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-北京高考题导数-第 12 页函数北京高考题二导数1.（2011年文科18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值2.（2012年文科18）函数，（）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；（）当，时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围3.（2012年理科18）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.4.（2013年文科18）已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围5.（2013年理科18）设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方6.（2014年文科20.）已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）7（2014年理科18.）已知函数，（1） 求证：；（）若在上恒成立，求的最大值与的最小值1.（2011年文科18）解：（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以。2.（2012年文科18）解：（），因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，且即 ，且解得 ，（）记当，时，令，得，与在上的情况如下：由此可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于因此，的取值范围是3.（2012年文科18）解：（1）由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为已知4.（2012年理科18）18解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f (x)0，得x0.f(x)与f(x)的情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b>1时，f(2b)f(2b)4b22b1>4b2b1>b，f(0)1<b，所以存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，所以当b>1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)5.（2013年理科18）设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方18解：(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1. 所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(x>0，x1) g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0<x<1时，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)单调递增所以g(x)>g(1)0(x>0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方7解：（1）证明：，即在上单调递增，在上的最大值为，所以（2）一方面令，则，由（1）可知，故在上单调递减，从而，故，所以令，则，当时，故在上单调递减，从而，所以恒成立当时，在有唯一解，且，故在上单调递增，从而，即与恒成立矛盾，综上，故解答：解：（）由f（x）=2x33x得f（x）=6x23，令f（x）=0得，x=或x=，f（2）=10，f（）=，f（）=，f（1）=1，f（x）在区间2，1上的最大值为（）设过点p（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=23x0，且切线斜率为k=63，切线方程为yy0=（63）（xx0），ty0=（63）（1x0），即46+t+3=0，设g（x）=4x36x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”g（x）=12x212x=12x（x1），g（x）与g（x）变化情况如下： x（，0） 0 （0，1） 1（1，+） g（x）+ 0 0+ g（x） t+3 t+1g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值当g（0）=t+30，即t3时，g（x）在区间（，1和（1，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（1）=t+10，即t1时，g（x）在区间（，0和（0，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（0）0且g（1）0，即3t1时，g（1）=t70，g（2）=t+110，g（x）分别在区间1，0），0，1）和1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（，0）和1，+）上单调，故g（x）分别在区间（，0）和1，+）上恰有1个零点综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（3，1）（）过点A（1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切
