专题29《函数与圆》.doc

专题29函数与圆破解策略 直线与圆位置关系的解题策略： （1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题； （2）联立直线方程和圆的方程构成方程组，通过该方程组的解来解决问题； （3）利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解决问题； （4）构造相似三角形，列比例式解决问题例题讲解 例1 如图，直线l：yx4与x轴、y轴分别交于点A，B，O的半径为1，C是y轴正半轴上的一个点，如果C与D相切，又与直线l相切，求圆心C的坐标解 如图1，过点C作CDAB于点D易证CDBAOB所以设CD 3m，BC5m，则点C的坐标为（0，45m），C的半径为3m所以O与C的圆心距为dOC45m如图2，当两圆外切时有3m145m，解得m，此时圆心C的坐标为（0，）如图3当两圆内切时，有3m145m解得m此时圆心C的坐标为（0，），综上可得，符合满足题意的圆心C的坐标为（0，）或（0，）例2 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（2，2），都是梦之点，显然梦之点有无数个点Q是反比例函数y上异于点P（2，2）的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，tanOAQ1已知点M（m，3）若O的半径为，在O上存在一点N，使得直线MNl或MNl，求出m的取值范围解 因为tanOAQ1所以OAQ45，由已知MNl或MNl，所以直线MN为yxb或yxb若MN为yxb时，将点M的坐标代入，可得mb3 （i）如图，当直线MN平移至与O相切，且切点在第三象限时，b取得最小值 此时MN记为M1N1，其中N1为切点，T1为直线M1N1与y轴的交点， 显然OT1N1为等腰直角三角形， 所以OT1ON12， 所以b的最小值是2 所以m的最小值是5 （ii）如图，当直线MN平移至与O相切，且切点在第一象限时，b取得最大值此时MN记为M2N2，其中N2为切点，T2为直线M2N2与y轴的交点，同理可得b的最大值为2，m的最大值为1所以m的取值范围为5rn1，若直线MN为yxb同理可得m的取值范因为1m5综上所述，m的取值范围为5m1或1m5例3 设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rdR的点叫做等边三角形的中心关联点在平面直角坐标系xOy中，等边ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（，1），C（，1）（1）如图1过点A作直线交x轴正半轴于点M，使AMO30若线段AM上存在等边ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围； （2）如图1，将直线AM向下平移得到直线ykxb，当b满足什么条件时，直线ykxb上总存在等边ABC的中心关联点？ （3）如图2，Q为直线y1上一动点，Q的半径为，当点Q从点（4，1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得Q上所有点都是等边ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由 解 （1）由AMO30可得AM2OA4，OMOA2 如图3过点O作OHAM于点H 易求OHOM， 即AM与外接圆相交，与内切圆相离，记AM与外 接圆的另一个交点为G 连结OG，则OAG为等边三角形， 所以ACOGAM， 即G为AM的中点， 所以点G的坐标为（，1） 显然AG上的点都是ABC的中心关联点， 所以0M（2）直线AM向下平移的过程中，只要与ABC的外接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线 ykxb上就存在等边ABC的中心关联点 如图4，直线IJAM，且与ABC的外接圆相切 于点K，此时为直线ykxb的临界状态 连鲒OK，则OK2 所以OJ， 所以b2 （3）存在符合题意的t的值为4或4 如图5，当点Q移动到Q1Q2住置时即Q内切 圆环时，Q上所有点都是等边ABC的中心关联点 连结OQ1，OQ2， 则OQ1OQ2 令直线y1与y轴的交点为L，则OL1 所以Q1LQ2， 所以，进阶训练1在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x1，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）（1）求抛物线的表达武；（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径答案：（1）抛物线的表达式为；（2）满足条件的圆有2个，其半径为或【提示】（2）令点M在点N的左侧，设圆的半径为r，则xNr1，yNr24，若以MN为直径的圆与x轴相切，则，解得，如图，满足条件的圆有两个，其半径为或2在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B旋转90，分别得到线段BP1，BP2，称点P1，P2为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图 图1 图2（1）已知点A的坐标为（0，4），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，求y与x之间的关系式；（2）如图2，点C的坐标为（3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出点A纵坐标m的取值范围答案：（1）yx4；（2）5m1或1m5【提示】（1）如图，分别过点P1，P2向x轴作垂线，垂足分别为M、N，对于伴随点P1（x，y），有AOBBMP1，所以BMOA4，OBMP1y，所以BMOBOMyx4，即yx4，对于伴随点P2（x，y）有AOBBNP2，所以BNOA4，OBNP2y，所以BNONOBxy4，即yx4（2）点A（0，m），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，则y与x之间的关系式为yxm，或yxm，所以C与直线yxm，yxm的位置关系为相交或相切，相切时的位置关系如图所示当yxm与O相切时，得m5或1，当yxm与O相切时，得m5或1，所以5m1或1m5 3在平面直角坐标系xOy中，绐出如下定义：对于C及C上两点M、N，当MPN最大时，称MPN为点P关于C的“视角” 图1 图2（1）如图1，O的半径为1，若点P在直线上，且点P关于O的“视角”大于60，求点P的横坐标xP的取值范围；（2）如图2，C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，1），若线段EF上所有的点关于C的“视角”都小于120，求点C的横坐标xC的取值范围答案：（1）0xP；（2）xC或xC【提示】（1）因为点P关于O的视角为60时，点P在以O为圆心，2为半径的圆上，而点P关于O的“视角”大于60，所以点P在以O为圆心，1位半径和以O为圆心，2为半径的圆环内，因为点P在直线上，如图，则半径为2的圆与直线的交点为临界点，此时xP0或，所以0xP（2）因为关于C的“视角”小于120，所以该点在以C为圆心，为半径的圆外，所以xC或xC 6