高中数学备考——一元三次方程讲练故事.doc

2021高中数学备考一元三次方程讲练故事听说解不开一元二次方程的两个根的人无法寻找到自己的另一半。一元二次方程真的和少男少女们心灵碰撞了好多年，那熟悉的二次三项式轮回轰炸，又有多少青少年从解一元二次方程的枪林弹雨中能够冲过来，于是那些女生们善于直接开方法、公式法走出了困境，那些男生们享用因式分解法、配方法登上山峰，虽然都很艰难，但都做出了像样的努力，从这座山走到了那座山.可是一元三次方程是一座高高的山，能登上山的人却是很少的几个人。那座高高的山，就是那一元三次方程，比那一元二次方程只是多了一个次幂，只是多了一个三次项，可是它的解法好难好难。就像大峡谷中的悬崖古寨，在四周开阔之处兀然伫立，比河谷高出一二百米。相比一元二次方程，一元三次方程的求解像一个非常险要的地形，几乎让人们望而生畏。那标准型的一元三次方程是这样的：aX3+bX2+cX+d=0（a，b，c，dR，且a0），现在流传的解法只有：1.意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2.中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。你想看看他们的解法吗？卡尔丹开始将三次四项式化为一元三次方程：x3+px+q=0。它的解是：如果按照标准型的方程直接求解，那么标准型方程中卡尔丹公式的一个实根是：X=+居然这么复杂，你想记住它吗？在你记一元二次方程求根公式时，是否有过为难情绪？现在让你来记住一元三次方程求根公式，你会怎么想啊？原来一元二次方程求根公式是那样的美，那样地简单，不比不知道，一比吓一跳吧。1545年，意大利学者卡尔丹（Cardano G.，1501-1576年）所著的关于代数的大法中给出了一元三次方程x3+px+q=0，(p，qR)的求根公式，对标准型的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0，(a，b，c，dR，a0)，则可做变量代换化为x3+px+q=0进行求根。可是发现此公式的真正的人是塔塔利亚，塔塔利亚曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。许多资料都记述过塔塔利亚与卡尔丹在一元三次方程求根公式问题上的争论，但是卡尔丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现；而且证明过程是卡尔丹自己给出的，说明卡尔丹也做了工作。卡尔丹把求根公式公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。一元三次方程应有三个根，塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。解一元三次方程还可以用我们中国的盛金公式求解，算法高效且求出来的解精确。八十年代，中国中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更适用的新根公式盛金公式，并建立了简明的、直观的、使用的新判别法 盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解一元三次方程的疑惑问题，并且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式和总判别式来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。我们一起来欣赏一下。一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，(a，b，c，dR，且a0)。重根判别式：A=b23ac；B=bc9ad；C=c23bd，总判别式：=B24AC。总判别式居然和一元二次方程的判别式一样，是不是有一种老朋友相见的情趣。有了判别式我们可以分类给出方程的解。1.条件一：当A=B=0时，方程有一个三重实根：X=X=X=。2.当=B24AC>0时，方程有一个实根和一个共轭虚根：X=(b)；X(2，3)=(2b+)i()，其中Y(1， 2)=Ab+，i2=1。3.当=B24AC=0时，方程有三个实根，其中有一个为两重根：X=+K；X=X=K，其中K=，(A0)。4.当=B24AC<0时，方程有三个不相等的实根：X=(b2cos)；X(2，3)=b+(cossin)，其中=arccosT，T=(2Ab3aB)，(A>0，1<T<1)可见登上一元三次方程的求解山顶确实很难，无论是1545年的意大利的卡尔丹公式法，还是1989年中国学者范盛金发表的盛金公式法，都是经过了艰难的探索才在高高的古寨里凿出一条通道来。那么一元三次方程的古寨再有没有人们探索的足迹？那个高高的山顶可不可以多几条通道让人们登攀。探索的一种新的求解方法，独特而新颖，我们称为一元高次方程的“万高通道方法”，显然，这个方法是我们在攀登一元三次方程那座高山的时候，为你找到了上山的另外一个通道。万丈高楼平地起，盘龙卧虎高山顶，我们的“万高通道方法”既有这首歌词的意境，又有两位作者名字的纪念。是的，我们要寻找出一条从山底走向山顶的通道。我们首先给出一句话，让你有一个大体的了解，我们求解一元二次方程，需要从一元一次方程着手，求解一元三次方程，需要从一元二次方程着手，求解一元k次方程，需要从一元k-1次方程着手，这层层而上的求解过程，令人拍手称快。大家一定想看看吧。我们需要特别指出，原来一元一次方程和一元二次方程存在一个通道，一元二次方程和一元三次方程也有一个通道，当你把每一个通道都贯穿了，我们就能登上那美丽的古寨顶端来欣赏风景。一、一元一次方程和一元二次方程的通道：我们从一元一次方程和一元二次方程谈起，这是你熟悉的领域吧。