江苏省启东中学2023届高三周练1数学 答案.pdf

答案第 1 页 （共 21 页）周练（一）参考答案及解析1A【解析】【分析】写出集合1,2,3U 的非空子集，求出总选法，再根据1AB，列举出集合,A B的所有情况，再根据古典概型公式即可得解.【详解】解：集合1,2,3U 的非空子集有 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3共 7 个，从 7 个中选两个不同的集合 A，B，共有2742A 种选法，因为1AB，当 1A 时，则B可为 1,2 , 1,3 , 1,2,3共 3 种，当1,2A时，1,3B 共 1 种，同理当 1B 时，则A可为 1,2 , 1,3 , 1,2,3共 3 种，当1,2B 时，1,3A 共 1 种，则符合1AB的共有3 1 3 18 种，所以1AB的概率为844221.故选：A.2B【解析】【分析】利用二倍角公式可得cos 22，利用诱导公式可得结果.【详解】2187cos 22cos11242525 ，7sin2cos 2225 .故选：B.3C【解析】答案第 2 页 （共 21 页）【分析】由20211izi可化简得1122zi，再根据复数模的计算公式即可求出【详解】因为202111111222iiiiziii，所以111222zi故选：C4C【解析】【分析】利用三角函数、对数、指数函数的单调性判断可得答案.【详解】sin4sin 40 a，ln4lne1b，1412142102c，所以acb故选：C5B【解析】【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性 ()fxf x ；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，( )0fx =时，即e1cos0e1xxx，此时只能是cos0 x ；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解.【详解】函数 fx的定义域为0 x x ，因为2e1 2e1( )1coscoscose1e1e1xxxxxf xxxx ，并且 00e1ee1e()coscoscose1ee1exxxxxxfxxxxf x ，所以函数 fx为奇函数，其图象关于原点对称，可排除AC，；答案第 3 页 （共 21 页）当( )0fx =时，即e1cos0e1xxx，此时只能是cos0 x ，而cos0 x 的根是2x xkkZ，可排除D.故选:B【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.6C【解析】【分析】由双曲线方程求出2a ，1b ，即可得顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】由双曲线C：2214xy可知：2a ，1b ，所以顶点坐标为2,0，渐近线方程为2xy ，即20 xy，所以顶点到其渐近线的距离等于2222 5512，故选：C.7B【解析】【分析】CD 中点 P，1DD中点 Q，连接 PQ、PN、QN，根据面面平行的判定定理，可证平面PQN 平面1ABD，即 M 在平面PQN内，根据题意，可得点 M 在线段 PQ 上，在PQNV中，分别求得各个边长，根据余弦定理，求得120NPQ，根据三角函数的定义，即可求得答案.【详解】取 CD 中点 P，1DD中点 Q，连接 PQ、PN、QN，如图所示：答案第 4 页 （共 21 页）因为 P、N 分别为 CD、BC 中点，所以PNBD ，同理，P、Q 分别为 CD、1DD中点，所以11PQDCAB ，又PQPNP，,PQ PN 平面 PQN，1ABBDB，1,AB BD平面1ABD，所以平面PQN 平面1ABD，因为/ /MN平面1ABD，所以MN 平面PQN，又点M在平面11DCC D内运动，所以点 M 在平面PQN和平面11DCC D的交线上，即MPQ，在PQNV中，2PN ，1122PQCD，22( 2)26QN ，所以2221cos22PNPQQNNPQPQPN ，所以120NPQ，所以 N 点到 PQ 的最小距离6sin 1801202dPN .所以线段MN的最小值为62.