历年全国高中数学联赛试题及答案（76套题）.doc

1988 年全国高中数学联赛试题 第一试(10 月 16 日上午 800930) 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1<k<1 D0<|k|<1 3平面上有三个点集 M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|<1， N=(x，y)| +<2， (xf(1,2)2 + (y + f(1,2)2(x + f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y| ； 3 命题乙：a、b、c 相交于一点 则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通 过 1 个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么 表达式 MNP=I； N M P 中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共 4 小题，每小题 10 分)： 1设 xy，且两数列 x，a1，a2，a3，y 和 b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= b4b3 a2a1 2(+2)2n+1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 x 3在ABC 中，已知A=，CD、BE 分别是 AB、AC 上的高，则= DE BC 4甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被 淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过 程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15 分)长为，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体 2 积 四(15 分) 复平面上动点 Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点 Z 满足 Z1Z=1， 求点 Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置 五(15 分)已知 a、b 为正实数，且 + =1，试证：对每一个 nN*， 1 a 1 b (a+b)nanbn22n2n+1 1988 年全国高中数学联赛二试题 一已知数列an，其中 a1=1，a2=2， an+2= 5an + 13an(anan + 1为偶数)， an + 1an(anan + 1为奇数) ) 试证：对一切 nN*，an0 二如图，在ABC 中，P、Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，求证： SPQR SABC 2 9 三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 N A C B P Q R H 1988 年全国高中数学联赛解答 一试题 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是 y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即 y=(x)选 B 2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1<k<1 D0<|k|<1 解：因是椭圆，故 k0，以(0，0)代入方程，得 k21<0，选 D 3平面上有三个点集 M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|<1， N=(x，y)| +<2， (xf(1,2)2 + (y + f(1,2)2(x + f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y| ； 3 命题乙：a、b、c 相交于一点 则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 解：a，b，c 或平行，或交于一点但当 abc 时，= 当它们交于一点时， < SPQR SABC 2 9 证明：作ABC 及PQR 的高 CN、RH设ABC 的周长为 1则 PQ= 1 3 则=，但 AB ， SPQR SABC PQRH ABCN PQ AB AR AC 1 2 PQ AB 2 3 APABPQ ，AC ，从而 1 2 1 3 1 6 1 3 1 6 1 2 AR AC 1 3 SPQR SABC 2 9 三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 证明：设 an=bn0，即 kn1=1，或 an=bn=0，即 kn=1，就有 kn+1=0，此时 an+1不存在，故 kn1 现设 kn0，1，则 y=kn(x1)+1，得 bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时 knkn+1=kn21 1 kn 1 kn kn1 或 kn1 或 k11 时，由于 0<k2=k10，若 k21，则又有 k1k2k30，依此类推，知当 km1 1 k1 1 k1 时，有 k1k2k3kmkm+10，且 0<<<<<1， 1 k1 1 k2 1 km km+1=km<km=km1<km1<k=k0，此时 kk<0 m11 m1 m11 m1 m1 + 1 即此时不存在这样的直线族 当 k1<1 时，同样有1<<0，得 k1<k2=k1<0若 k2<1，又有 k1<k2<k3<0，依此类推，知 1 k1 1 k1 当 km<1 时，有 k1<k2<k3<<km<km+11， 1 k1 1 k2 1 km km+1=kmkm=km1km1k1 1 km 1 k1 1 km1 1 k1 2 k1 m k1 由于 k1随 m 的增大而线性增大，故必存在一个 m 值，m=m0，使 k11，从而必存在一个 m km m0 k1 m 值，m=m1(m1m0)，使 k1，而1<k=k<0，此时 kk<0 m11 m1 m1 m1 m1 + 1 即此时不存在这样的直线族 综上可知这样的直线族不存在 厦门市参加 2010 年福建省高中数学竞赛 暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 贵校教务处转数学教研组： 根据闽科协发【2010】39 号文件关于举办 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 ，以及省 数学会关于 2010 年福建省高中数学竞赛暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 ，根据我市 情况，有关竞赛工作通知如下： 一、赛制、竞赛时间和命题范围一、赛制、竞赛时间和命题范围 竞赛分预赛和复赛两个阶段。 1预赛： （1）时间：2010 年9 9 月月 1111 日（星期六）日（星期六）9：0011：30，在本市考点进行。 （2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为2010 年福建省高中数学竞赛 的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。 （3）试卷结构：填空题 10 题，每题 6 分，满分 60 分；解答题 5 题，每题 20 分，满分 100 分。全卷 满分 160 分。考试时间 150 分钟。 2复赛 （1）时间与地点：2010 年 10 月 17 日（星期日）8：0012：10，集中在福州一中旧校区进行考试。 其中联赛时间为 8：009：20，加试时间为 9：4012：10。 （2）试题来源与命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范 围以现行高中数学教学大纲高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲数学竞赛大纲为准。 根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部 2000 年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主 要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。 全国高中数学联赛加试（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营） 、国际数学奥林匹克接轨，在知识方 面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。 （3）试卷结构： 全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题 8 题，每题 8 分，满分 64 分；解答题 3 题，分别为 16 分、20 分、20 分，满分 56 分。全卷满分 120 分。考试时间 80 分钟； 全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4 道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方 面。每题 50 分。满分 200 分。考试时间 150 分钟。 二、参赛对象二、参赛对象 本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。 三、报名、报名费和准考证三、报名、报名费和准考证 采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。 报名表请参照样表、统一用 Excel 文档并按要求认真填写按要求认真填写，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考 试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真 填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报 1 名指导教师） ，赛后不得更改。报名 费（按省数学会通知）统一收取每生统一收取每生 18 元元。 各参赛学校请将报名表的电子文本用 E.mail 发送至电子油箱 ；报名费请直接汇入建 设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM 卡号：4367421930036257416。报名截止时间是报名截止时间是 6 月月 25 日，日， 逾期不予受理。逾期不予受理。 请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至 13806039993，短 信联系进行报名的确认。9 月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管， 考前 30 分钟再发给考生。 四、考号安排四、考号安排 学 校考号安排 厦门一中1000110600 双十中学1060111200 厦门六中1120111800 外国语学校1180112400 科技中学1240113000 厦门二中1300113200 湖滨中学1320113400 学 校考号安排 松柏中学1340113600 厦门三中1360113800 华侨中学1380114000 禾山中学1400114200 大同中学1420114400 康桥中学1440114600 集美中学2000120400 英才学校2040120600 灌口中学2060128000 乐安中学2080121000 厦门十中2100121400 杏南中学2140121600 海沧中学2160121800 海沧实验中学2180122000 同安一中3000130600 启悟中学3060130800 第二外国语学校3080131000 东山中学3100131200 五显中学3120131400 国祺中学3140131600 翔安一中4000140400 新店中学4040140600 内厝中学4060140800 诗扳中学4080141000 - 9 - 五、考务：五、考务： 有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。 六、奖项：六、奖项： 按参赛人数的 5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可 以直接参加复赛。 另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛： （1）2008 年、2009 年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者； （2）2010 年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者； （3）2010 年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者； （4）2010 年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。 复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定， 获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一注意：一 等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。 省数学会评出省数学会评出20092009 年福建省高中数学竞赛年福建省高中数学竞赛一、二、三等奖一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、 二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数 给学校不低于 10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。 厦门市教育科学研究院 基础教育研究室 厦门市教育学会 数学教学专业委员会 2010 年 5 月 13 日 附：2010 年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表 考号学生姓名性别年级所在学校指导教师 考生总数 （人）应交金额 （元） （注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改） 19921992 年全国高中数学联赛试卷年全国高中数学联赛试卷 第一试 一选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1. 