2017数学一真题解析.pdf
版权所有版权所有翻印必究翻印必究1中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-96620172017 全国研究生入学考试考研数学（数学一）真题解析全国研究生入学考试考研数学（数学一）真题解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxbx，在0 x 处连续，则（）（A）12ab（B）12ab （C）0ab（D）2ab【答案【答案】（A）【解 析解 析】由 连 续 的 定 义 可 知：00lim()lim()(0)xxf xf xf，其 中0(0)lim()xff xb，20001()1 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa，从而12ba，也即12ab，故选（A）。（2）若函数()f x可导，且()()0f x fx，则（）（A）(1)(1)ff（B）(1)(1)ff（C）(1)(1)ff（D）(1)(1)ff【答案【答案】（C）【解析解析】令2()()F xfx，则有()2()()F xf x fx，故()F x单调递增，则(1)(1)FF，即22(1)(1)ff，即(1)(1)ff，故选 C。（3）函数22(,)f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)u 的方向导数为（）（A）12（B）6（C）4（D）2【答案【答案】（D）【解 析解 析】22,2 gradfxy xz，将 点(1,2,0)代 入 得(1,2,0)4,1,0gradf，则1 2 2.4,1,0.,23 3 3fugradfuu。（4）甲、乙两人赛跑，即使开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vv t（单位：m/s），虚线表示乙的速度2()vv t，三块阴影部分面积的数值依次为10 20 3、，即使开始2中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）（A）010t（B）01520t（C）025t（D）025t【答案【答案】（C）【解析解析】从0到0t时刻，甲乙的位移分别为010()tV t dt与020()tV t dt要使乙追上甲，则有0210()()tV tV t dt，由定积分的几何意义可知，25210()()20 1010V tV t dt，可知025t，故选（C）。（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）TE不可逆（B）TE不可逆（C）2TE不可逆（D）2TE不可逆【答案【答案】（A）【解析解析】因为T的特征值为0（1n重）和1，所以TE的特征值为1（1n重）和0，故TE不可逆。（6）设矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）A与C相似，B与C相似（B）A与C相似，B与C不相似（C）A与C不相似，B与C相似（D）A与C不相似，B与C不相似【答案【答案】（B）【解析】【解析】由（）=0EA可知A的特征值为 2,2,1。3(2)1rEA。A A可相似对角化，且100020002A由0EB可知B B的特征值为 2,2,1。3(2)2rEB。B B不可相似对角化，显然C C可相似对角化，AC。且B B不相似于C C。（7）设,A B为随机概率，若0()1P A，0()1P B，则()()P A BP A B的充要条件是（A）()(B)P B APA（B）()(B)P B APA版权所有版权所有翻印必究翻印必究3中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966（C）()(B)P B APA（D）()(B)P B APA【答案【答案】（A）【解析解析】因为()P A BP A B，所以()()()()()1()()P ABP ABP AP ABP BP BP B，从而()()()P ABP A P B，且()()(),()()1()P ABP BP ABP B AP B AP AP A，所以()P B AP B A。（8）设12,(2)nXXXn 为来自总体(,1)N的简单随即样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（A）21()niiX服从2分布（B）212()nXX服从2分布（C）21()niiXX服从2分布（D）2()n X服从2分布【答案【答案】（B）【解析解析】（A）(0,1)iXN故221()()niiXn；（B）11(0,2)(0,1)2nnXXXXNN221(1)2nxx即221()(1)2nxx。（C）由22222111(),(1)()(1)1nniiiiSXXnSXXnn。（D）1()0,XNn，则()(0,1)n XN，所以22()(1)n X。二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.4中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究（9）已知函数21()1f xx，则(3)(0)f_。【答案】【答案】0【解析解析】因为246222001()1()(1)1nnnnnf xxxxxxx 230()(1)2(21)(22)nnnfxnnnx将0 x 带入(0)0f（10）微分方程230yyy的通解为y _。【答案】【答案】11(cos 2sin2)xecxcx【解析解析】因为230yyy，所以2230，21i，通解为11(cos 2sin2)xecxcx（11）若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22(,)1Dx y xy内与路径无关，则a _。【答案】【答案】1【解析解析】2222(,),(,)11xayP x yQ x yxyxy，22222222,(1)(1)PxyPaxyyxyxxy0PPyx，则22,1aa （12）幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()S x _。【答案答案】21(1)x。版权所有版权所有翻印必究翻印必究5中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966【解析解析】1112111(1)(1)1(1)nnnnnnxnxxxx。（13）设矩阵101112011A，123,为线性无关的 3 维列向量组，则向量组123,AAA的秩为 _。【答案答案】2。【解析解析】因为123123(,)(,)AAAA ，101101101112011011011011000A故()2r A，所以123(,)AAA秩为2。（14）设随机变量X的分布函数为4()0.5()0.5()2xxxF，其中()x为标准正态分布函数，则EX _。【答案】【答案】2【解析解析】222224222(4)22 2111()()0.50.5222110.50.5222xxxxf xF xeeee三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数(,)f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求0 xdydx，202xd ydx。