学年高中数学第二章圆锥曲线与方程..抛物线的简单几何性质课时规范训练新人教A版选修-2.doc

2.4.2 抛物线的简单几何性质根底练习1直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是()A(1,2)B(2,1)C(2,3)D(3,2)【答案】D【解析】将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3.2.所求点的坐标为(3,2)2抛物线y22px(p>0)的准线与圆(x3)2y216相切，那么p的值为()A2B4C6D8【答案】A【解析】由可知抛物线的准线x与圆(x3)2y216相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d34.解得p2.3(2022年黑龙江哈尔滨九中模拟)抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，假设，那么|QF|等于()AB3CD2【答案】B【解析】设点Q到l的距离为d，那么|QF|d.4，|PQ|3d.不妨设直线PF的斜率为2.F(2,0)，直线PF的方程为y2(x2)，与y28x联立，得x1.|QF|d123.应选B4直线yk(x2)(k>0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点假设|FA|2|FB|，那么k的值为()ABCD【答案】D【解析】C的准线为l：x2，直线yk(x2)过定点P(2,0)过点A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，由|FA|2|FB|，那么|AM|2|BN|，点B为AP的中点连接OB，那么|OB|AF|，|OB|BF|.点B(1，2)k.应选D5(2022年山西临汾期末)抛物线C1：x22py(p>0)的准线与抛物线C2：x22py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，假设FAB的面积等于1，那么C1的方程是_【答案】x22y【解析】由题意得F，不妨设A，B，SFAB·2p·p1，那么p1，即抛物线C1的方程是x22y.6边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过点A，B的抛物线方程是_【答案】y2±x【解析】该等边三角形的高为，点A的坐标为或.可设抛物线方程为y22px(p0)点A在抛物线上，因而p±.因而所求抛物线方程为y2±x.7斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1,0)，准线方程为x1.由题意，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程y24x，整理得x26x10.(方法一)由x26x10，得x1x26，x1 ·x21，|AB|x1x2|××8.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|AA1|x11，|BF|BB1|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.8设抛物线C：y22px(p>0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且|AF|BF|8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，那么x1x28p.又|QA|QB|，(x16)2y(x26)2y，即(x1x212)(x1x2)2p(x2x1)x1x2，x1x2122p.122p8p.解得p4.所求抛物线C的方程为y28x.能力提升9过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，假设它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线()A有且仅有一条B有两条C有无穷多条D不存在【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|x1x2p527.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，这样的直线有两条应选B10(2022年浙江杭州模拟)过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，那么··的最大值等于()A4B4C8D16【答案】D【解析】依题意得·(|·|)又因为|yA1，|yB1，所以·(yAyByAyB1)设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立x24y，可得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4.所以yAyB1，yAyB4k22.所以·(4k24)同理·.所以··16.当且仅当k±1时等号成立11如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，那么x0的值为_【答案】6【解析】由题意可知p4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，4)，直线QN：y4.直线QN，MN关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，直线MN垂直于x轴解得N(6，4)，故x06.12过抛物线y22px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点且|AB|p，求AB所在的直线方程解：焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)假设ABx轴，那么|AB|2p<p，不合题意所以直线AB的斜率存在，设为k，那么直线AB的方程为yk(k0)由消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数的关系，得y1y2，y1y2p2.|AB|y1y2|·2pp.解得k±2.AB所在直线方程为y2或y2.