二次方程根的分布情况归纳(完整版) 教师版.pdf
1 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程根的分布情况 02cbxax设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的200axbxca12,x x12xx 20f xaxbxc根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）x表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx两个正根即两根都大于 0 120,0 xx一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0 120 xx大致图象（）0a 得出的结论 00200baf 00200baf 00 f大致图象（）0a 得出的结论 00200baf 00200baf 00 f综合结论（不讨论）a 00200baa f 00200baa f 00 fa 2 表二：（两根与 的大小比较）k 分布情况 两根都小于即 k kxkx21,两根都大于即 k kxkx21,一个根小于，一个大于即 kk 21xkx大致图象（）0a 得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf大致图象（）0a 得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf综合结论（不讨论）a 020bkaa f k 020bkaa f k 0kfa kkk3 表三：（根在区间上的分布）分布情况 两根都在内 nm,两根有且仅有一根在内 nm,（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在nm,qp,内，qpnm大致图象（）0a 得出的结论 0002f mf nbmna 0nfmf或 0000f mf nfpf q 00f m f nfp f q大致图象（）0a 得出的结论 0002f mf nbmna 0nfmf或 0000f mf nfpf q 00f m f nfp f q综合结论（不讨论）a 0nfmf 00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满nm,12,xm xn足的条件是 4 （1）时，；（2）时，0a 00f mf n0a 00f mf n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：nm,若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可1 0f m 0f n 0f mf n mn以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区nm,2220mxmx间上有一根，因为，所以，另一根为，由得1,3 10f22212mxmxxmx2m213m223m即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带2nm,0 0 入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有24260 xmxm且 一 根 在 区 间内，求的 取 值 范 围。分 析：由即得 出3,0m 300ff141530mm；由即得出或，当时，根，即15314m 0 2164 260mm1m 32m 1m 23,0 x 满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 1m 32m 33,0 x 32m 15314m 1m 根的分布练习题根的分布练习题 例 1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。221210mxmxmm解：由 即 ，从而得即为所求的范围。2100mf2110mm112m 例 2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。2210 xmxmm解：由 5 0102 200mf 218010mmmm 32 232 20mmm或或即为所求的范围。032 2m32 2m 例 3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数222433ymxmxmxm的取值范围。解：由 即 即为所求的范围。210mf 2210mm122m 例 4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于 1，求实数的取值范围。22340mxmxm解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。0,1 010ff4 310m13m （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计0,10 算量稍大）例 1、当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：xa（1）方程的两个根一个大于 2，另一个小于 2；2270 xaxa（2）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；227(13)20 xaxaa(0,1)(1,2)（3）方程的两根都小于 0；022 axx 变题：方程的两根都小于1 022 axx（4）方程的两根都在区间上；22(4)2530 xaxaa 1,3（5）方程在区间（1，1）上有且只有一解；042 axx例 2、已知方程在区间1，1上有解，求实数 m 的取值范围 042 mxx例 3、已知函数 f(x)的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围 1)3(2xmmx检测反馈：1若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ 2()(1)5f xxax1(,1)2(2)f2若、是关于 x 的方程的两个实根,则的最小值为 06kkx2x222)1()1(3若关于的方程只有一根在内，则_ _ x2(2)210 xmxm(0,1)m4对于关于 x 的方程 x2+(2m1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围：（1）有两个负根 （2）两个根都小于1 （3）一个根大于 2，一个根小于 2 （4）两个根都在（0，2）内（5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于 2，一个根大于 4（7）在（0，2）内 有根 （8）一个正根，一个负根且正根绝对值较大 5已知函数的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围。1)(2xmxxf 2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨 nm,设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：002acbxaxxfnm,abnm2即 nabm2nmab,2 nmab26 图象 最大、最小值 nfxfmfxfminmax abfxfmfnfxf2,maxminmax mfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；nmab,2 nfabfmfxf,2,maxmax nfabfmfxf,2,minmin（2）若，则，nmab,2 nfmfxf,maxmax nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下x时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。x二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数在上有最大值 5 和最小值 2，求的值。2220f xaxaxb a2,3,a b解：对称轴，故函数在区间上单调。012,3x f x2,3（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；0a f x2,3 maxmin32f xff xf32522abb10ab（2）当时，函数在区间上是减函数，故 0a f x2,3 maxmin23f xff xf25322bab13ab 例 2、求函数的最小值。221,1,3f xxaxx解：对称轴 0 xa（1）当时，（2）当时，；（3）当时，1a min122yfa13a 2min1yf aa 3a min3106yfa改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当时，；2a max3106f xfa7 （2）当时，。2a max122f xfa 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当时，；1a max3106f xfa min122f xfa（2）当时，；12a max3106f xfa 2min1f xf aa（3）当时，；23a max122f xfa 2min1f xf aa（4）当时，。3a max122f xfa min3106f xfa例 3、求函数在区间上的最小值。243yxx,1t t 解：对称轴 02x（1）当即时，；（2）当即时，；2t2t 2min43yf ttt21tt 12t min21yf（3）当即时，21t 1t 2min12yf ttt例 4、讨论函数的最小值。21f xxxa解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线 2221,11,xaxxaf xxxaxaxxa，当，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）12x 12x 12a 1122a12a 因此，（1）当时，；（2）当时，；12a min1324f xfa1122a 2min1f xf aa （3）当时，12a min1324f xfa
