重难点突破：初中数学动点问题7大类20小类全梳理.docx

重难点突破：初中数学动点问题全梳理动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。题型一 动点形成的面积问题1面积公式：三角形面积用来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。2面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。3相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。角度1： 利用公式法解决动点面积问题例题1： 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求的正切值；（3）若点D在轴下方的对称轴上，当时，求点D的坐标变式1： 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（其中），射线O与反比例函数的图像交于点P，点B、C分别在函数的图像上，且轴，轴（1）当点P横坐标为6，求直线AO的表达式；（2）联结BO，当时，求点A坐标；（3）联结BP、CP，试猜想：的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由解析：（1）反比例函数的图像经过横坐标为6的点P，点P的坐标为（6，2）设直线AO的表达式为（）将点P（6，2）代入，解得所求反比例函数的解析式为（2）AB/x轴，点B纵坐标为3，将代入，得B坐标为（4，3）AB=BO，解得点A坐标为（9，3）（3）不变延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，点C坐标为（，），同理，即ABP与ABO同高，同理即当变化时，的值不变，且恒为1变式2： 如图，在直角坐标系中，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，点在轴的负半轴上，；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结、，点是轴正半轴上一个动点，过点作交射线于点，联结，若的面积为2，则请求出点的坐标； 评职加分用期刊论文发表，课题，证书办理，代写评比论文，普通话二级甲等证书 加微信157 1699 6055解析：（1）设这条抛物线的解析式为 它的顶点坐标为 （2）过点P作，垂足为H.P点在轴的正半轴上，设.A，.在中，；又， ； 点P在点B的左侧时，解得 点P在点B的右侧时，解得，（不合题意，舍去）P（，0）. 综上所述，P的坐标为（1，0）或（，0） 评职加分用期刊论文发表，课题，证书办理，代写评比论文，普通话二级甲等证书 加微信157 1699 6055 角度2： 利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2： 如图，已知在梯形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN点E、F分别在线段AN、DN上，且，联结EF（1）如图1，如果，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是的面积的，求AM的长；解析：（1）AD/BC，EF/BC，EF/AD又ME/DN，四边形EFDM是平行四边形EF=DM同理可证，EF=AMAM=DMAD=4， （2），即得ME/DN，AMEAND同理可证，DMFDNA即得设AM=x，则即得解得，AM的长为1或3变式3： 已知直线、，点A是上的点，B、C是上的点，O是AB的中点，D是CB延长线上的点，将沿直线CO翻折，点D与重合（1）如图1，当点落在直线上时，求DB的长；（2）延长DO交于点E，直线分别交、于点M、N如图2，当点E在线段AM上时，设，求y关于x的函数解析式及其定义域；若的面积为时，求AE的长解析 变式4 如图1，在梯形中，对角线，cm，cm（1）求的值；（2）点为延长线上的动点，点在线段上（点与点不重合），且满足，如图2，设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点为射线上的动点，点在射线上，仍然满足，当的面积为时，求的长解析：（1），.，.，.，.，.（2），.，又，.在中，又，.，.，.定义域为.（3）当点在的延长线上，由（2）可得：，.，.，. 当点在线段上，同理可得：.所以的长为或.角度3： 利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3： 已知在平面直角坐标系xoy（如图）中，抛物线经过点、点，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC、BC，求的正弦值；（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q，如果，求m的值； 解析：变式4： 已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，对称轴与轴相交于点，顶点为点，且的正切值为（1） 求顶点的坐标；（2） 求抛物线的表达式；（3） 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结，若，求点的坐标解析：（1）抛物线与轴相交于，两点，对称轴：直线，（2）设将代入上式，得，所以，这条抛物线的表达为（3）过点作轴，垂足为点设， ，解得，（舍），巩固1： 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴相交于点A、与轴的正半轴相交于点B，它的对称轴与轴相交于点C，且，（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D在此抛物线上，垂足为F，DF与线段AB相交于点G，且，求点D的坐标解析：（1）抛物线的对称轴为直线，OC=1，OA=OC+AC=4，点A（4，0）OBC=OAB，tanOAB=tanOBC，OB=2，点B（0，2），此抛物线的表达式为（2）由得DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，设，得，由/OB，得，（不符合题意，舍去），点D的坐标是（3，）巩固2： 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与、重合），与相交于点（1）求证：；（2）若，设，；求关于的函数解析式及定义域；当为何值时，？