【初中数学解题技法】半角模型.docx

半角模型 模型 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形已知如图：2=AOB，OA=OB。连接FB，将FOB绕点O旋转至FOA的位置，连接FE、FE，可得OEFOEF。基本模型（1）正方形内含半角如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，求证：EF=BE+DF。 基本模型（2）等边三角形内含半角基本模型（3）等腰直角三角形内含半角模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90含45，120含60。核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，求证：EF=BE+DF. 变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若ECF的周长是2，求EAF的度数? 变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，AGEF，求证：AG=AB. 综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：.MAN=.AM、AN分别平分BMN和DNM. 练习 1、 如图，在四边形ABCD中，AB=BC,A=C=90，B=135，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN的周长是AB的2倍，求KDN的度数？ 2、 已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF=BAD，（1） 求证：EF=BE+FD（2） 如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。 4、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180求证：AD平分CDE. 5、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积 6、如图1在四边形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且BAD=2EAF（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系 7、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1求BPC的度数 半角模型条件：思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ） 结论：MN=BM+DN AM、AN分别平分BMN和DNM（2） 对称（翻折） 思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（B+D=且AB=AD）例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：.MAN= . .AM、AN分别平分BMN和DNM. 思路同上略. 例1拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH. 提示如图： 例2.在四边形ABCD中，B+D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证： 提示：练习巩固：如图，在四边形ABCD中，B=D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF. 提示：