对于每个自然数n，抛物线y(n2n)x2(2n1)x1 与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则 |A1B1|A2B2|A1992B1992|的值是( ) 1 1 O 1 1 x y - 10 - (A)1992 1991 (B)1993 1992 (C)1993 1991 (D)1992 1993 2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A)(x 2 1y )(y 2 1x )=0 (B)(x 2 1y )(y 2 1x )=0 (C)(x 2 1y )(y 2 1x )=0 (D)(x 2 1y )(y 2 1x )=0 3. 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记= )( 4 1 i i S /S，则一定满足( ) (A)2<4 (B)3<<4 (C)2.5<4.5 (D)3.5<1) 2.用数学归纳法证明： fn(x)= ), 2 1 , 2 , 1( ,) 1() 1( ), 2 , 2 , 1( ,) 1() 1( 2 1 2 1 2 1 221 1 2 221 1 为奇数 为偶数 n n iCyCyCy n n iyCyCy n n n ini in in n n n ini in in n n 19931993 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷 第 一 试 一选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1 若M(x，y)| |tgy|+sin2x0，N(x，y)| x2+y22，则MN的元素个数是（ ） (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2 已知f (x)asinx+b+4(a，b为实数)，且 f (lglog310)5，则f(lglg3)的值是（ ） (A)5 (B)3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值 3 集合A，B的并集ABa1，a2，a3，当AB时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ） （A）8 （B）9 （C）26 （D）27 4 若直线x4 被曲线C：(xarcsina)(xarccosa)(yarcsina)(yarccosa)0 所截的弦长为d，当a变化 时d的最小值是( ) (A) 4 (B) 3 (C)2 (D) 5 在ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若ca等于AC边上的高h，则2 cos 2 sin ACAC 的值 是( ) (A)1 (B)2 1 (C)3 1 (D)1 - 12 - 6 设m，n为非零复数，i为虚数单位，zC，则方程| zni| zmi|n与| zni|zmi|m在同一复平 面内的图形(F1，F2为焦点)是( ) 二填空题（每小题 5 分，共 30 分） 1 二次方程(1i)x2(i)x(1i)0(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为 _ 2 实数x，y满足 4x25xy4y25，设 Sx2y2，则 minmax 11 SS _ _ 3 若zC，arg(z24)6 5 ，arg(z2+4)3 ，则z的值是_ _ 4 整数 310 10 31 93 的末两位数是_ 5 设任意实数x0 x1x2x30，要使 1993log1993log1993log 3 2 2 1 1 0 x x x x x x 1993log 3 0 x x k 恒成立，则k 的最大值是_ _ 6 三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的， 倒过来看仍为三位数，如 198 倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531 倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一 卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片 三 （本题满分 20 分） 三棱锥SABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线 DP证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为 D ，则 D 为三棱锥SABC的外接球球心 四 （本题满分 20 分） 设 0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2x有四个不同的交点，当这四点共圆时， 求这种直线l与m的交点P的轨迹 五 （本题满分 20 分） 设正数列a0，a1，a2，an， 满足 1212 2 nnnnn aaaaa (n2)且a0a11求an的通项公式 x y F1 F2 x y F1 F2 O o F1 F2 F1 F2 x x y o o y (A)(B)(C)(D) - 13 - 19941994 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题 第 一 试 一选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式 0cossincxbxa 都成立的充要条件是 (A)a，b同时为 0，且c0 (B) abc 22 (C) abc 22 (D) abc 22 2给出下列两个命题： (1)设a，b，c都是复数，如果abc 222 ，则abc 222 0； (2)设a，b，c都是复数，如果abc 222 0，则abc 222 那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 3已知数列 an 满足3 41 1 aan nn ()，且a19 ，其前 n 项之和为Sn，则满足不等式 |Sn n 6 1 125的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4已知4 0,10 ab ，则下列三数：x a b a (sin )log sin ，y a b a (cos )log cos ， z a b a (sin )log cos 的 大小关系是 (A)xz<y (B)yzx (C)zxy (D)xyz 5在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A) (, ) n n 2 (B) (, ) n n 1 (C) ( ,)0 2 (D) (,) n n n n 21 6在平面直角坐标系中，方程 |xy a xy b 22 1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是 (A)三角形 (B)正方形 - 14 - (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1已知有向线段PQ的起点 P 和终点Q的坐标分别为(1，1)和(2，2)，若直线l：xmym0 与PQ的延长线相交，则 m的取值范围是_ _ 2已知 x yaR, 4 4 且 0cossin4 02sin 3 3 ayyy axx ，则cos( )xy 2 =_ 3已知点集 ) 2 5 ()4() 3( | ),( 222 yxyxA ， ) 2 5 ()5()4( | ),( 222 yxyxB ，则点集 AB 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_ 4设0 ，则 sin(cos ) 2 1 的最大值是_ 5已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于，则sin=_ 6已知 95 个数a a aa 12395 , ， 每个都只能取1 或1两个值之一，那么它们的两两之积的和 a aa aa a 12139495 的最小值是_ _ 19951995 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 第 一 试 一选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1. 设等差数列 an 满足3 5 813 aa 且a1 0 ，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为Z Z Z 1220 , ，则复数Z11995，Z21995， ,Z20 1995 所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就 - 15 - 称他为棒小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4. 已知方程| |()xnk x nN2 在区间(2n-1，2n+1上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) (A)k 0 (B) 0 1 21 k n (C) 1 21 1 21n k n (D)以上都不是 5. 1tglog, 1sinlog, 1tglog, 1coslog 1cos1cos1sin1sin 的大小关系是( ) (A) 1tglog1log1sinlog1coslog 1cos1sin1cos1sin tg (B) 1tglog1coslog1log1sinlog 1sin1sin1cos1cos tg (C) 1coslog1sinlog1tglog1tglog 1sin1cos1cos1sin (D) 1sinlog1coslog1tglog1tglog 1cos1sin1sin1cos 6. 设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和 式 111 PQPRPS (A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数 二、填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1. 设 , 为一对共轭复数，若| | 2 3，且 2 为实数，则| | _ 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_ 3. 用x表示不大于实数x的最大整数， 方程lg lg 2 20 xx 的实根个数是_ 4. 直角坐标平面上，满足不等式组 yx y x xy 3 3 100 的整点个数是_ 5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可使用，那么不同的染色方 - 16 - 法的总数是_ 6. 设M=1，2，3，1995，A是M的子集且满足条件:当xA时，15x A ，则A中元素的个数最多是_ 一九九六年全国高中数学联合竞赛一九九六年全国高中数学联合竞赛 一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1.把圆 x2+ (y 1 )2 =1 与椭圆 9x2 + (y + 1)2 = 9 的公共点, 用线段连接起来的图形是_. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形 2.等比数列an的首项a11536, 公比是 q2 1 用Tn表示它的前n项之积，则Tn(nN)最大的是 _ (A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T13 3.存在在整数n，使 nnp 是整数的质数p (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个 4 设 x(2 1 ，0)，以下三个数： 1=cos(sinx), 2=sin(cosx), 3=cos(x+1) 的大小关系是 _ (A) 3 < 2 < 1 (B) 1 < 3 < 2 (C) 3 < 1 < 2 (D) 2 < 3 < 1 5.如果在区间1, 2 上, 函数 f(x) = x2 + px + q 与 g(x) = x + ()2在同一点取相同的最小值, 那么f (x)在该区间上的最大值是_. (A) 33 42 4 11 4 (B) 33 42 2 5 4 (C) 33 42 2 1 1 (D)以上答案都不对 6.高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1, 球心 O1在圆台的轴上. 球 O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入 一个半径为 3 的球 O2, 使得球 O2与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球 O2, 圆台内最多还能放入半径 为 3 的球的个数是_. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、二、 填空题填空题( (本题满分本题满分 5454 分分, ,每小题每小题 9 9 分分) ) 1.集合x| 1 log ()10 < , xN的真子集的个数是_ 2. 复平面上非零复数z1、z2在以i为圆心 1 为半径的圆上，z1z1的实部为零，z1的辐角主值为 6 1 ，则 z 2 = _ 3.