（1）证明：与都是等边三角形，（2），设，（3）解法一：与都是等边三角形，解得，当或时，解法二：ABC与都是等边三角形，过点作于点，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，综上所述，当或时，巩固3： 在矩形中，点是射线上一动点，将三角板直角顶点重合于点，三角板两直角边中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点（1）判断与一定相似吗？请证明你的结论；（2）设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点，是周长等于周长的2倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由解析：（1）当在边上时，如图（1）：矩形，据题意，当在边上时，如图（2）：同理可得（2）若点在边上，据题意：又，若点在边延长线上时，据题意，则，（3）假如存在这样的点，使周长等于的2倍若点在边上，不合题意舍去；若点在边延长线上，同理得，综上所述：存在这样的点满足题意，此时巩固4： 如图，已知抛物线经过点，点，点（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点在轴上，求点的坐标解析：（1）抛物线经过点，点，点解得方程组的解为这个抛物线的解析式为：顶点为（2）如图：取OA的中点，记为点NOA=OC=4，AOC=90ACB=45点N是OA的中点ON=2又OB=2OB=ON又BON=90ONB=45ACB=ONBOMB+OAB=ACBNBA+OAB=ONBOMB=NBA1当点M在点N的上方时，记为M1BAN=M1AB，NBA=OM1B，ABNAM1B又AN=2，AB=2又A（0，4）2当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于轴对称，综上所述，点M的坐标为或题型二 动点形成的相切问题1直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4： 直线与圆相切问题例题4： 如图，在中，点分别在边上（点F不与点A、C重合）把沿直线EF翻折，点C与点D重合，设（1）求的余切值；（2）当点D在的外部时，分别交于M、N，若，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E为圆心、BE长为半径的与边AC 没有公共点时，求的取值范围 一个公共点时，求的取值范围 两个公共点时，求的取值范围变式5： 已知：矩形ABCD中，过点B作BGAC交AC于点E，分别交射线AD于F点、交射线CD于G点，BC6（1）当点F为AD中点时，求AB的长；（2）联结AG，设求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由解析：（1）点F为AD中点，且AD=BC=6，AF=3矩形ABCD中，ABC=90，BGAC于点E，ABE+EBC=90，ACEBC=90ABE=ACB，ABFBCF，AB=（2）由（1）可得ABFBCFABx，BC6AF=；同理可得：CG=当F点在线段AD上时DG=CG-CD=SAFG=。即当F点在线段AD延长线上时，DG=CD-CG=SAFG=即（3）过点D作DHBG于点H以点D为圆心的圆与BC、BG都相切CD=DHDBF=CBD矩形ABCD中，ACB=CBD（RtBEC中，ACB+CBD+DBF=90ACB=30RtABC中，tanACB=tan30=即当时，以点D为圆心的圆与BC、BG都相切】角度5： 圆与圆相切问题；例题5： 如图，已知中，点是边上的动点，以点为圆心，为半径作圆，交边于点，过点作，交边于点，交圆于点设（1）当点与点重合时，求的长；（2）设，求关于的函数解析式及定义域；（3）联结，当时，试判断以点为圆心，为半径圆与圆位置关系解析：（1），；，又，；（2）当在线段上时，过点、作、，垂足为、在中，；在中，；由（1）得，；，定义域为当点在线段的延长线上时，可得，定义域为（3）过点、分别作、，垂足分别为、当时，得；，；又；在中，；过点作，垂足为在中，；即；解得；，；圆与圆相交变式6： 如图，已知在中，ACB=90，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E（1）当时，求CE的长；（2）如果点P在边AB的上，当P与以点C为圆心，CE为半径的C内切时，求P的半径；（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与P相交于点F，点P在运动过程中，当时，求AP的长解析：（1）作PHAC，垂足为H，PH过圆心，AH=DHACB=90，PHBC，cosB=，BC=3，AB=5，AC=4PHBC，DC=，又，当P与C内切时，点C在P内，点D在AC的延长线上过点P作PGAC，垂足为G，设PA=，则，（1分）P与C内切，（舍去）当P与C内切时，P的半径为（3）ABC+A=90，PEC+CDE=90A=PDA，ABC=PECABC=EBP，PEC=EBP，PB=PE点Q为线段BE的中点，PQBC，PQAC当PECF时，四边形PDCF是平行四边形，PF=CD当点P在边AB的上时，当点P在边AB的延长线上时，综上所述，当PECF时，AP的长为或变式7： 