初中数学教学论文-对初中“反例教学”的认识.doc

对初中“反例教学的认识证明一个命题是正确的，需要有严格的证明过程；说明一个命题是错误的，只要举出一个否认例证反例。反例是符合命题条件，但与命题结论不符的例子。本文就“反例教学现在在初中阶段所处的地位、“反例教学的作用和获得反例的方法这三方面谈一些看法。一、“反例教学在初中阶段所处的地位在初中阶段“反例教学常常被无视。教师在讲课时，为了说明命题是错误的，常常能变魔术般举出很多非常简洁、非常具有说服力的反例。学生感到教师确实高明，非常佩服。但反例是怎么得到的，教师很少分析甚至不作分析。即使分析，也只是简单的要求学生根据反例的定义，去寻找符合条件，但与结论不相符的例子。至于思考时，可从什么地方切入，常利用怎样的一些思维方法，就不再作具体分析了。接下去会不会自己获得反例，要看学生个人所下的功夫和悟性了。所以很多学生一直到初中毕业也不能独立去获得反例。产生这一现象的一个主要原因是“应试。前些年，中考时直接用到反例的，常常是选择题中的命题判断。由于一些常见的假命题平时的练习都做过，再在教学时间比拟紧的情况下抽出很多精力来深入的进行“反例教学，实在“不合算。另外，反例的获得在教学上也有一定的困难。其一，获得反例和获得证明一样，需要一步一步的推理才能得到，而不是凭空可以获得的。其二，一个假命题的反例往往有好多个，不像真命题的证明那样目标明确。其三，获得反例的推理过程不像证明一样需要书写出来，这样学生在寻找反例过程中，到底哪一环节出了问题，教师很难了解，也就不能及时指导学生改正其错误。由此，教师在讲反例时，往往只“授之于鱼，而不“授之于渔。二、“反例教学的作用首先，命题分真假，真的要证明；假的要举出反例。由此可见，“举反例和“证明有着同等的地位。特别是对于一些命题的判断，往往是先考虑有没有反例。辩论时，一个具有说服力的反例，常能一锤定音。其次，反例能从另一个角度去理解问题，使你对所学的知识分析得更加清晰，理解得更加深刻，掌握得更加牢固。如在学习三角形全等时，有定理“两条边及这两条边的夹角对应相等的两三角形全等命题1。教师在强调全等的条件必须是“两边夹角时，学生自然而然会想：用两条边和一个角来证明三角形全等时，能不能“两边不夹角呢？这时，教师就会给出学生的猜测的反例。如图1，在ABC和ABD中，有AB=AB，AC=AD，B=B，但两个三角形显然不重合即不全等。通过这个反例，学生就能更加深刻的理解这个定理。第三，反例不仅可以像上面一样否认错误的猜测，而且是进一步提出猜测的源泉。探究问题离不开猜测，错误的猜测用反例加以否认之后，再从寻找反例的切入点，对原有猜测加以修正，得出新的猜测、新的答案。如上面所举的反例，画出了两个满足条件的三角形ABC和ABD。那么什么时候只能画出一种形状的三角形呢？如果B不是上面所画的锐角，而是直角或钝角，那么情怳会怎样呢？如果B的对边比拟短，刚好是点A到B的另一边垂线段；或者对边特别长，比线段AB还长时，情况又会怎样呢？不难发现，对于上面两个问题，答案都是：只能画出一种形状的三角形。也就是说，添加了上面的条件，两个三角形就全等了。新教材中,很多知识都是以问题的形式提出。目的是要求学生自己去探究，去发现。而探究、发现的过程往往不是一帆风顺的。如果学会利用反例去否认和修正错误的猜测、错误的研究方向，就可以少走许多歪路，大大的提高探究的效率。另外，获得反例的思维过程也是一个严格的逻辑推理。所以“反例教学可以进一步培养学生的逻辑思维能力。为以后的学习打好扎实的根底。由此可见，“反例的教学具有很重要的作用。它能拓宽学生的思路；能改变学生固有的思维模式；能使学生从多角度、更加全面的去思考一个问题。这与“反例教学在初中阶段所受的重视程度是不相符的。三、获得反例的方法上面已经提到，反例不是仅凭“小聪明就可以得到的。它需要经过一系列严格的逻辑推理才能获得。所以要顺利的获得反例，首先要有扎实的根底知识。仅有根底知识是不够的，还需要掌握恰当的方法。本文把寻找反例的思路按着手点不同分成两种：一是从命题的题设入手研究；二是从命题的结论开始寻找。在具体探寻反例的过程中,离不开研究数学的一些根本方法：实验、特殊化、运动变化等。下面就举一个例子从两种不同的思路来谈谈获得反例的思维过程。在学习平行四边形时，会遇上这样一个假命题：有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形命题2。怎样去寻找它的反例呢？很多同学在寻找反例时，一般都从条件入手：试着去画一个满足条件，但非平行四边形的四边形。可是都没有成功。如图2，画一个四边形ABCD，使A=C，但是否能使四边形的一组对边相等，不能确定。其实这个图形离我们要举的反例已经相距不远了。接下去，将四边形ABCD的一边CD或BC作适当的平移，使它与对边相等。然后对这个反例再反思一下，会有这样的疑惑：经过平移使对边相等后，是否能确保图形还是四边形呢？是否有这样的情怳发生：只有当四边形的边CD平移到边AB的下方或一个端点在AB的下方时，才有CD=AB。这种情况是有可能的，这里不具体分析。怎样可以使所举的反例既简洁又无懈可击呢？只要将原来的反例特殊化。把ABC固定为直角。如图3，这时对CD作上下平移，使CD=AB，点D就不会到点A下面。45°A90°这里从条件入手寻找反例，过程中用了特殊化的思想方法。特殊化在一定程度上可理解为添加条件。即在原有的上参加一些新的条件不与原条件矛盾，使一些不安的因素固定下来。这种思想方法在寻找反例的过程中尤为重要。从结论着手寻找反例，指对命题的结论进行变换，使它不再有原命题的结论，但依旧有原命题的条件。如果上面的命题从结论着手来寻找反例会怎样呢？先画一个平行四边形ABCD。接下去对这个平行四边形作变换，使它不再是平行四边形，但依旧有一组对边相等，一组对角相等。这时就想到图形的变换平移、旋转、轴对称可以保持图形的形状、大小不变。这里用旋转。将BCD绕点B旋转过一定角度，使点D落在边AD或AD的延长线上。如图4，BEF由BCD旋转而得，点D与AD边上的点F重合。这样，四边形ABEF中有A=E，AB=EF，但它不是平行四边形。至于旋转时点D能否落在边AD或AD的延长线上，与上文命题1在寻找反例时需要注意的情况相同。上面用两种方法得出命题2的反例时，都用到了图形的根本变换。可见，图形的变换在寻找反例时有着非常重要的作用。当然，对于命题2，利用不同的方法还可以得出其它反例。然而不管运用什么方法获得反例，都需要经过一系列深层次的思维活动、严格的逻辑推理才能获得。所以，反例的教学永远是一个难点。新的世纪，学生要学的知识太多了，只有教会学生自己去学习，去探索，才是教师应尽的职责。“反例在探究过程中起着非常重要的作用,因而在初中教学中应当加强“反例的教学。