北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析(9页).doc
-北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析-第 9 页七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.CBOD图7AEBAODCE图82.已知:点C为线段AB上一点，ACM,CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.求证：AN=BM求AOB的度数。若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQAB。（湘潭·中考题）ABCMNOPQ同类变式：已知，如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；CENDABM图CAEMBDN图（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABGADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°BAE180°），设ABE的面积CFGEDBAH为，ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接（1）求证：；（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证：（1）AECD；（2）若AC12cm，求BD的长考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2.如图，在等腰RtABC中，ACB=90°，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接AF，试判断ACF的形状.拓展巩固：如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDEABCDEF图9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3.如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，的边BC在直线上，且的边也在直线上，边与边重合，且（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2） 将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q,连结,你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.l(1)AB(F)(E)CPABECFPQ(2)lABECFPl(3)Q三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图，中，是中点，与交于，与交于求证：，2. 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结试判断的形状，并说明理由压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3. 已知：如图，ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)BF=AC(2)CE=BF(3)CE与BC的大小关系如何。考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F.如图141，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；请证明你的上述两猜想.如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2.在RtABC中，ACBC，ACB90°，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明图1图2（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时猜想AE与EF满足的数量关系是.连结点E与边得中点，猜想和满足的数量关系是.请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？E四、角平分线问题1.如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分DAB和CBA,AEB=90°,设AD,BC，且满足（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；ACBDE（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？4.如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.5、在ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，AD=BD，求证：CDAC6、如图，已知在ABC中，BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CEBD于E（1）若BD平分ABC，求证CE=BD；（2）若D为AC上一动点，AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。7已知：如图E在ABC的边AC上，且AEB=ABC。(1) 求证：ABE=C；(2) 若BAE的平分线AF交BE于F，FDBC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。五、中点问题1.在ABC中,为的中点，过点的直线交于,交的平行线于点。,并交于点.连结.（1）求证:；（2）请猜想与的大小关系,并加以证明2. 如右下图，在中，若，为边的中点求证：3. 已知中，为的延长线，且，为的边上的中线求证（提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点探究：与的位置关系及数量关系如图当为直角三角形时，与的位置关系是；线段与的数量关系是；将图中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由6、问题：已知中，点是内的一点，且，探究与度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当时，依问题中的条件补全右图观察图形，与得数量关系为_；当推出时，可进一步推出的度数为_；可得到与度数的比值为_（2）当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明8、(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90°.求证：BECF.(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90°,EF4.求GH的长.(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90°,EF4.直接写出下列两题的答案：如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