如图，在中，ACB为直角，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）以P为圆心，PB长为半径的P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；（2）当P和AC相交时，设CQ为x，P被AC截得的弦长为y，求y关于x的函数；并求当Q过点B时P被AC截得的弦长；（3）若P与Q相交，写出t的取值范围解析：（1）连接PD，B、E、D都在P上PB=PD，PBD=PDB，PD=PE，PDE=PEDBDE的内角和为180BDE=BDP+PDE=90，即：DEBCBCA=90，DECA，BDEBCA，设CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t代入有解得：当时Q与D重合，（2）设P和AC相交于M、N，BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x过点P作PHAC于点H在RtAPH中，易知：PH=在RtPHN中，易知：HN=当Q经过B点时，（如图）CQ=CBQB=4，将代入得：（3）当QP与Q外切时，如图，易知此时QBP=60，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t，从此时起直至停止运动，P与Q都处于相交位置P与Q相交时t的取值范围为：角度6： 圆与其他结合问题例题6： 已知：，经过点.以为一边画平行四边形，另一边经过点（如图1）.以点为圆心，为半径画弧，交线段于点（点不与点、点重合）.（1）求证：；（2）如果的半径长为5（如图2），设，求y关于的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果的半径长为5，联结，当时，求的长.图1 图2 备用图解析：（1）联结、（如图1-1），易得，.四边形是平行四边形，.， 又，四边形是等腰梯形. 又，.即 在AOD和BOE中，AODBOE. 方法2：，AODBOE.方法3：，AODBOE.方法4：如图1-2，过点作，过点作，过点作.方法5：如图1-3，过点作，垂足为，联结、.（2）如图2-1，过作，垂足为，过点作，垂足为.联结，得到，在RtADG中，利用得到，函数定义域，（3）如图3-1，过点作，交于点，交于点.证明四边形是平行四边形，利用，得到，利用AMNCMO或得到，进而得到是的垂直平分线，利用，得到方法2.如图3-2；方法3：如图3-3；方法4（利用圆周角，略）.变式8： 已知：以O为圆心的扇形AOB中，点C为上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE.（1） 如图1，当四边形AODE为矩形时，求ADO的度数；（2） 当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；（3） 联结BC，试问：在点C运动的过程中，BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.【答案： （1）AODE为矩形，AD=OE，且AD=2AC，OE=2OC. 点C在上，OA=OC.OE=2OC=2OA.AD=2OA.AODE为矩形，AOOD.ADO=30（2）作OHAC，垂足为H.O为圆心，AH=HC，又AC=6，AH=3.AOB=90，AOOD.EDOD，AO/ED.AC=6，AO=5，CD=DE. AOOD，OHAC，.DE=.（3）BCD的大小不变，设A=，OBC=O为圆心，点C为上，OA=OC=OB.ACO=A=，OCB=OBC=. AOC=，BOC=.AOB=90，+=90.BCD=.巩固5： 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（-3，0）点D在线段AB上，AD=AC（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB为半径的圆D与圆C外切，求圆C的半径；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上如果线段MN被直线CD垂直平分，求的值解析：（1）抛物线经过点A（-3，0），解得所求抛物线的关系式为抛物线的对称轴是直线（2）当，时，即得C（0，-4）又由A（-3，0），得AD=AC=5又由A（-3，0），得D（2，0）又由直线为抛物线的对称轴，得B（5，0）BD=3设圆C的半径为r圆D与圆C外切，CD=BD+r即得解得圆C的半径长为（3）联结DNAC=AD，ACD=ADC线段MN被直线CD垂直平分，MD=ND即得MDC=NDCNDC=ACDND/AC即得AD=5AB=8，即得BD=3，巩固6： 在中，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交O于点E，联结BE、AE（1） 当（如图（1）时，求O的半径长；（2） 设求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3） 若以A为圆心的A与O有公共点D、E，当A恰好也过点C时，求DE的长【答案：（1）DEAB，AB过圆心O，AB平分DE，BE=BD，EBA=DBA，AE/BC，EAB=DBA，EAB=EBA，BE=AE，BD=AE，又DEAB，ACAB，AC/DE，AEDC为平行四边形，AE=DC，BD=DC=5作OHBC于M，则BH=DH=BD=，BO=，O半径（2）联结AD，DEAB，AB过圆心O，AB平分DE，AB是DE的中垂线，AD=AE=y，作OHBC于H，则BH=DH，在RtBOH中，BO=x，BH=，BD=，作AMBC于M，则得AM=，BM=，DM=，在RtADM中，即，（）（3） 设DE、AB交于点P，则DP=EP，方法一、情况1：D与C不重合A过点D、C，AD=AC，作AKBC于K，则DK=CK=，BD=10-2=，DP=BDsinABC=，DE= 情况2：D点与C点重合时，E、A、C三点共线，DE=2AC=12.DE的长为12或方法二、设DP=x，BD=，BP=，AP=，联结EA，A过点D、E、C，AE=AC=6，在RtAEP中，整理得，解得经检验，都符合题意DE的长为12或 题型三 动点形成的相似问题角度7： 动点横竖型相似问题例题7： 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像经过点、（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与相似，试求点E的坐标解析：（1）过点、， 当时，点在二次函数的图像上（2）二次函数的对称轴为直线 点E在对称轴上，且对称轴平行y轴，又，易得，从而若以点C、D、E为顶点的三角形与相似则有以下两种情况：）当时，即，解得：点E的坐标为）当时，即，解得：点E的坐标为综上点E的坐标为或变式9： 