学年新教材高中数学第五章计数原理单元素养评价含解析北师大版选择性必修第一册.doc

单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(每题5分，共40分)1李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同把戏的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一节需选择一套服装参加歌舞演出，那么不同的选择方式有()A24种 B14种 C10种 D9种【解析】选B.由题意可得李芳不同的选择方式有4×3214种2自2022年起，山东夏季高考成绩由“33组成，其中第一个“3指语文、数学、英语3科，第二个“3指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目某同学方案从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，那么该同学3科选考科目的不同选法的种数为()A6 B7 C8 D9【解析】选D.某同学方案从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，那么该同学3科选考科目的不同选法的种数为CC9.3电影?夺冠?讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，是一部见证中国体育改革40年的力作，该影片于2022年9月25日正式上映在?夺冠?上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为平安起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，那么不同的坐法种数是()A8 B12 C16 D20【解析】选C.根据题意，将两名家长、孩子全排列，有A24种排法，其中两个孩子相邻且在两端的情况有AAA8种，那么每个小孩子要有家长相邻陪坐的不同坐法有24816种4.如下图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，那么最多的栽种方案有() A180种 B240种 C360种 D420种【解析】选D.由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色.当用三种颜色时，花池2，4同色和花池3，5同色，此时共有A种方案当用四种颜色时，花池2，4同色或花池3，5同色，故共有2A种方案当用五种颜色时有A种方案因此所有栽种方案为A2AA420种5甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮比赛，得出了第1至第5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军对乙说：“你当然不是最差的根据裁判的答复，5人的名次排列共有_种不同的情况()A54B108C210D96【解题指南】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步乘法计数原理得到结果【解析】选A.第一名不是甲和乙，那么只能是丙、丁、戊三人中某一个，有C种选法，而乙不是最差的，那么乙只可能是第二、三、四名，有C种可能，再将剩下的三人排成一列，依次插入即可，由分步乘法计数原理可知，共有CCA54种不同的情况6假设二项式(2x)10，按(2x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10的方式展开，那么展开式中a8的值为()A90 B180 C360 D405【解析】选D.由题意得，(2x)10(2x)103(1x)10，所以展开式的第9项为T9C(3)2(1x)8405(1x)8，即a8405.【加练·固】设(2x)5a0a1xa2x2a5x5，那么的值为()ABCD1【解析】选B.令x1，可得a0a1a2a3a4a51，再令x1可得a0a1a2a3a4a535.两式相加除以2求得a0a2a4122，两式相减除以2可得a1a3a5121.由题意得a51，故.7甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，假设每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法种数是()A210 B336 C84 D343【解析】选B.由题意知此题需要分组解决，因为对于7级台阶上每一级只站一人有A种；假设有一级台阶有2人另一个是1人，那么共有CA种，所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数为ACA336.8某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)(m1，n1)或(m，n)(m1，n1).假设该动点从原点出发，经过6步运动到点(6，2)，那么不同的运动轨迹有()A15种 B14种 C9种 D103种【解析】选C.由运动规律可知，每一步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，而纵坐标每一步增加1(或减少1)，经过6步变化后，结果由0变到2，因此这6步中有2步是按照(m，n)(m1，n1)运动的，有4步是按照(m，n)(m1，n1)运动的，因此，共有C15种，而此动点只能在第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，当第一步(m，n)(m1，n1)时不符合要求，有C种；当第一步(m，n)(m1，n1)，但第二、三两步为(m，n)(m1，n1)时也不符合要求，有1种，故要减去不符合条件的C16种，故共有1569种二、多项选择题(每题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9有四位学生参加三项不同的竞赛，那么以下说法正确的选项是()A每位学生必须参加一项竞赛，那么不同的参赛方法有64种B每项竞赛只许有一位学生参加，那么不同的参赛方法有81种C每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，那么不同的参赛方法有24种D每位学生只参加一项竞赛，每项竞赛至少有一位学生参加，那么不同的参赛方法有36种【解析】选CD.根据题意，依次分析选项：对于A，每位学生必须参加一项竞赛，那么每位学生都有三种参赛方法，故四位学生有N3×3×3×33481种A不正确；对于B，每项竞赛只许有一位学生参加，每一项可以挑4名不同的学生，故有N4×4×44364种B不正确；对于C，原问题等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个工程的竞赛，每人参加一项，故共有4×3×224种，C正确；对于D，先把四个学生分成三组，再分配到三个比赛中，故共有C·A36种D正确10假设C>3C，那么m的取值可能是()A6 B7 C8 D9【解析】选BC.根据题意，对于C和3C，有0m18且0m8，那么有1m8，假设C>3C，那么有>3×，变形可得：m>273m，解得：m>，综合可得：<m8，那么m7或8.11将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？以下结论正确的有()ACCC BCACCCA D18【解析】选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，且没有空盒，那么有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有2种解法：(1)分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；那么没有空盒的放法有CA种；(2)分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法；那么没有空盒的放法有CCA种12(2022·烟台高二检测)(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，那么以下说法正确的选项是()A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第6项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含x15项的系数为45【解析】选BCD.因为(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等；所以CCn10；因为展开式的各项系数之和为1 024，所以(a1)101 024；因为a>0；所以a1.