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-层次分析法AHP-第 6 页层次分析法一、层次分析法简介 美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)。层次分析法是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法具有系统、灵活、简洁的优点。 运用层次分析法建模来解决实际问题，可按如下五个步骤： 步骤l 定义问题，确定目标 步骤2从最高层(目标层)，通过中间层(准则层)到最低层(方案层)构成一个层次结构模型 步骤3 两两比较打分，确定下层对上层的分数 准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。引用数字1-9及其倒数作为标度来定义判断矩阵A=(aij)n×n (见表1)。表1 判断矩阵标度定义标度含义含义l表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性之比为aij，那么因素j与因素i重要性之比为1aij 步骤4 层次合成计算 步骤5 一致性检验1)计算一致性指标CI(consmtency index)CI=max-nn-1其中，max为判断矩阵的最大特征值。2)查找一致性指标RI(见表2) 表2 平均随机一致性指标n1234567891011121314RI0OO.520891121.241.361.411461491521541561583)计算一致性比例CR(consistency ratio)CR=CIRI当CR<0.10时，认为通过了一次性检验，否则应作适当修正。二、层次分析法权重向量W计算方法 层次分析法有四种计算方法求权重：算术平均法、几何平均法、特征向量法、最小二乘法。1、算术平均法(求和法)由于判断矩阵A中的每一列都近似地反映了权值的分配情形，故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。即Wi=1nj=1naijk=1nakj，i=1，2，n计算步骤：A的元素按列归一化，即求 aijk=1nakj；将归一化后的各行相加；将相加后的向量除以n即得权重向量。2、几何平均法(方根法)Wi=(j=1naij)1ni=1n(j=1naij)1n，i=1，2，n计算步骤：A的元素按行相乘得一新向量；将新向量的每个分量开n次方；将所得向量归一化即为权重向量。3、特征向量法将权重向量W右乘权重比矩阵A，有AW=maxW同上，max为判断矩阵的最大特征值，存在且唯一，W的分量均为正分量。最后，将求得的权重向量作归一化处理即为所求。4、最小二乘法用拟合方法确定权重向量，使残差平方和为最小即求解如下模型：minZ=i=1nj=1n(aijwj-wi)2s.t.i=1nwi=1，wi>0，i=1，2，n三、层次分析法在选择旅游地分析中的应用1、国庆假期打算出去旅游，有3个旅游目的地：桂林、黄山、北戴河，按照景色、费用、居住、饮食、旅途等因素选择。2、3、景色费用居住饮食旅途景色11/2433费用21755居住1/41/711/21/3饮食1/31/5211旅途1/31/5311即：A=1124332175514171121313152111315311max=5.073，CI=5.073-55-1=0.018随机一致性指标 RI=1.12（查表）CR=0.0181.12=0.016<0.1，通过一次性检验。第3层(方案)对第2层每一元素(准则)：景色P1P2P3P1125P21/212P31/51/21max=3.0055， CR=0.002750.52=0.0053<0.1，通过一次性检验。费用P1P2P3P111/31/8P2311/3P3831max=3.0015， CR=0.000750.52=0.0014<0.1，通过一次性检验。居住P1P2P3P1124P21/212P31/41/21max=3， CR=00.52=0<0.1，通过一次性检验。饮食P1P2P3P1131/2P21/311/5P3251max=3.0037， CR=0.001850.52=0.0036<0.1，通过一次性检验。旅途P1P2P3P1125P21/212P31/51/21max=3.0055， CR=0.002750.52=0.0053<0.1，通过一次性检验。4、层次合成计算算术平均法(求和法)景色费用居住饮食旅途权重景色0.2553230.244750.2352940.2857140.2903240.262费用0.5106470.48950.4117650.476190.4838730.474居住0.0638310.069950.0588240.0476190.0322550.054饮食0.0850990.09790.1176470.0952380.0967750.099旅途0.0850990.09790.1764710.0952380.0967750.110求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权重景色费用居住饮食旅途总分0.2620.4740.0540.0990.110P10.5950.0820.5710.3090.5950.322P20.2770.2360.2860.1100.2770.241P30.1290.6820.1430.5810.1290.436P3> P1> P2，最后的决策为去北戴河。几何平均法(方根法)景色费用居住饮食旅途权重景色11/24330.264费用217550.477居住1/41/711/21/30.053饮食1/31/52110.099旅途1/31/53110.107同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量景色费用居住饮食旅途总分0.2640.4770.0530.0990.107P10.5950.0820.5710.3090.5950.321P20.2760.2360.2860.1090.2760.241P30.1280.6820.1430.5820.1280.438P3> P1> P2，最后的决策为去北戴河。特征向量法A=1124332175514171121313152111315311A的最大特征值max=5.0721相应的特征向量为 W2=(0.4658，0.8409，0.0951，0.1733，0.1920)T特征值景色费用居住饮食旅途max3.00553.001533.00373.0055相应的特征向量为W3=0.8902 0.1128  0.8729  0.4629 0.8902 0.4132 0.3255 0.4364 0.1640 0.4132 0.1918 0.9388 0.2182 0.8711 0.1918 W=W3W2=0.8902 0.1128  0.8729  0.4629 0.8902 0.4132 0.3255 0.4364 0.1640 0.4132 0.1918 0.9388 0.2182 0.8711 0.1918 0.46580.84090.09510.17330.1920=0.3310.2420.427P3> P1> P2，最后的决策为去北戴河。5、一致性检验CR<0.10，均通过了一次性检验。四、结论方法算术平均法几何平均法特征向量法P10.3220.3210.331P20.2410.2410.242P30.4360.4380.427各种方法的权重排序均为：P3> P1> P2.P1,P2,P3分别表示桂林、黄山、北戴河，故最后的决策应为去北戴河。 通过比较可以发现，运用不同的确定权重的方法，并不影响决策结果。不同的计算方法得出的结果差异很小。综合运用各种方法可以避免产生偏差，使得出的结果更有效，更全面。