【初中数学解题技法】中点四大模型.docx

中点四大模型模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图，AD是ABC 的中线，延长AD至点E 使 DE=AD，易证：ADCEDB（SAS）。如图，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DE=FD，易证：FDBFDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。模型实例 例 1如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E 是 AD 上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。求证：AC=BE。模型精练 1如图，在ABC 中，AB=12，AC=20，求 BC 边上中线 AD 的范围。 模型 2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。模型实例 例 1如图，在ABC 中，AB=AC=5。BC=6，M为BC的中点，MNAC 于点 N，求 MN 的长度。模型精练 1 如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，AEDE，AFDF，且 AE=AF。 求证：EDB=FDC。2 已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点，EDF=90，EDF 绕点 D 旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F。 （1）当EDF 绕点 D 旋转到 DEAC 于 E 时（如图）， 求证： SVDEF +SVCEF =1/2 SVABC ； （2）当EDF 绕点 D 旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图和图这两种情况下,上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， SVDEF 、SVCEF 、SVABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 模型 3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且 DE =1/2 BC 来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。模型实例 例 1如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接EF并延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N。 求证：BME=CNE。模型精练 1（1）如图，BD、CE 分别是ABC 的外角平分，过点 A 作 ADBD、AECE，垂足分别为 D、E，连接 DE。 求证：DEBC， DE =1/2 (AB+BC+AC) ； （2）如图，BD、CE 分别是ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ （3）如图，BD 是ABC 的内角平分，CE 是ABC 的外角平分，其它条件不变。DE 与 BC 还平行吗？它与ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明。2问题一：如图，在四边形 ACBD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 分别交 DC、AB 于点 M、N，判断OMN 的形状，请直接写出结论； 问题二：如图，在ABC 中，AC>AB，点 D 在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 EFC=60，连接 GD，判断AGD 的形状并证明。模型 4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =1/2 AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD 和BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。 模型实例 例 1如图，在ABC 中，BE、CF 分别为 AC、AB 上的高，D 为 BC 的中点，DMEF 于点 M。求证：FM=EM。 模型精练 1如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于点 D，M 为 BC 的中点，AB=10。 求 DM 的长度。2已知，ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD=ACE=90，连接 DE，M 为 DE 的中点，连接 MB、MC。求证：MB=MC。3问题 1：如图，ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AEBC，BFAC，垂足分别为点 E、F，AE、BF 交于点 M，连接 DE、DF。若 DE =kDF ，则k 的值为_； 问题 2：如图，ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在ABC 内部，且MAC=MBC。过点 M 分别作 MEBC，MFAC，垂足分别为点 E、F，连接 DE、DF。若 DE=DF； 问题 3：如图，若将上面问题中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其它条件不变，试探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论。