曲线 C 的极坐标方程是 = 1 + cos, 点 A 的极坐标是(2, 0) 曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是_ 4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体, 并且该六面体的最短棱的长为 2, 则最远的两个基本点顶点的距离是_ 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种 颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_种. (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染 色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以 199 为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为 _ 19971997 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 5 日上午 8:0010:00) - 17 - 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1已知数列 n x 满足 11 nnn xxx (n2)，x1a， x2b， 记Snx1x2xn，则下列结论正确的是 (A)x100a，S1002ba (B)x100b，S1002ba (C)x100b，S100ba (D)x100a，S100ba 2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得 )0( FD CF EB AE ， 记 )(f 其中 表示EF与AC所成的角， 表示EF与BD所成的角，则 (A) )(f 在 ), 0( 单调增加 (B) )(f 在 ), 0( 单调减少 (C) )(f 在(0，1)单调增加，而在(1， ) 单调减少 (D) )(f 在(0，)为常数 3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4在平面直角坐标系中，若方程 222 ) 32() 12(yxyyxm 表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1， ) (C)(0，5) (D)(5， ) 5设 xxxf 2 )( ， arcsin3 1 ， ) 4 5 (arcctg), 3 1 arccos(, 4 5 arctg ，则 (A) )()()()(ffff (B) )()()()(ffff (C) )()()()(ffff (D) )()()()(ffff 6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 二、 填空题(每小题 9 分，共 54 分) 设x，y为实数，且满足 1) 1(1997) 1( 1) 1(1997) 1( 3 3 yy xx ，则xy . 过双曲线 1 2 2 2 y x 的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB| 的直线l恰有 3 条，则 . A B C D E F - 18 - 已知复数z满足 1| 1 2| z z ，则z的幅角主值范围是 已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SASBSC2，AB2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个 球面上，则点O到平面ABC的距离为 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在 5 次之内跳到D点，则停止 跳动；若 5 次之内不能到达D点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种 设a lgzlgx(yz)11，b lgx1lg(xyz1)，c lgylg(xyz)11，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值 为 一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷 （10 月 11 日上午 8 0010 00） 一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1 若a1,b1 且 lg(a+b)=lga+lgb，则 lg(a1)+lg(b1)的值 (A) 等于 lg2 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与a,b无关的常数 2 若非空集合A=x|2a+1x3a5,B=x|3x22，则能使AAB成立的所有a的集合是( ) (A)a|1a9 (B)a|6a9 (C)a|a9 (D) 3 各项均为实数的等比数列an前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于( ) (A) 150 (B) 200 (C) 150 或200 (D)400 或50 4 设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x+c10 与a2x2+b2x+c20 的解集相同；命题Q： 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 。则命题Q (A)是命题P的充分必要条件 (B)是命题P的充分条件但不是必要条件 (C)是命题P的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 5 设E ,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角CFGE的大小是( ) (A) 3 6 arcsin (B) 3 3 arccos 2 (C) 2arctg 2 (D) 2 2 arcctg 6 在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中， 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、 填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1 若 )(Rxxf 是以 2 为周期的偶函数，当 1 , 0 x 时， 1998 1 )(xxf ，则 ) 19 98 (f , ) 17 101 (f , ) 15 104 (f 由小到大 的排列是_. 2 设复数z= sincosi ( 0 18 0 )，复数z,(1+i)z,2z在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不 共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_. 3 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数，使其和为不小于 10 的偶数，不同的取法有_种. 4 各项为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多有_项. 5 若椭圆 4)(4 22 ayx 与抛物线 yx2 2 有公共点，则实数a的取值范围是_. 6 ABC中，C=90,B=30,AC=2，M是AB的中点，将ACM沿CM折起， 使A,B两点间的距离为 22 ，此时三棱锥ABCM的体积等于_. 三、 （本题满分 20 分） 已知复数z=1sin+icos( 2 )，求z的共轭复数z的辐角 A B C D E FG A BC M - 19 - 主值。 四、 （本题满分 20 分） 设函数 38)( 2 xaxxf (a0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间0,l(a)上，不 等式|f (x)|5 都成立。 问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。 五、 （本题满分 20 分） 已知抛物线 pxy2 2 及