我们来求解一个方程：x2-5x+6=0，这个二次方程我们可以不去解它，我们来找一个一次方程来解吧，x-y=2.5，这样就得到了x=y+2.5，把这个一次式子代入x2-5x+6=0，得（y+2.5）2-5（y+2.5）+6=0，很有意思是我们得到一个简洁的式子：y2=0.25，显然y1=+0.5，y2=-0.5，这样代入x=y+2.5，x1=0.5+2.5=3，x2=-0.5+2.5=2。是不是太有意思了，我们只是开了一次方，似乎只求解一次方程就解决了问题。对于一般式ax2+bx+c=0，我们可以通过x=y-来替换，就可以获得一个y2=d的方程，开方后，代入x=y-我们就得到了方程的根。我们这里说的一元一次方程和一元二次方程的通道就是：x=y-。二、一元二次方程和一元三次方程的通道：这是一个未知数为x的三次方程：x3-3dx-b=0，这是一个未知数为y的二次方程：y2+by+d3=0，它们两个方程中的系数b和d表示的是同一个数。我们的思路是，从原三次方程x3-3dx-b=0中得到b和d的值，然后求解一个二次方程y2+by+d3=0。求得y的两个解后y1、y2，对y1、y2分别开立方，就得到m与n的值，那么由求解通道公式：x=-(m+n)所得到的x就是一元三次方程的一个解。很奇妙吗？你不相信吗？我们来具体解一下。我们来看一道题：例1：求解一元三次方程：x3-6x-9=0解：由于-3d=-6，即d=2，d3=8，-b=-9，即b=9，我们先求一个一元二次方程：y2+9y+8=0，可得（y+8）（y+1）=0，得y1=-8，y2=-1，分别对两个根开立方得到m=-2，n=-1，我们可利用求解通道：-(m+n)=x，得到x=-(-2-1)=3，3就是一元三次方程：x3-6x-9=0的解，我们来验证一下，33-63-9=0。可知3确实是方程x3-6x-9=0的解。为什么可以这样做呢？简直像变戏法。我们来讲一下原理。现在我们抛开一元三次方程不管，来看看我们发现的几个新关系式：(1)M+N=-A；(2)M2+N2=A2-2B；(3)M3+N3=-A3+3AB。我们再设定：(4)b= -(M3+N3)；(5)d=MN=B；(6)d3=(M3)(N3)。于是由(3)、(4)、(5)进行推算得：(7)A3-3dA-b=0。综合(4)、(6)又可以得到：(8)(M3)2+bM3+d3=0。我们立即看到，(7)A3-3dA-b=0就是是一个一元三次方程，用x替换A，那么这个式子就是一元三次方程x3-3dx-b=0。对于(8)(M3)2+bM3+d3=0，它事实上是一个一元二次方程。我们令y=M3，那么原式就变为:y2+by+d3=0，显然它是一个关于y的一元二次方程。一元二次方程y2+by+d3=0的两个解为y1、y2，我们设定y1=M3、y2=N3可以用下式获得：M3=， N3=。再得M和N：M=。N=。而x=-(M+N)，就是一元三次方程x3-3dx-b=0的一个母体解。就这样，一元3次方程(7)与一元2次方程(8)，就构成了一个奇妙的通道：x=-(M+N)。我们应当清楚，当我们知道一元三次方程x3-3dx-b=0的一个解x=-(M+N)后，另外两个解就可以通过分解因式求解，显然有（x+M+N）（x2+px+q）=0，所以剩下的是再解一个一元二次方程x2+px+q=0即可。特别指出：估计一元3次方以上的方程，都只能得出一个母体解，再使用其它方法，从母体解析出存在的实数解。不可以像一元2次方这样，使用根号的代数解，直接得出方程中或者存在的实数解。因此，以下的举例，是使用最简捷、最容易看懂的方法：逆向操作实数解，完成解释一元2次方程和一元3次方程的通道(M+N)= -x。作为刚才探索过程中的实例，我们来看看以下例题的演算过程，你可以从这些演算步骤中感受这个奇妙通道的经典过程。例2：作为例子，我们随意确定M= -3， N=11。得x= -(M+N)= -(-3+11)= -8。b= -(M3+N3)= -(-33+113)= -1304。d=(M)(N)=(-3)11= -33。由x3-3dx-b=0得：(-8)3-3(-33)(-8)-(-1304)=0。由(M3)2+b(M3)+d3=0，代入M=-3得：(-33)2+(-1304)(-33)+(-33)3=0；由(N3)2+b(N3)+d3=0。代入N=11：(113)2+(-1304)(113)+(-33)3=0很明显，x= -(M+N)= -(-3+11)= -8，是方程x3+99x+1304=0和方程y2-1304y-333=0的一个通道。到这里，我们对一元三次方程的“万高通道方法”有了一个全面的认识，我们意犹未尽，我们最后再来解一个一元三次方程。例3：求一元三次方程x3-18x+35=0的解。解：比较x3-18x+35=0与x3-3dx-b=0，显然我们得到b=-35，d=6。由y2+by+d3=0得到y2-35y+216=0，解这个一元二次方程得:(y-27)(y-8)=0，即就是y1=27，y2=8，而此时m=3，n=2；那么x=-（3+2）=-5，就是x3-18x+35=0的一个解，有了这个解我们很容易得到下列分解式子：x3-18x+35=（x+5）（x2-5x+7），于是我们再求解方程x2-5x+7=0即可，由于b2-4ac=25-28=-3<0，所以x2-5x+7=0没有实数解。感受如何，我们通过一元二次方程和一元三次方程的通道使我们登上了古寨高峰，有一种心旷神怡的感觉。“高次方程的万高通道方法”是解决所有高次方程的奇妙通道，于是我们几乎可以从一次方程的第一个台阶走起，经过二次方程、三次方程，一直可以走到999次方程那样高的山峰上，如果你愿意与我们相伴，我们以后将逐渐介绍其它各次方程的通道，那些通道一个比一个精彩，美轮美奂，我们就以此作为旅程的出发点吧，登攀古典的一元k次方程的古寨的旅程我们已经出发了。