两个正方形的另三条边代替，得到 第79页，共132页，编辑于2022年，星期一 取一正方形将其作9等分，得9个较小的正方形，并舍去中央的那个小正方形，保留周围的8个小正方形。然后将保留的每个小正方形再进行9等分，并且同样舍去中央的正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯第80页，共132页，编辑于2022年，星期一第81页，共132页，编辑于2022年，星期一 谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，它实际上是一个线集，图形具有严格的自相似性。类似地可以构造谢尔宾斯基海绵。类似地可以构造谢尔宾斯基海绵。将一个立方体的棱三等分后得到27个小立方体。将体心和面心上的共7个小立方体舍去保留其余的20个小立方体。下一步再对每个小立方体进行与上面一样的操作，这样就得到更小的2020400个立方体。将如此操作一直进行下去直至无穷。第82页，共132页，编辑于2022年，星期一谢尔宾斯基海绵谢尔宾斯基海绵第83页，共132页，编辑于2022年，星期一（1）无规则性：从整体上看，分形几何的图形处处无规则。（2）自相似性：微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。大自然中的许多不规则物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相似性。标准的自相似分形是数学上的抽象，如科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯曲线等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。分形几何学的特征分形几何学的特征第84页，共132页，编辑于2022年，星期一 对于规则图形，如长一千米的线段，用千米作单位和用米等作单位去度量，其结果相同。这表明规则图形具有特征长度性质。但对于大自然中的许多形体，却不具有这 样的性质。例如我们知道海岸线的长度就会因单位的不同，而发生大的变化。这说明海岸线没有特征尺寸。另一方面，海岸线却具有自相似性。这种自相似性，实际上就是一种尺度（标度）不变性。这表明标度不变性刻画了一种图形的自相似性质。标度不变性标度不变性第85页，共132页，编辑于2022年，星期一维数是几何对象的一个重要特征量。整数维是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。但欧几里德的测量长度、高度、宽度不能捕捉不规则图形的实质。在分形几何学中，一条极为重要而简单的结论是表面与表面并不在每一处都接触。曼德布罗特放弃了这些测量而转向维数概念的研究。在某种意义上说，不规则程度相当于一个物体占领空间的本领。因此，一个形体的维数就表示该形体占领空间的程度。分数维是描述一个分形对空间填充程度的统计量。分数维数的概念分数维数的概念第86页，共132页，编辑于2022年，星期一 取单位长度的一根线段，用这要线段为边长构成一个正方形，为棱长构成一个正方体。现在我们把这根线段等分为二，那么我们得到：线段（一维图形）正方体（二维图形）立方体（三维图形）第87页，共132页，编辑于2022年，星期一 一条线段放大二倍，得到长线段是它的二倍；一个正方形边长放大二倍，其面积放大四倍；一个立方体棱边放大两倍，其体积放大八倍。将线段放大的倍数记为 ，放大后图形变化的倍数记为 ，则上述关系可以表达为 由以上关系式，明显可得 分别为1,2,3,即 为相应图形的维数。这就是几何图形维数的定义。第88页，共132页，编辑于2022年，星期一将 改记为 ，并对 的两边取对数则得 对于规则图形，是整数，即为欧氏几何的维数；但对于不规则的几何图形，上式不总是可以整除的，故在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数，简称为分维。豪斯道夫维数豪斯道夫维数第89页，共132页，编辑于2022年，星期一分数维数的计算分数维数的计算例1 康托尔集的维数。豪斯道夫维数：每次三等分后的一小段，将此放大三倍，把中间的 1/3 段舍去得到两个1/3 段，在豪斯道夫维数公式中，L3，K2，因此有：第90页，共132页，编辑于2022年，星期一解：由于迭代到第 步时，其等长折线段总数为 ，每段的长度为 ，则科赫曲线的维数为:科赫曲线的维数科赫曲线的维数第91页，共132页，编辑于2022年，星期一 用3维尺度测量时体积为零，用2维尺度测量时面积为无穷大，分维值介于2、3 之间。从一个小立方体出发，棱长扩大3 倍体积扩大27倍，但舍去了7个体心和面心立方体。谢尔宾斯基海绵的维数谢尔宾斯基海绵的维数第92页，共132页，编辑于2022年，星期一 分数维数模糊了点、线、面、体的绝对界限。如线的弯曲使维数进化，面由于挖空而使维数退化。在这个意义上，线弯曲向面挺进，面挖空向线靠拢。同样，面由于长棱角而维数进化，体由于挖空而维数退化。在这个意义上，面棱角向体挺进，体挖空向面靠拢。分形的复杂性比整数线、面、体大得多。第93页，共132页，编辑于2022年，星期一几何学基础欧几里德几何学分形几何学形态构成元素理想化的基本几何形式任何具有自相似性的形式形态构成层次及方式单层次叠加或减式构成多层次、自相似的嵌套构成哲学视野静态的机械作用结果动态的有机发展过程分形几何与欧氏几何的比较分形几何与欧氏几何的比较第94页，共132页，编辑于2022年，星期一欧氏几何分形几何历史经典的，2000多年现代数学“怪物”，最近四十年 对象人造物体，图形规则，层次结构有限适于自然形态，图形不规则，结构层次无限 尺度基于特征长度和比例没有特征长度和比例，具有无限细节性性质局部一般不具有整体的信息，图形越复杂背后的规则也越复杂局部往往具有整体的信息，图形越复杂背后的规则经常越简单。简言之，研究不规则形体的规则方法公式、基本元素递归、迭代算法 第95页，共132页，编辑于2022年，星期一分形几何的应用分形几何的应用1.