小四数学第2讲图形计数(教师版)-马甸路海涛.docx

第二讲 图形计数 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯一：简单图形计数的方法。二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。例（1） 数出右图中总共有多少个角 分析：在AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即AOC3、C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即AOB），所以AOB内总共有角：432110（个）解： 432110（个）答：图中总共有10个角。 例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：在ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） 在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答： 在ABC中共有线段60条，共有三角形30个。例（3）数一数图中长方形的个数分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.解： 共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个） 答：共有长方形90个。例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.以一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）.以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.以三条基本线段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）.以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）.以五条基本线段为边的正方形个数共有： 2×1=2（个）.解： 正方形总数为： 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）例（5）数一数图中三角形的个数 分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.以一条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W上=1+2+3+4=10（个）.尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W下=1+2+3=6（个）.以两条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W上=1+2+3=6（个）.尖朝下的三角形只有一个，记为W下=1（个）.以三条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W上=1+2=3（个）.尖朝下的三角形零个，记为W下=0（个）.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。例（6）数一数图中一共有多少个三角形？分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如ABD、ADC、ABC、DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：.在小矩形AEOH中：由一个三角形构成的有8个.由两个三角形构成的三角形有5个.由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.由三个小矩形占据的部分图形中，如ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）答： 图中一共有100个三角形。A一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?答案： 一共有321个. 解: 上横大长方形内有长方形: (8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(个); 下横大长方形内有长方形: (762)(322)=63(个); 竖大长方形内有长方形: (542)(762)=210(个); 中间重复的长方形共有: (542)(322)2=60(个). 图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).2.右图一共有( )个长方形?答案： 一共有64个.3.右图一共有( )个长方形？答案： 一共有107个. 解: (1+2+3+4)(1+2+3)=60(个);(1+2+3)(1+2+3)=36(个);1+2=3(个); (1+2)4+2=14(个); 图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).4.右图一共有( )个正方形？答案： 一共有18个. 解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个. 因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).5.右图一共有( )个长方形？答案：一共有79个. 解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)´(3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形: (3+2+1)´(3+2+1)=36(个).在两个长方形中增加的长方形有:8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).(6)6.右图一共有( )个平行四边形?答案：右图一共有(150)个平行四边形. (542)(652)=150(个). 点金术:与算平行四边形的方法一样.(7)7.右图一共有( )个梯形？答案： 一共有(90)个. (652)(432)=90(个).8.右图一共有( )个正方形？答案： 一共有(55)个. 解:分类进行统计,得 边长为1的正方形有55=25(个); 边长为2的正方形有44=16(个); 边长为3的正方形有33=9(个); 边长为4的正方形有22=4(个); 边长为5的正方形有11=1(个).图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).9.右图一共有( )个正方形?答案：一共有60个. 解:分类进行统计,得 边长为1的正方形有47=28(个); 边长为2的正方形有36=18(个); 边长为3的正方形有25=10(个); 边长为4的正方形有14=4(个).图中共有正方形: 47+36+25+14=60(个).10.右图一共有( )个正方形?答案：右图一共有(110)个正方形. 解: 图中是一个410方格,其中正方形的个数是: 410+39+28+17=90(个); 图中是一个46方格,其中正方形的个数是:46+35+24+13=50(个);在上面的两项统计中,内的正方形被重复计算了一次,应该扣除.因是44方格,其中正方形的个数是:44+33+22+11=30(个). 所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).二、解答题: 11.下图共有几个正方形?答案：一共有95个. 解: 中间部分的正方形有:52+42+32+22+12=55(个); 上、下部分的正方形有: (4+2+1)2=14(个); 左、右部分的正方形有: (9+2+2)2=26(个). 共有正方形: 55+14+26=95(个). 12.下图共有几个正方形?答案：共有46个. 解: 正摆着的正方形有: 43+32+21=20(个); 斜摆着的正方形有:.最小的正方形有17个;.由4个小正方形组成的正方形有8个,.由9个小正方形组成的正方形有1个. 图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).13. 在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?答案：至少有160个. 解: 因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形: 100+100-40=160(个).14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?答案：最多有7个. 解: 最多有7个正方形.摆法如右图.B 一、填空题 1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_.答案： 90利用例1和例4公式可直接计算:(5+4+3+2+1)×(3+2+1)=15×6=90(个)注注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不必把正方形分开考虑.2. 下图中有正方形_个,三角形_个,平行四边形_个,梯形_个.答案：3个正方形; 18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.3. 下图中共出现了_个长方形.答案：18根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×(2+1)=9个；然后在图(1)的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)×(2+1)=9个.至此已将图(1)还原为题图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(个). (1) (2)4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_个大小不同的三角形.答案： 16具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16(个).5. 图形中有_个三角形.答案：72把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.含一个基数的三角形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的三角形，共有20个；含八个基数的三角形，共有8个；含十六个基数的三角形，共有4个.因此,整个图形中共有16+24+20+8+4=72(个)三角形.6如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_个.答案： 6图中的三角形可分成两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可以看出,每种三角形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多,尖头向上的三角形要涂红色.每一横排,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个,共有6排,因此,涂红色的比涂蓝色的三角形多6个.7. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）答案： 最大边为7时,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边为6时，另两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为5时,可构成1个(5+5)不同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.C1. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_个小立方体.答案： 38将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.2. 下图中共有_个正方形.答案：105单独的一个4×4的方格中有12+22+32+42=30个正方形,两个4×4的方格如原图重叠后,重叠部分有5个正方形.所以原图中一共有30×4-5×3=105个正方形.3. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_种不同的放置方法.M答案：6根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“3”的纸片时，其余两个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.41M244233 这样圆圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方法.4. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_个方格.答案：19如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多9个交点,共20个交点.如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生10个交点,与竖边至多产生10个交点,共20个交点.20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方格.注穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情况,归纳出一般的规律,从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!5. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?答案： 由三角形的一边为11厘米,及其他边长必为1,2,.，11厘米，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知两边之和应介于12厘米和22厘米之间（包含12厘米和22厘米）.这样,共可围成36个不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以围成36个不同的三角形.6. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?答案：为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是×2×3=3.所求的三角形可分两种情形:(1)三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有2×4×4=32(个)；(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个).因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)7. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?答案：最多可以穿透7个小立方体.1：数一数右图中总共有多少个角？ 答案: 总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）2：共有多少个三角形？ 答案: 183：数一数图中长方形的个数 答案: 904：下图共有几个正方形? 答案: 105：数一数图中三角形的个数 答案： 246：数一数图中一共有多 答案： 35 个 一、填空题 （每小题5分）1、.下列图形各有几条线段 ( )条 ( )条 ( )条 答案：有10条, 有15条, 有21条.2、 一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.答案：50492=1225(条).3、数一数下图共有( )条线段. ( )条. ( )条.答案：36; 27.4、下图中各有（ ）个三角形.