如图，已知在中，经过这个三角形重心的直线，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作，垂足分别为点M、F、G，设，四边形AFPG的面积为y（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结MF、MG，当与相似时，求BM的长解析：（1）过点A作，垂足为点H，交DE于点Q，又，Q是的重心，（2）延长FP，交BC于点N，于是，由，得又由，得，四边形AFPG是矩形，即所求函数解析式为定义域为（3）四边形AFPG是矩形，由，可知，当与相似时，有两种情况：或（）如果，那么即得解得即得（）如果，那么即得解得，即得或当与相似时，BM的长等于或或】角度8： 动点斜线型相似问题例题8： 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，该函数图像的对称轴与直线、分别交于点和点（1） 求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2） 求证：；（3） 如果点在直线上，且与相似，求点的坐标解析：（1）由题意，得解得所求二次函数的解析式为对称轴为直线（2）证明：由直线OA的表达式，得点C的坐标为，又，（3）解：由直线OB的表达式，得点D的坐标为由直线AB的表达式，得直线与x轴的交点E的坐标为与相似，或（i）当时，由，得点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合点P的坐标为（ii）当时，由，得而，又，作轴，垂足为点H，轴，垂足为点F，而，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为或角度9： 二次相似问题例题9： 如图，在中，是斜边上的中线，点是延长线上的一动点，过点作，交延长线于点，设（1）求关于的函数关系式及定义域；（2）联结，当平分时，求的长；（3）过点作交于，当和相似时，求的值解析：（1）在中，是斜边上的中线，即 ，定义域为（2）过点作，垂足为平分，垂足为（3）， 当和相似时，可得和也相似分两种情况：1)当时，在E中，解得；2)当时，在中，解得；综合或角度10： A-A相似问题例题10： 如图，已知等边的边长为6，点D是边上的一个动点，折叠，使得点恰好与边上的点D合，折痕为（点、分别在边AB、AC上）（1）当时，求的长：（2）当时，求的值；（3）当以、为顶点的三角形与相似时，求的长解析：（1）是等边三角形，.由题意可知，.学&科&网Z&X&X&K，.又，.，.方法，.设，则由知，.设，则.即整理，得，解得，即.方法，（相似三角形的周长的比等于相似比）.又，.解得：.方法过点E作，过点D作设，依题意易得，.在中，在中，易证，.进而可得，整理，得（1）在中，依据勾股定理可得（2）整理（2），并将（1）代入（2），可得.解得（不合题意，舍去）.即.（2）当时，如图.过点作，垂足为.，.在中，在中，在中，.（3）分两种情况讨论：当以、为顶点的三角形与相似，顶点、分别与、对应时，可得.，.易得、是四个边长相等的等边三角形.当以、为顶点的三角形与相似，顶点、分别与、对应时，可得.又，.易得、四个边长相等的等边三角形.综上所述，当以、为顶点的三角形与相似时，巩固7： 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为，与y轴交于点，顶点为D（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；（2）联结AC、BC，求的正切值；（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当与相似时，求点P坐标解析：（1）抛物线过点，顶点D的坐标为（2）抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左侧）又，；过点A作，垂足为H，（3）抛物线的对称轴为直线点P是抛物线对称轴上一点，可设点P的坐标为把对称轴直线与x轴的交点记为E，则点E的坐标为，；当与相似时，点P在点D的上方，并存在以下两种情况：1)2)综上所述，当与相似时，点或巩固8： 如图，二次函数的图像经过点.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为的形式，写出其顶点坐标；（3）在线段上是否存在点（不含、两点），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解析：（1）由题意得：，解得：.此函数解析式为.（2）.顶点为.（3）假设存在点，使与相似，则或.当时，.（不合题意，舍去）当时，.由题意易得直线的解析式为：，设，其中，则.解得：（舍去）.巩固9： 如图，已知梯形ABCD中，点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经过BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E（1）当时，求BP的长度；（2）当点E落在线段CD上时，设，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；（3）联结PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，试求BP的长度解析：（1）根据已知，得，法一：即时，法二：即时，（2）延长PE与AD的延长线交于点F， ，即，点E在线段CD上，函数定义域为<8（3），若与，则有如下两种情况：（）时，推出时，；（）时法一：又，解得，经检验，均符合题意故时，；BP为2，时，与相似法二：过点D作于点H，解得经检验，均符合题意故时，；当BP为2，时，与相似题型四 动点形成的等腰三角形问题角度11： 代数法解决动点等腰三角形问题例题11： 如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接、，试判断与是否相似？