【解析解析】由复合函数求导法则，可得：12(sin)xdyf efxdx故01(1,1)xdyfdx进一步地：6中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究212122()()cossinxxd fd fd ye fexfxdxdxdx1111222122(sin)cossin(sin)xxxxe fef efxxfx f efx2212112122cos2sinsinxxxe fxfefexfxf故2012112(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx(16)(本题满分 10 分)求21limln(1)nnkkknn。【解析解析】由定积分的定义式可知原式=1011limln 1ln 1nnkkkxx dxnnn，再由分部积分法可知：2211121000012100111ln 1ln 11ln 1|ln 122211111|244xxxx dxx d xxdxxdxx (17)(本题满分 10 分)已知函数()y x由方程333320 xyxy确定，求()y x的极值。【解析解析】等式两边同时对x求导可得，2233330 xy yy(1)令0y 可得2330 x，故1x 。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在1x 与1x 处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，2266330 xy yy yy(2)当1x 时，1y，将1,1,0 xyy代入（2）式可得2y ，故 11y是函数的极大值。当1x 时，0,0yy，代入（2）式可得2y，故10y 是函数的极小值。(18)(本题满分 11 分)设函数()f x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0()lim0 xf xx。证明：（）方程()0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根。版权所有版权所有翻印必究翻印必究7中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966（）方程2()()()0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【证明】【证明】（I）由于0()lim0 xf xx，则由保号性可知：0，使得当(0,)x时，()0f xx，也即()0f x。又由于(1)0f，则由零点存在定理可知，()0f x 在(0,1)内至少有一个实根。（II）令()()()F xf x fx。由0()lim0 xf xx可知0()(0)lim0 xf xfxx。又由（I）可知：0(0,1)x使得0()0f x。由罗尔定理可知：10(0,)x使1()0f，从而10(0)()()0FFF x。再由罗尔定理可知：21(0,)，310(,)x使得23()()0FF。也即2()()()()0F xf x fxfx在0(0,)(0,1)x内有两个不同的实根。(19)（本题满分 10 分）设薄片型S是圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的密度为2229 xyz，记圆锥面与柱面的交线为C。（I）求C在xOy面上的投影曲线的方程；（II）求S的质量M。【解析【解析】（）C的方程为2222zxyzx，从中消去z可得222xyx则C在xoy平面上的投影为2220 xyxz。（）S的质量222(,)9SSmx y z dSxyz dS将22zxy带入可得：2212zzdSdxdydxdyxy故229 22Dmxydxdy，其中D为平面区域22(,)|2 x yxyx利用极坐标计算该二重积分可得：8中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究2222cos2202322181818144cos364DDmxy dxdyr drddr drd(20)（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵123=（，）A有 3 个不同的特征值，且312=+2。1)证明：()2rA2)若123=+，求方程组Ax=的通解。（I）【证明证明】因为A有三个不同的特征值，所以A，()1r A，假若()1r A 时，0是二重的，故不符合，那么()2r A，又因为3122，所以()2r A，即()2r A。（II）【解析解析】因为()2r A，所以0Ax 的基础解析只有一个解向量，又因为3122，即12320，即基础解系的解向量为(1,2,1)T，又因为123，故Ax的特解为(1,1,1)T，所以Ax的通解为(1,2,1)(1,1,1)TTk，kR。(21)（本题满分 11 分）设二次型222123123121323282x xx xx xf(x,x,x)=2x-x+ax，在正交变换xQy下的标准型，221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。【解析解析】二次型对应的矩阵为21411141Aa，因为标准型为221122yy，所以0A，从而46a，即2a，代入得2141110412EA，解得0,3,6；版权所有版权所有翻印必究翻印必究9中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966当0时，2140111412EA，化简得111012000，对应的特征向量为1(1,2,1)Tk；当3 时，5143121415EA，化简得121011000，对应的特征向量为2(1,1,1)Tk；当6时，4146171414EA，化简得171010000，对应的特征向量为3(1,0,1)Tk；从而正交矩阵32632636033326326Q。(22)（本 题 满 分 11 分）设 随 机 变 量 为 X，Y 相 互 独 立，且 X 的 概 率 分 布 为1(0)(2)2P XP X,Y 的概率密度为2,01,()0,其他yyf y1）求()P YEY;2）求ZXY的概率密度。【解析【解析】（）由数字特征的计算公式可知：1202()23EYyf y dyy dy。则2233024()239P YEYP Yf y dyydy。（）先求Z的分布函数，由分布函数的定义可知：()ZFzP ZzP XYz。由于X为离散型随机变量，则由全概率公式可知()ZFzP XYz10中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究0|01|11112211()(1)22YYP XP XYz XP XP XYz XP YzP YzFzFz（其中()YFz为Y的分布函数：()YFzP Yz(23)（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12，.,nXXX相互独立且均服从正态分布2（，）N。该工程师记录的是n次测量的绝对误差(1,2,)iiZXin ，利用1Z,2Z,nZ估计。1）求iZ的概率密度；2）利用一阶矩阵求的矩估计量。【解 析解 析】（I）因 为2(,)iXN，所 以2(0,)iiYXN，对 应 的 概 率 密 度 为 22212yYfye，设iZ的分布函数为 F z，对应的概率密度为()f z；当0z 时，0F z；当0z 时，22212yziiizF zP ZzP YzPzYzedy；则iZ的概率密度为2222,z0()()20,z0zef zF z；（II）因 为22202222ziEZzedz，所 以2iEZ，从 而的 矩 估 计 量 为1122niiZZn；（II）由题知对应的似然函数为2221212 1(,.,)iznniL z zze，取对数得：版权所有版权所有翻印必究翻印必究11中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-9662212lnlnln2niizL，所以231ln()1niizdLd，令ln()0dLd，得211niizn，所以的最大似然估计量为211niiZn。
