二元一次方程(组)与一次函数-教师讲义.docx

青 蓝 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课程主题 二元一次方程（组）与一次函数授课类型T 理解二元一次方程与一次函数的关系C 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解T 能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式授课日期时段年 月 日 A段（8：00-10：00）教学内容 【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系 1.任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）Ax3y=3Bx+3y=3C3xy=1D3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，1）代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x3y=3【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知，和，是二元一次方程的两个解，则一次函数的解析式为（ ）A.、 B、 C.、 D、 【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、 若一次函数的图象与一次函数的图象如图所示，则关于、的方程组的解为 【答案】【解析】找两条直线的交点坐标（1，2）为二元一次方程组的解.【总结升华】两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以它们的交点的坐标就是方程组的解.举一反三：【变式】若方程组的解为 你能说出一次函数与的图象的交点坐标吗？【答案】（，）3、利用图象解方程组 【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解.【答案与解析】解：如图：两条直线的交点为（1，4）所以方程组的解为【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍假设在换水时需要经历“排水清洗灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可【答案与解析】解：（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），清洗该游泳池所用的时间是21510=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t2079，（11t21）【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm40.037.0桌子高度ycm75.070.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b根据题意得解得 y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套当x=39时，y=1.6×39+11=73.478.2，椅子和课桌不配套 【巩固练习】一.选择题1. 将方程全部的解写成坐标（，）的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上ABCD2. 函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有（ ）解. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x2y=2的解是（）ABCD4. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于、的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数与的图象交于轴上一点，则的值为（ ）A4 B4 C D±46. 如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B，能表示这个一次函数所对应的二元一次方程为（）A B C D 二.填空题7把方程x+2y=3化成一次函数的形式：y=_.8. 直线和的位置关系是_,由此可知方程组解的情况为_.9. 如果一次函数和在同一坐标系内的图象如图，并且方程组的解，则，的取值范围是_.10. 已知是方程组的解，那么一次函数y=x和y=82x的交点坐标是_.11. 一次函数与的图象如图，则方程的解是_.12. 如图，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距_千米；（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为_小时；（3）乙从出发起，经过_小时与甲相遇；（4）甲行车的路程s与时间t之间的函数关系式是_三.解答题13方程组的解是什么？两个方程对应的两个一次函数的图象有怎样的位置关系？你能从中悟出些什么？ 14两个一次函数的图象如图所示，（1）分别求出两个一次函数的解析式；（2）求出两个一次函数图象的交点坐标；（3）求这两条直线与轴围成三角形的面积15.甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地逆流而上前往B地甲所乘冲锋舟在静水中的速度为千米/分钟，甲到达B地立即返回乙所乘冲锋舟在静水中的速度为千米/分钟已知A、B两地的距离为20千米，水流速度为千米/分钟，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示（1）求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，与之间的函数关系式（2）甲、乙两人同时出发后，经过多少分钟相遇？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C； 【解析】将变形为.2. 【答案】B； 【解析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点3. 【答案】C；【解析】x2y=2，y=x1，当x=0，y=1，当y=0，x=2，一次函数y=x1，与y轴交于点（0，1），与x轴交于点（2，0） 4. 【答案】B；【解析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标5. 【答案】C；【解析】函数与的图象交于轴上一点，令两方程中0，即 .6. 【答案】D；【解析】过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数的图象相交于点B（1，2），代入一次函数解析式，即可求出二.填空题7. 【答案】；8. 【答案】平行，无解； 【解析】直线和的的系数相等，可以得出直线和的位置关系是平行，从而得出方程组解的情况.9. 