并说明理由；（3）为抛物线上之间一点，为线段上的一点，若轴，求最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线的解析式为，对称轴方程为直线（2） 在和中，（3）当时有最大值（4）抛物线的对称轴方程为，可设点，则有：；，当时，有，解得当时，有，无根，不能构成等腰三角形；当时，有，解得，点坐标为综上所述，点的坐标为】变式10： 如图，已知，点P是内一点，垂足为点C，A是OC延长线上一点，联结AP并延长与射线交于点B（1）当点P恰好是线段AB的中点时，试判断的形状，并说明理由；（2）当的长度为多少时，是等腰三角形；（3）设，是否存在适当的，使得，若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由解析：（1）是直角三角形 （2）的值为时，是等腰三角形（3）角度12： 三线合一与锐角三角比法解决动点等腰三角形问题例题12： 如图，已知矩形中，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点；（1）求证：；（2）设，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）当为等腰三角形时，求的长；解析：（1）略（2）定义域为；（3）的长为角度13： 相似转化解决动点等腰三角形问题例题13： 如图，抛物线经过点，且与x轴交于点A、点B，若（1）求此抛物线的解析式（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），射线PQ与线段BM交于点Q，当为等腰三角形，求点P的坐标【答案：（1）（2）坐标为或变式11： 已知在梯形中， （1）求证：；（2）若点在线段上运动，与点不重合，联结并延长交的延长线于点，如图2，设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点在线段上运动，与点不重合，联结交于点，当是等腰三角形时，求的值解析：（1）略；（2）定义域是：；（3）巩固10： 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a0）经过点两点，顶点为C（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D，当是等腰三角形时，求点D的坐标；（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针旋转90得到线段，若点恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P的坐标 解析：（1）表达式为顶点的坐标为（2）的坐标为（，）（3）（，）巩固11： 如图，梯形中，对角线，点是边上的一个动点，交于点，交延长线于点，设（1）试用的代数式表示（2）设，求关于的函数关系式，并写出定义域（3）当是等腰三角形时，直接写出的长解析：（1）；（2）（3）题型五 动点形成的直角三角形问题动点直角三角形问题，一般都需要讨论哪个角是可能构成直角，然后根据题型，运用不同的方法如下为总结的四种方法：1. 先讨论哪个角是直角，然后第一类用一线三直角构造相似求解，分别用未知数的式子表示出一线三直角模型的边长；2. 用边角边，即两边对应成比例夹角相等，一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似，需要求出已知直角三角形的边长，以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长，通过对应边成比例建立等式；3. 利用三角比来求解，实际上这个和上面一种情况类似，但是动点构成的直角三角形中，某个锐角的三角比已知，这样，直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式；4. 第四种方法就比较简单粗暴了，就是把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子，或者直接是数字表示出来，用勾股定理建立等式，求解出未知数角度14： 动点直角三角形之一线三直角问题；例题14： 已知如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的右侧），与轴交于点，（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为，求四边形的面积；（3）设抛物线上的点在第一象限，是以为一条直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标解析：（1）当时，在中，点 把 分别代入，得：得解得：该抛物线表达式为（2），顶点 （3）点E的坐标是或角度15： 动点直角三角形之SAS问题例题15： 已知：如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，（点A在点B的左侧）且满足设抛物线的对称轴与x轴交于点M（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）联接，点Q是射线上的一个动点，当与相似时，求直线AQ的解析式 解析：（1）根据题意：，把点A代入得 解得抛物线的解析式，（2）根据题意得：，直线CM： （i）当时， ，即 ，AQ：（ii）当时， ，同理Q（）AQ：变式12： 如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点（1）求和的长；（2）当时，求的长；（3）联结，当和相似时，求的长（备用图）解析：（1）在中，设，（2）过点作，垂足为易得设，即化简，得解得（负值舍去）（3）过点作，垂足为易得设，当和相似时，有两种情况：；，即，解得；即，解得，综合、，当和相似时，的长为或角度16： 动点直角三角形之三角比问题例题16： 已知：如图，在中，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且设、两点的距离为，的面积为（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当与相似时，求的面积解析：（1），（2）由，得，作，垂足为点H，又，即定义域是另解：由，得，即定义域是（3）由，得，当与相似时，只有两种情形：或（i）当时，