原二项式的二项式通项为：Tk1C·(x2)10k·Cx20k；展开式中奇数项的二项式系数和为：×1 024512，故A错；因为此题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对；令20k0k8，即展开式中存在常数项，C对；令20k15k2，C45，D对三、填空题(每题5分，共20分)13(2022·全国卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，那么不同的安排方法共有_种【解析】因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有C6(种)，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A6(种)，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法有6×636(种).答案：36【补偿训练】甲、乙、丙、丁4人进行篮球训练，互相传球，要求每人接球后立即传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第四次传球后，球又回到甲手中的传球方式共有_种【解析】可以分两类：其一是第一次甲传球给乙、丙、丁，有C种；第二次是传球给甲，有1种；第三次是甲传球给乙、丙、丁，有C种；第四次是传给甲，有1种；由分步乘法计数原理可得C×1×C×19种；第二类是第一次甲先传给乙、丙、丁，有C种；第二次分别传给其他两人，有C种；第三次再分别传给另外两人，有C种；第四次传给甲，只有1种；由分步乘法计数原理可知C×C×C×112种，由分类加法计数原理可得所有传球方式共有91221(种).答案：2114多项式x5a1x4a2x3a3x2a4x1a5，那么a4_，a5_.【解析】因为多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4x1a5，a4为x1项的系数，所以根据二项式定理得a4C12×2213×C×216，a5是常数项，所以a513×224.答案：16415在n的二项展开式中，假设常数项为60，那么n等于_【解题指南】利用二项式通项，化简后令未知数x的指数等于0，从而确定通项公式中r与n的等式，再根据常数项等于60，得到另一个r与n的等式，解方程组即可得【解析】Tr1C2r·Cx，n，rN*，得解得n6.答案：616某公园划船收费标准如表：船型两人船(限乘2人)四人船(限乘4人)六人船(限乘6人)每船租金(元/小时)90100130某班16名同学一起去该公园划船，假设每人划船的时间均为1小时，每条船必须坐满，那么租船最低总费用为_元，租船的总费用共有_种可能【解析】当租两人船时，租金为：×90720元，当租四人船时，租金为：×100400元，当租1条四人船，6条两人船时，租金为：1006×90640元，当租2条四人船，4条两人船时，租金为：2×1004×90560元，当租3条四人船，2条两人船时，租金为：3×1002×90480元，当租1条六人船，5条2人船时，租金为：1305×90580元，当租2条六人船，2条2人船时，租金为：2×1302×90440元，当租1条六人船，1条四人船，3条2人船时，租金为：1301003×90500元，当租1条六人船，2条四人船，1条2人船时，租金为：1302×10090420元，当租2条六人船，1条四人船时，租金为：2×130100360元，综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能答案：36010四、解答题(共70分)17(10分)有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？【解析】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，那么选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C6(种)；第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C12(种)；第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C8(种)；第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A12(种)；由分类加法计数原理，选派方法数共有：61281238(种).18(12分)(2021·南通高二检测)在(n3，nN*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列(1)求n的值；(2)求展开式中含x2的项【解析】(1)因为在(n3，nN*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以2CCC，求得n7或n2(舍去).(2)二项式通项为Tk1C··x，令2，求得k2，可得展开式中含x2的项为T3C··x2x2.19(12分)高二某班级有5名男生，4名女生排成一排(以下结果用数字作答)(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？(2)假设4名女生互不相邻，9名同学排成一排，有多少种不同的排法？【解析】(1)从9人中选出3人排成一排有A504种排法(2)5名男生排成一排的排法有A种，4名女生插空有A种情况，那么由分步乘法计数原理得4名女生互不相邻有AA43 200种排法20(12分)(2021·武汉高二检测)某医院有内科医生8名，外科医生6名，现选派4名参加某医疗队(1)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(2)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【解析】(1)根据题意，某医院有内科医生8名，外科医生6名，共14人，从中选取4人，有C1 001种选法，其中甲、乙都没有参加的情况有C495种，那么甲、乙两人至少有一人参加的选法有1 001495506种(2)根据题意，从14人中任选4人，有C1 001种选法，其中只有内科医生的选法有C70种，只有外科医生的选法有C15种，那么医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法有1 0017015916种21(12分)在(2x3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和(3)各项系数之和(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和【解题指南】(1)根据二项式系数的性质求解(2)可采用赋值法，根据二项式定理，求得奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和，也可直接应用二项式系数的这局部性质，写出答案(3)采用赋值法，令xy1，求得各项系数之和(4)采用赋值法，令x1，y1，结合(3)，可分别求得奇数项系数的和与偶数项系数的和【解析】(1)各项的二项式系数的和为CCCC2101 024.(2)奇数项的二项式系数的和为CCC29512；偶数项的二项式系数的和为CCC29512.(3)设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10 (*)，各项系数之和即为a0a1a2a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法求解令(*)中xy1，得各项系数之和为(23)10(1)101.(4)奇数项系数的和为a0a2a4a10，偶数项系数的和为a1a3a5a9.由(3)知a0a1a2a101. 令(*)中x1，y1，得a0a1a2a3a10510. ，得2(a0a2a10)1510，故奇数项系数的和为 ；，得2(a1a3a9)1510，故偶数项系数的和为.22(12分)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上效劳算作不同的情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？(3)男售票员和女售票员分别分组，有几种不同的分配方法？【解析】(1)男女合在一起共有8人，每个车上安排2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C种，再安排第二辆车共有C种，再安排第三辆车共有C种，最后安排第四辆车共有C种，这样不同的分配方法有C·C·C·C2 520(种).(2)要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有A种不同方法，同理，女售票员也有A种方法，由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为A·A576(种).(3)男女分别分组，4位男售票员平分成两组共有3种不同分法，4位女售票员平分成两组也有3种不同分法，这样分组方法就有3×39(种)，对于其中每一种分法又有A种上车方法，因而不同的分配方法有9·A216(种).