专题13《“Y”形模型》.doc

专题13“Y”形模型破解策略当图形具有邻边相等的这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换（1）如图，等边ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将BPC绕点B逆时针旋转60得到BPA，则BPP是等边三角形；APP的形状由AP，BP，CP的长度决定（2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将BPC绕点B逆时针旋转90得到BPA，则BPP是等腰直角三角形；APP的形状由AP，BP，CP的长度决定这类题目中不提旋转，而是通过旋转添加辅助线，从而解决问题例题讲解例1已知：在ABC中，BAC60（1）如图1，若ABAC，点P在ABC内，且PA3，PC4，APC150，求PB的长；【答案】解：（1）如图4，将APC绕点A顺时针旋转60，得到AQB，连结PQ易证PAQ是等边三角形从而在PQB中，有PQB90，PQ3，BQ4，所以PB5【答案】解：（1）如图4，将APC绕点A顺时针旋转60，得到AQB，连结PQ易证PAQ是等边三角形从而在PQB中，有PQB90，PQ3，BQ4，所以PB5（2）如图2，若ABAC，点P在ABC外，且PA3，PB5，PC4，求APC的度数；【答案】（2）如图5，将APC绕点A顺时针旋转60，得到AQB，连结PQ易证PAQ是等边三角形从而在PQB中，有PQ3，BQ4，PB5，所以PQB90，从而APCAQB30（3）如图3，若AB2AC，点P在ABC内，且PA，PB5，APC120，求PC的长； 【答案】（3）如图6，作AQC，使得AQAP，CQBP，连结PQ易证ACBAQP从而在QPC中，有QPC90，PQ，QC，PC2例2如图，正方形ABCD外有一点E，满足EDEC，且DEA15，求证：DEC为等边三角形 证明如图，过点D作DFDE，且DFDE，连结CF交AE于点G，连结EF易证ADECDF，所以DFCDEA15，从而FGEFDE90，GFE30所以GEEFDFCE，所以GEC45，DEC60，即DEC为等边三角形进阶训练1（1）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA，PB，PC1，则BPC的度数为_；【答案】1（1）135；【提示】如图，将BPC旋转至BPA，连结PP，证APP是直角三角形即可（2）如图2，在正六边形ABCDEF内有一点P，PA2，PB4，PC2，则BPC的度数为_，正六边形ABCDEF的边长为_【答案】（2）120；2（1）如图1，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90，BPC120，求APC的面积；（2）如图2，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为点E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）（1）APC的面积为7；（2）BD【提示】（1）如图，将ABP绕点B顺时针旋转60至CBQ，连结PQ易证PQC为含30的直角三角形令BPm，则PQm，从而APCQm，PC2m，然后解RtAPC即可 （2）如图，连结AC，显然ACAB，将ABD绕点A逆时针旋转BAC的度数至ACQ，连接DQ，则ABCADQ，从而DQkBC4k作AFDQ于点F，则DAFBAEADC，所以AFCD，即CDQ90在RtCDQ中，由勾股定理可得BDCQ 6