99全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1 给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, bn=a3n-2+a3n-1+a3n,，则数列bn 【答】（ ）(A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列(C) 是公比为q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列2 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33 已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，ABC是 (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7. 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是_.8. 已知=arctg，那么，复数的辐角主值是_.9. 在ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则=_.10. 已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_.11. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_.12. 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30, SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为_.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)来源:学|科|网13. 已知当x0,1时，不等式恒成立，试求的取值范围。14. 给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。15. 给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列a1,a2,a3,.，试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。来源:学科网ZXXK 第二试三、(满分50分) 给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 1999年全国高中数学联合竞赛答案一、选择题题号123456答案CABD来源:学.科.网BC1. 给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, bn=a3n-2+a3n-1+a3n,，则数列bn 【答】（ ） (A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列 (C) 是公比为q3的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列2. 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x|-1)2+(|y|-1)22的整点(x,y)的个数是 【答】（ ） (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25【答案】(A) 【解析】由,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.5. 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(B) 【解析】设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得，即=44+r.由于0r3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数.二、填空题题号789101112答案6 437. 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是_.【答案】6. 8. 已知=arctg，那么，复数的辐角主值是_.【答案】 【解析】 z的辐角主值 argz=arg(12+5i)2 (239-i)=arg(119+120i) (239-i) =arg28561+28561i=9. 在ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则=_.【答案】 .【解析】来源:学,科,网 12. 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30, SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为_.【答案】 【解析】由题设，AH面SBC.作BHSC于E.由三垂线定理可知SCAE，SCAB.故SC面ABE.设S在面ABC内射影为O，则SO面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知COAB于F.同理，BOAC.故O为ABC的垂心. 又因为ABC是等边三角形，故O为ABC的中心，从而SA=SB=SC=. 因为CFAB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EFAB.所以，EFC是二面角H-AB-C的平面角.故EFC=30， OC=SCcos60=，SO= OC tg60=3. 又OC=AB，故AB=OC=3. 所以，VS-ABC=.三、解答题13. 已知当x0,1时，不等式恒成立，试求的取值范围。【解析】因此，原题中的取值范围是2k+<<2k+ ,kZ.或解：若对一切x0，1，恒有 14. 给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。【解析】 15. 给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列a1,a2,a3,.，试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。来源:Z#xx#k.Com1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一、(满分50分) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC.二、(满分50分) 给定实数a, b, c，已知复数z1 , z2 , z3 满足：，求|az1+bz2+cz3|的值。【解析】 记 ei=cos+isin可设 ，则 由题设，有ei+ei+e-i(+)=1.两边取虚部，有0=sin+sin-sin(+)三、(满分50分) 给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,ak，且1a1a2ak，aiZ，1ik因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为 xiai,xi-1，0，1若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，,n的物品，则上述表示式中含有1，2，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，-n，即xiai|xi-1，0，10,1，n所以，2n+1=|0，1，n| |xiai|xi-1，0，1|3k，即 n.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1im)若对每个-l,都有l=xiai，xi-1，0，1即 xiai|xi-1，0，10,1，注意左边集合中至多有3m个元素故必有xiai|xi-1，0，1=0,1，
