专题七：空间向量的直角坐标运算.docx

专题七：空间向量的直角坐标运算【学习目标】1. 理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式；3. 能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.【要点梳理】要点一：空间向量基本定理1. 空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果是空间三个不共面的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数，使得 特别地，当两两垂直时，就能得到这个向量的一个正交分解. 2. 基底、基向量概念由空间向量的基本定理知，若三个向量不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是|，R，这个集合可看做是由向量生成的，所以我们把称为空间的一个基底叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0；（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念要点二：空间向量的坐标表示1. 单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；2. 空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；xyzO3. 空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系中，对于空间任一点，对应一个向量，若，则有序数组叫点在此空间直角坐标系中的坐标，记为，其中叫做点的横坐标，叫点的纵坐标，叫点的竖坐标写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒要点诠释：（1）空间任一点的坐标的确定 过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则如图（2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作. 要点三：空间向量的坐标运算1. 空间两点的距离公式若，则； 的中点坐标为.要点诠释：两点间的距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出. 2. 空间向量运算的的坐标运算设，则 ； ； ； ； ，； 要点诠释：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是（2） （3） 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与的关系（相等，互余，互补）. 3. 空间向量平行和垂直的条件若，则，规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典型例题】类型一：空间向量的坐标表示例1已知是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各点的坐标，并写出、及的坐标表示. 举一反三：【变式1】已知是棱长为2的正方体，分别为和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中点的坐标. 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点的坐标为（1，2，1），点的坐标为（1，3，4），则（ ）A B C D类型二：空间向量的直角坐标运算例2已知， ，求， ， . 举一反三：【变式】已知=（1，0，1），=（1，2，2），=（2，3，1），那么向量等于（ ）A（0，1，2） B（4，5，5） C（4，8，3） D（2，5，4）例3已知，（1）求，；（2）求；（3）若，求.举一反三：【变式1】已知向量=（4，2，4），=（6，3，2），求：（1）；（2）|，|；（3）（2+3）（2）. 【变式2】如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值例4已知空间三点（2，0，2），（1，1，2），（3，0，4）. 设（）求；（）若向量与互相垂直，求的值.举一反三：【变式1】已知向量，且与互相垂直，则值是（ ）A1 B C D【变式2】 已知， ，求一个向量使 且 .【变式3】已知空间三点（0，2，3），（-2，1，6），（1，-1，5）. （1）求以，为边的平行四边形的面积；（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标. 类型三：空间向量的共线与共面例5已知，求证：三点共线.举一反三：【变式】若，如果与为共线向量，则（ ）A. B.=，= C. =，=D. =，=例6已知，证明：向量共面. 举一反三【变式1】已知，若三向量共面，则实数等于（ ）A. B. C. D.【变式2】证明：四点A(1，0，1)， B(4，4，6)， C(2，2，3)， D(10，14，17) 在同一平面内.【巩固练习】一、选择题1在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A向量的坐标与点的坐标相同 B向量的坐标与点的坐标相同C向量的坐标与向量的坐标相同 D向量与向量的坐标相同2下列各组向量不共线的是（ ）A=（1，0，0），=（-3，0，0） B=（0，1，0），=（1，0，1）C=（0，1，-1），=（0，-1，1） D=（1，0，0），=（0，0，0）3已知三点的坐标分别为 (4，1，3)，（2，5，1），（3，7，），且，则的值为（ ）A.28 B.28 C.14 D.144已知，是空间直角坐标系的坐标向量，并且，则点的坐标为（ ）A（1，1，1） B C（1，1，1） D不确定5与点（1，3，5）关于原点成中心对称的点的坐标是（ ）A（1，3，5） B（1，3，5） C（1，3，5） D（1，3，5）6已知点（1，1，1），（2，2，2），（3，2，4），则的面积为（ ）A B C D7如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，那么直线与所成的角的余弦值为（ ）A B C D二、填空题8. 已知空间中两点，的坐标为(1，1，-2)， (1，1，1)，则线段的长度是 . 9已知，则向量与的夹角是_.10. 已知空间三点（1，1，1）、（1，0，4）、（2，2，3），则与的夹角的大小是_.11已知：点 (1，-2，0)和向量=(-3，4，12)，若向量，且|等于的2倍. 则点的坐标 三、解答题12. 