学年新教材高中数学课时素养评价二十五函数奇偶性的应用新人教B版必修第一册.doc

课时素养评价二十五函数奇偶性的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)1.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是()A.f(-3)>f(-1)B.f(0)<f(5)C.f(-1)<f(3)D.f(2)>f(0)【解析】选AC.因为f(x)为偶函数，所以f(-3)=f(3)，f(-1)=f(1)，又f(3)>f(1)，所以f(-3)>f(-1)，f(3)>f(-1)都成立.2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=|x|B.y=(x0)C.y=-x2D.y=-x【解析】选D.根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于B，y=，(x0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y=-x2，是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y=-x，是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意.3.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1，且g(x)为R上的奇函数，f(-1)=8，求f(1)=()A.6B.-6C.7D.-7【解析】选B.因为f(-1)=2g(-1)+1=8，所以g(-1)=，又因为g(x)为奇函数，所以g(-1)=-g(1).所以g(1)=-g(-1)=-，所以f(1)=2g(1)+1=2×+1=-6.4.定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(-3)=0，则f(x)<0的解集是()A.(-3，0)(3，+)B.(-，-3)(0，3)C.(-，-3)(3，+)D.(-3，0)(0，3)【解析】选B.因为f(x)是奇函数，且在(0，+)内是增函数，所以f(x)在(-，0)内是增函数，因为f(-3)=-f(3)=0，所以f(3)=0.当x>0时，由f(x)=0=f(3)得0<x<3，当x<0时由f(x)=0=f(-3)，所以x<-3，当x=0时f(x)=0不符合题意，故f(x)<0的解集为(-，-3)(0，3).【加练·固】 已知奇函数f(x)在区间(0，+)上单调递增，且f(1)=0，则不等式<0的解集为()A.(-，0)B.(0，+)C.(-1，0)(0，1)D.(-，-1)(1，+)【解析】选C.根据题意，函数f(x)在区间(0，+)上单调递增，且f(1)=0，则在(0，1)上，f(x)<0，在(1，+)上，f(x)>0.又由f(x)为奇函数，则在(-，-1)上，f(x)<0，在(-1，0)上，f(x)>0，<0或，则有-1<x<0或0<x<1，即不等式<0的解集为(-1，0)(0，1).二、填空题(每小题4分，共8分)5.定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x2+-x，则f(x)=_. 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f=0； 又因为x<0时，f(x)=2x2+-x，f(-x)=-f(x)， 所以x>0时，f(x)=-f(-x)=-2x2+-x； 综上，f(x)=答案：6.设f(x)是定义在-2b，3+b上的偶函数，且在-2b，0上为增函数，则b=_，f(x-1)f(3)的解集为_. 【解析】f(x)是定义在-2b，3+b上的偶函数，所以-2b+3+b=0，所以b=3，所以f(x)是定义在-6，6上的偶函数，且在-6，0上为增函数，所以f(x)在0，6上为减函数，所以由f(x-1)f(3)得：.解得-2x4，所以f(x-1)f(3)的解集为：x|-2x4.答案：3x|-2x4三、解答题(共26分)7.(12分)试探究函数y=1-的性质，并作出函数的图像.【解析】函数的定义域为D=x|x0，从而可知函数的图像有左右两部分.设f(x)=1-，则对任意xD都有-xD，而且f(-x)=1-=1-=f(x)，所以函数f(x)=1-是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称.因为x1，x2(0，+)，且x1<x2时，f(x2)-f(x1)=-=-=，所以=，因为x1，x2(0，+)，所以>0，所以函数f(x)=1-在(0，+)上是增函数，且f(x)<1.列出部分函数值如表所示，描点作图.x123f(x)=1-30再根据函数是偶函数，可得出函数图像如图所示.8.(14分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=.(1)求f(2)的值；(2)证明：y=f(x)在区间(-，0)上是减函数.(3)求f(x)的解析式【解析】(1)根据题意，由函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1+，则f(2)=-f(-2)=-=-；(2)任取x1，x2(-，0)，且x1x2，则f(x2)-f(x1)=(1+)-=-=，所以=-，又由x1-1<0，x2-1<0，可得<0，函数y=f(x)在区间(-，0上单调递减；(3)当x=0时，f(0)=0；当x>0时，-x<0，则f(-x)=1-，由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)，f(x)=-1+=.所以f(x)=(15分钟·30分)1.(4分)函数y=|x-1|的图像是()【解析】选A.根据函数的定义域为x|x0可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x-1|的值恒正可知选项D不正确.2.(4分)若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0，+)上有最大值5，则F(x)在(-，0)上有()A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-3【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x)，因为函数f(x)、g(x)都是奇函数，则h(x)也是奇函数，且F(x)=h(x)+2.因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0，+)上有最大值5，所以h(x)在(0，+)上有最大值3，所以h(x)在(-，0)上有最小值-3，所以F(x)=h(x)+2在(-，0)上有最小值-1.3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的xR，都有f(x+4)=f(x)+f(2)，f(1)=4，则f(3)+f(10)的值为_. 【解析】由f(x+4)=f(x)+f(2)，令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，又f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2)，所以f(2)=0，所以f(x+4)=f(x)，又f(1)=4，所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2)=f(1)+f(2)=4+0=4.答案：4【加练·固】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x0，2)时，f(x)=2x-x2，则f(0)+f(1)+f(2)+f(4 035)=_. 【解析】因为f(x+2)=f(x)，且当x0，2)时，f(x)=2x-x2，所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=f(4 034)=0，f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=f(4 035)=2-1=1，所以f(0)+f(1)+f(2)+f(4 035)=2 017×0+2 018×1=2 018.答案：2 0184.(4分)已知偶函数f(x)在(-，0上单调递减，且f(2)=0，则不等式>0的解集为_. 【解析】根据题意，偶函数f(x)在(-，0上单调递减，则在0，+)上递增，又由f(2)=0，则在(0，2)上，f(x)<0，在(2，+)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在(-，-2)上，f(x)>0，在(0，2)上，f(x)<0，>0或，解得-2<x<1或x>2，即不等式的解集为(-2，1)(2，+).答案：(-2，1)(2，+)5.(14分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时f(x)=-x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意实数m，f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.【解析】(1)当x<0时，-x>0，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)=x2-2x，所以f(x)=；(2)f(m-1)+f(m2+t)<0，所以f(m-1)<-f(m2+t)，又f(x)是奇函数，所以f(m-1)<f(-t-m2)，又因为f(x)为R上的单调递减函数，所以m-1>-t-m2恒成立，所以t>-m2-m+1=-+恒成立，所以t>即实数t的范围为.1.函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=，则f(x)等于()A.B.C.D.【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=以-x代x，式得f(-x)+g(-x)=，即f(x)-g(x)=+得f(x)=.2.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1，aR.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a=1，求f(x)的最小值.【解析】(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时，f(x)为偶函数.当a0时f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，f(a)f(-a)，f(a)-f(-a)，此时， f(x)为非奇非偶函数.(2)因为a=1，所以f(x)=x2+|x-1|+1=当x1时，f(x)=-2，当x<1时，f(x)=x2-x+2=+，故函数f(x)的最小值为.8