【答案】0，0； 【解析】方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在一象限，从而得到，的范围10.【答案】（2，4）；【解析】根据变形可知，两个一次函数即为方程组中的两个方程，因此交点坐标即为方程组的解.11.【答案】3；【解析】一次函数与的图象的交点的横坐标是3，故方程的解是：312. 【答案】（1）10；（2）1；（3）3；(4)s=t+10【解析】（4）设直线解析式为s=kx+b，因为图象过点（0，10）和（3，22.5），所以，解之得，即s=t+10三.解答题13.【解析】解：（1）方程组无解. （2）两个方程对应的两个一次函数的图象的位置关系是平行.（3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，即平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.14.【解析】解：（1）设所求的一次函数为，把点（2，0）(0，3)代入得，3, 所以直线的解析式为同理可求得直线的解析式为（2），解方程组得 所以两个一次函数图象的交点坐标是.（3）设直线与轴交于点N，则N点坐标为（0，1） 所求面积为.15.【解析】解：（1）甲由A地到B地的函数解析式是：，即；甲到达B地所用时间是：20÷24分钟，甲由B地到A地所用时间是：20÷20分钟，设甲由B地到A地的函数解析式是：，点（24，20）与（44，0）在此函数图象上，解得：，甲由B地到A地函数解析式是：，（2）乙由A地到B地的函数解析式是：，即；根据题意得：，解得：，则经过分钟相遇 【巩固练习】一.选择题1.如图所示，图中两条直线、的交点坐标可以看做是方程组（ ）的解ABCD2. 以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ）A.有一个交点 B有无数个交点 C没有交点 D以上都有可能3. 无论、为何实数，直线与的交点不可能在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4. 一次函数和的图象都经过点A（2，0），且与轴分别交于B、C两点，那么ABC的面积是（）A2 B4 C6 D85. 在直角指标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线与的交点为整数时，的值可以取（）A2个 B4个 C6个 D8个6.体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（）进球数012345人数15xy32A. B. C. D. 二.填空题7.分别用和表示两个关于的代数式，在坐标系中，如果函数与的图象有4个交点，那么方程组的解的个数是 8如图，点A的坐标可以看成是方程组_的解.9在同一坐标系中，对于函数， 的图象，通过点（1，0）的是_，相互平行的是_，交点在轴上的是_（填写序号）10. 一次函数的图象上一部分点的坐标见下表：1012374125正比例函数的关系式为，则方程组的解为_.11.若、为全体实数，那么任意给定、，两个一次函数和（）的图象的交点组成的图象方程是_.12.某二元一次方程的解是（m为常数）若把x看做平面直角坐标系中一个点P的横坐标，y看做点P的纵坐标，下列4种说法：点P（x，y）一定不在第三象限；点P（x，y）可能是坐标原点；点P（x，y）的纵坐标y随横坐标x增大而增大；点P（x，y）的纵坐标y随横坐标x增大而减小其中正确的是（写出序号）三.解答题13.如图，直线：与直线：相交于点P（1，） （1）求的值；（2）不解关于，的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线：是否也经过点P？请说明理由14. 在直角坐标系中直接画出函数y=|x|的图象；若一次函数y=kx+b的图象分别过点A（1，1），B（2，2），请你依据这两个函数的图象写出方程组的解15.小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96/速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2后沿原路以原速返回，设他们出发后经过时，小明与家之间的距离为，小明爸爸与家之间的距离为，图中折线OABD、线段EF分别表示、与之间的函数关系的图象.（1）求与之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】将点（0，2）代入方程组验证.2. 【答案】D；【解析】二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能有一个，或无数个解，或无解，因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线有一个交点或有无数个交点或没有交点3. 【答案】C；【解析】由直线的解析式可以看出，此直线必过一二四象限，不经过第三象限因此两直线若相交，交点无论如何也不可能在第三象限4. 【答案】B； 【解析】由题意解得6，2，则函数的解析式是，这两个函数与轴的交点是B（0，6），C（0，2）因而CB4，因而ABC的面积是×2×445. 【答案】C；【解析】解方程组得，交点为整数，可取的整数解有0，2，3，5，1，3共6个6.【答案】C；【解析】根据进球总数为49个得：2x+3y=4953×42×5=22，整理得：y=x+，20人一组进行足球比赛，1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=x+9二.填空题7. 【答案】 4个； 【解析】函数图象交点的个数反映了方程组解的个数.8. 【答案】【解析】由图象知：两个一次函数过A（2，3），再根据两个一次函数分别过（5，0），（0，1），即可求出一次函数解析式，从而得出答案9. 【答案】； ； ；10.【答案】2；【解析】横纵坐标相等的只有（2，2），这个点为方程组的解，所以2.11.【答案】；【解析】当两个一次函数和（）的图象的有交点时，1.12.【答案】；【解析】由x=m，得m=x，将m=x代入y=2m+1，得y=2x+1y=2x+1是一次函数，且经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故正确；一次函数y=2x+1不经过原点，故错误；由k=20，可知y随x的增大而减小，故错误，正确三.解答题13.解：（1）将P（1，）代入，得112；（2）由于P点坐标为（1，2），所以（3）将P（1，2）代入解析式得，；将1代入得，由于，所以2，故P（1，2）也在上14.解：如图；由图象可知，两个函数的交点坐标为（2，2）和（1，1）；方程组的解为或15.解：(1) 2400÷9625 设，将（0，2400）和（25，0）代入得： 解得： 962400（2）由题意得D为（22，0） 设直线BD的函数关系式为： 得：解得： 2405280 由9624002405280解得：20 当20时，480 答：小明从家出发，经过20在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480. 学法升华【本次学法】_ _ 【学法回顾】_ _【学法迁移】_ _