已知=（3，5，-4），=（2，1，8），求：；与夹角的余弦值.13已知空间三点（2，0，2），（1，1，2），C（3，0，4）. 设=，=.（1）求和的夹角；（2）若向量+与k2互相垂直，求的值.14. 如下图，在正方体中，分别是的中点.（1）证明；（2）求与所成的角；（3）证明面面.15 在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，是的中点，（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长.数学试题答案【典型例题】类型一：空间向量的坐标表示例1【思路点拨】一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标. 【解析】（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），（0，0，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（0，0，1）. ，. 【总结升华】要求空间某一点M的坐标，只要求出以原点O为起点、M为终点的向量的坐标即可举一反三：【变式1】【答案】C（0，2，0），D（0，0，0）且F为DC的中点，F（0，1，0）. 又 B（2，2，0），B1（2，2，2），且E为BB1的中点，E（2，2，1）. 【变式2】【答案】C类型二：空间向量的直角坐标运算例2 【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. 【解析】，【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. 举一反三：【变式】【答案】C例3【解析】（1），（2）（3），【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.举一反三：【变式1】 【答案】（1）=46+(2)(3)+(4)2=22；（2）；（3）. 【变式2】【答案】不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，且设i，j，k以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz，则 B(1，1，0)，E1(1，1)，D(0，0，0)，F1(0，1)(1，1)(1，1，0)(0，1)， (0，1)(0，0，0)(0，1)，cos，例4【思路点拨】（）利用数量积定义求cos，再求；（）先求出与的坐标表示，利用数量积为0求.【解析】（）， （）， ， 【总结升华】若，那么： . 举一反三：【变式1】【答案】 D，. 两向量垂直，. 【变式2】【解析】设，由，令.【变式3】 【答案】；=(1，1，1)或(-1，-1，-1)（1）由题中条件，可知，. . 以，为边的平行四边形面积. （2）设，由题意得，解得或. =（1，1，1）或=（1，1，1）. 类型三：空间向量的共线与共面例5 【解析】法一：，则 ，又有公共点A A、B、C三点共线.法二： (x，yR)，则：(2，4，1)=(3x，7x，5x)+(4y，10y，9y)=(3x+4y，7x+10y， 5x+9y) 且x+y=1， A、B、C三点共线.【总结升华】 在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程求解.举一反三：【变式】【答案】Ca=（2x，1，3）与b=（1，2y，9）共线，故有=.x=，y=.应选C.例6 【思路点拨】要证三向量共面，即证存在x，yR，使得.【解析】假设存在R，使得.则 又 得 存在x=2， y=-1， 使得. 向量共面. 【总结升华】在向量坐标运算中，要注意方程思想的应用，若本题方程组无解，则表示不共面.在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解. 举一反三【变式1】【答案】D由三向量共面，设 ，则即 ，解得【变式2】【答案】 ，设 ，则 (9，14，16)=(3x+y， 4x+2y， 5x+2y)， ， A、B、C、D四点共面.【巩固练习】【答案与解析】1. 【答案】D【解析】空间向量的坐标有两种形式可以得到：（1）将向量的起点移到原点，终点坐标就是向量的坐标；（2）向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2【答案】B【解析】由共线定义可判定. 3. 【答案】D；【解析】由 解得4【答案】D 【解析】向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，终点的坐标也不确定. 5【答案】A【解析】P（x，y，z）关于原点成中心对称的点P为（x，y，z）. 6【答案】D 【解析】 ，. ，. . 7【答案】D 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，把D点视作原点O，分别沿、 方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），C（0，1，0），. ，故，. 设AM与CN所成的角为，8. 【答案】 C 【解析】 |AB|=3.9【答案】90【解析】 a+b=(cos+sin，2，sin+cos)，ab=(cossin，0，sincos)，(a+b)(ab)=cos2sin2+sin2cos2=0，（a+b）（ab）. 10. 【答案】120【解析】=（2，1，3），=（1，3，2），cos，=，=，=120.11【答案】(-5，6，24)或(7，-10，-24). 【解析】设点坐标列方程即可求出. 12. 【解析】ab=（3，5，-4）（2，1，8）=32+51-48=-21.|a|=5， |b|=，cosa，b= =-.a与b夹角的余弦值为-.13. 【解析】A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，和的夹角为. (2) k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0. 则k=或k=2. 14. 【解析】取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.（1） =（2，0，0）（0，1，2）=0，ADD1F.（2）=（0，2，1）（0，1，2）=0，AED1F，即AE与D1F成90角.（3）=（2，2，1）（0，1，2）=0，DED1F.AED1F，D1F面AED.D1F面A1D1F，面AED面A1D1F.15. 【解析】如图以为原点建立直角坐标系，则，（1），（2），与所成的角的余弦（3）， 14 / 14