42、反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用.doc

反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。三条结论分别是：结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。如图，即ABCD。证明：根据平行线带来的等面积转换，SACD=SACO=k/2=SBDO=SBDC，即A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故ABCD。结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。如图，即EA：AC=EB：BD证明：连AB，CD，由结论一有ABCD，根据相似知识显然结论二成立。结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。如图，即AE=BF证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。连接CD，由结论一有ABCD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到ACEFDB，AE=BF。至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。今天要讲的内容：后来才发现， 反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。有如下结论（个人称为等角模型）：结论四：双曲线一支上任取两点A，B，在围着双曲线该支所在象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：DCO=BCx，CDO=ADy证明：过A向y轴作垂线段垂足E，过B向x轴作垂线段垂足F，连接EF。由结论一，有EFCD，则CO：OD=CF：ED。由全等知AEDCFB，ED=BF，即有CO：OD=CF：BF，CODCFB，DCO=BCx，CDO=ADy。结论五：双曲线一支上任取两点A，B，在在围着双曲线该支所在象限对顶的象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：ADO=CDO，BCO=DCO，若AD交y轴于F，BC交x轴于E，则四边形CDFE为菱形。证明：过A作x轴平行线，过D作y轴平行线，两者交于G，AG交y轴于I；过C作x轴平行线，过B作y轴平行线，两者交于H，BH交x轴于J；连接IJ。易知AGDCHB，DG=BH。根据结论一，有CDIJ，则OD：OC=OJ：OI=CH：DG=CH：BH，则ODCHCBDCO=CBH=BCO，ADO=CDO。有等角后易证CDFE是菱形，略。结论六：双曲线一支上任取A，B两点，BO直线交双曲线另一支于C，则AB直线，AC直线关于x轴和y轴的夹角都相等，即ADE=AED，AFG=AGF。由此还有一堆线段相等，如AF=AG=DC=BE，AB=DG等。证明：过A作y轴垂线段垂足为H，过C，B作x轴垂线段垂足分别为I，J。连IH，JH。由双曲线中心对称性质知CO=OB，则CIOBJO，CI=BJ。由结论一知，四边形ICHG与BJHF均为平行四边形，则CI=HG，BJ=FH，又CI=BJ，HG=HF，AFG=AGF，ADE=AED，进而推出一系列等边关系。有意思的是，结论四五和结论六可以统一在一个图里，能挖掘出许多有意思的东西。篇幅关系不再详细描述。我们来看一看结论四五六在中考中的应用：2011年武汉中考填空16题（填空压轴题）解：先用面积思想得到AD=3AE。再用结论五知DAO=BAO，AE=AB，过D作DF垂直x轴，ADFABO，AF=3AO=3，DF=3OB=6，直接得到D坐标（2,6）及k值12.2013年武汉中考数学填空15题解：作C关于y轴垂线段CE，根据结论四，ABO=CBE，ABOCBE，则BE=2BO=4，CE=2AO=2，则C（-2,6),k=-12。2015年常州中考数学28题（压轴题）解：（1）略。（2）即结论六，略。（3）根据结论六，有PMN=PNM，QCD=QDC则PAQ=PMN-MCA=PMN-QCD，PBA=DBN=PNM-QDC，PAQ=PBQ。这个也算一种等角模型了。