分形几何与等比数列 分形有两个显著的特点：分形是发展的，分形是自相似的。完全类似，有的数列同样有这两个特点：数列是发展的，数列是自相似的。最典型的要数等比数列了（也是迭代），.这一数列不断变化，但后项与前项之比不变。这就是等比数列的自相似性。第96页，共132页，编辑于2022年，星期一等比数列有许多不同的背景，最著名的要算生物无节制繁殖兔子繁殖。第97页，共132页，编辑于2022年，星期一 我们可以进一步猜测：几乎一切（无节制）繁殖数列都可能是等比数列的组合。菲波那契数列是假设兔子繁殖的一种规律而提出的。无独有偶，科学家鲁德维格在树分义中又发现了鲁德维格定律：一棵树苗在一年后分出一条新枝，第二年新枝修生养息，老枝依然萌发，当年的新枝则休息一年。看来，菲波那契数列是体现生物繁殖的一个较普遍规律的数列。第98页，共132页，编辑于2022年，星期一第99页，共132页，编辑于2022年，星期一 科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1.61.7 附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果一条线段AB 连接上它的黄金分割线段BC=0.618AB排列，BC 再连接 CD0.618BC，无限下去，用等比数列求和公式便可以证明，线段的总长度为AB乘上黄金分数，即1.618AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。分形几何与黄金分割分形几何与黄金分割第100页，共132页，编辑于2022年，星期一 长边与短边比值是黄金数1.618的矩形称为黄金矩形，矩形内截取掉一个正方形，剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限下去，会获得依次呈螺旋形排列的自相似正方形。将这些正方形内的1/4 圆弧连接起来，构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。第101页，共132页，编辑于2022年，星期一 黄金螺旋是一个典型的一维分形，可大致计算一下其分形维度。用小方格法，将黄金矩形分成8864 个小黄金矩形。一般情况下自然界的黄金螺旋有一定粗细，上面有更细微的分形结构，基本能占满它所经过的小格。因此将包含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中，数得N()29，因而有一定粗细的黄金螺旋分形维度log29/log8=1.619327，很接近黄金数1.618。第102页，共132页，编辑于2022年，星期一生物界中近似的黄金螺旋生物界中近似的黄金螺旋第103页，共132页，编辑于2022年，星期一2022/9/16104浙江外国语学院蒋志萍u几何证明u几何计算u初等变换u轨迹u几何作图u立体几何几何教学几何教学第104页，共132页，编辑于2022年，星期一几何证明几何证明度量关系的证明 构造全等线段或角的相等 利用已知的定理和结论 借助计算 直接用定理和相关结论线段或角的和（差/倍/分）证明 转化为相等 借助计算 利用定理和相关结论证明比例线段 转化（乘积、面积、构造等）计算 探求（从特殊到一般）定值问题的证明 转化（已知定值）计算（引进参变量）第105页，共132页，编辑于2022年，星期一几何证明几何证明位置关系的证明 三线八角平行 平等四边形、中位线 比例及相关定理和结论 直接证明（利用定理和相关结论）垂直 转化（旋转化证平行、等角）计算第106页，共132页，编辑于2022年，星期一几何量的计算几何量的计算1线段度量等长性 可加性 长度单位勾股定理及其推广海伦公式 秦九韶公式面积度量等积性 可加性 面积单位两个常用面积比共边三角形的面积比 共角三角形的面积比 面积的基本算法分块法 等分法 补差分块法第107页，共132页，编辑于2022年，星期一几何量的计算几何量的计算2 2解三角形解三角形 两边之和大于第三边 三角形中的基本结论 两边之差小于第三边 三角之和等于180度 正弦定理 基本定理 射影定理 余弦定理 第108页，共132页，编辑于2022年，星期一初等变换初等变换1初等变换平面到自身的一一映射（1）轴对称（反射）：基本不变量（距离）（2）平移：可分解为两个反射之积（平行）（3）旋转：可分解为两个反射之积（共点）（4）中心对称（旋转角为180度的旋转）保持距离不变的变换称合同变换，任一保持距离不变的变换称合同变换，任一合同变换皆可分解为不多于三个反射之积。合同变换皆可分解为不多于三个反射之积。第109页，共132页，编辑于2022年，星期一初等变换初等变换2（5）位似变换：（同向位似与异向位似）基本不变量：任两线段之比是定值基本不变性：平行性 保角性 保圆性 （6）相似变换：（同向相似与异向相似）基本不变量：任两线段之比、任意两直线交角基本不变性：平等性 保角性 保圆性 任一相似变换皆可分解为一个位似变换任一相似变换皆可分解为一个位似变换与一个合同变换之积。与一个合同变换之积。第110页，共132页，编辑于2022年，星期一轨迹轨迹（1）轨迹的意义：质点按给定条件运动所留的痕迹（应遵循的线路）曲线未必是轨迹；轨迹未必曲线。同一个图形可以是是两个不同的轨迹。只要给定的条件不同便是不同的轨迹，即便是同一图形。（2）轨迹的证明：完备性和纯粹性（条件的充分必要性）（3）轨迹的类型第一类轨迹题：给出轨迹的形状、位置和大小第二类轨迹题：给出轨迹的形状、没给出位置和大小第一类轨迹题：轨迹的形状、位置和大小均没有给出第111页，共132页，编辑于2022年，星期一常见轨迹命题及其证明常见轨迹命题及其证明（1）基本轨迹 中垂线 角平分线 圆 椭圆 双曲线（2）轨迹命题：到两定点之比为常值（不等于1的正数）的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）。（3）圆幂的概念：设P为定点，为圆O的半径，若过P作任一直线交圆于A，B则PA与PB的积为定值，此定值为定点对圆O的幂，记第112页，共132页，编辑于2022年，星期一几