答案第 5 页 （共 21 页）故选：B【点睛】解题的关键是作出平面PQN 平面1ABD，在根据题意，确定点 M 的位置，再求解，考查面面平行的判定及性质定理的应用，解三角形等知识，属中档题.8D【解析】【分析】根据题意将511x展开为125551nxxx，再根据多项式乘法求2511 2xxx的展开式的10 x项系数即可【详解】12x 时，有121122212nxxxx ，12x 时，有125555111nxxxx ，则2511 2xxx1225551212212nnxxxxxxx 则10a为2511 2xxx展开式10 x项的系数，根据多项式乘法原理可知，2511 2xxx展开式中10 x项为：128538310101 ( 2 )( 2 )22248xxxxxx ，故10a=248故选：D9ACD【解析】【分析】根据三角函数的最小正周期的公式，以及三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】答案第 6 页 （共 21 页）由函数 sin 26fxx，可得函数 fx的最小正周期为22T，所以 A 正确；令2,6xkk Z，解得,212kxkZ，所以 fx的对称中心为,0212kkZ，所以 B 错误；令2,62xkkZ，解得,23kxkZ，所以 fx的对称轴的方程为,23kxkZ，当0k 时3x，所以 C 正确；令222,262kxkkZ，解得,63kxkkZ，所以函数 fx的单调递增区间为,63kkkZ，当1k 时，单调递增区间为54(,)63，所以 D 正确.故选：ACD10AC【解析】【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.【详解】由题意得可知1A，2A，3A是两两互斥的事件，故 A 正确；13()10P A，221()105P A，31()2P A22213()35111()115P BAP B AP A，故 C 正确；由11134()410113()1110P BAP B AP A1234313133( )()()()11 1051121110P BP BAP BAP BA1( )P B AP B事件1A与事件 B 不独立，故 B、D 错误；故选：AC答案第 7 页 （共 21 页）11BCD【解析】【分析】直线的斜率不确定是否存在时，要讨论斜率是否存在；直线与抛物线相交于两个交点，通常直线设为10 xmym，联立直线与抛物线，直线与圆的方程，利用ACBD得3142yyyy，分两种情况求解，得当2r 时，对应直线l有三条.【详解】当直线l斜率不存在时，直线方程为：1x 与抛物线交于点1, 2，与圆交于点1, r，显然满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为10 xmym，由214xmyyx得2440ymy，设11,A x y，22,B xy，12yy，由韦达定理可得124yym，124y y ，2221212124161yyyyy ym由22211xmyxyr，221rym 设33,C xy，44,D xy，34yy，2234241ryym，有ACBD，3142yyyy，当3142yyyy 时，即34120yyyy，又因为124yym，所以0m (舍)当3142yyyy时，即2143yyyy，因为2221212124161yyyyy ym，2234241ryym，由此，22241611rmm，解得221rm，显然，当2r ，m有两解，对应直线有两条.2r ，0m ，此时直线斜率不存在，即为第一种情况，所以当2r 时，对应直线l有三条.故选：BCD【点睛】答案第 8 页 （共 21 页）注意直线与抛物线有两个交点时，方程设为10 xmym，将ACBD转化为3142yyyy，则需要联立方程组，这样就分析出做题思路了，根据方程解的个数来判断交点的个数，从而得出范围.12AD【解析】【分析】先求出 2f xxx，对四个选项一一一验证：对于A、 B： 利用代入法求解析式,即可判断； 对于C:分别求出221()22kkg和321()22kkg，求出21()2221()2kgkg.即可判断;对于 D：由321()22kkg，利用等比数列的求和公式即可求得31211121()122424nnkkkg .【详解】因为 2f xx是奇函数, f xx是偶函数,则有 22fxxfxxfxxfxx ，解得 2f xxx.对于 A：任取1,2x，则10,1x ，所以 2242121126g xxxxxgx .故 A 正确；对于 B：任取2,3x，则11,2x ，所以 222648212114404gxxxg xxx.故 B 错误；对于 C:当 x(2,3)时,有 x-1(1,2),x-2(0,1).所以 214242g xg xg xf x，则有2211()()222kkgg k，3211()()222kkgg k，故*21()22()21()2kgkNkg.故 C 错误;对于 D：由 C 的结论,321()22kkg，则31211121()122424nnkkkg .故 D答案第 9 页 （共 21 页）正确.故选：AD1347【解析】【详解】7 个车位都排好车辆，共有77A种方法，满足题意的排法等价于 7 辆车排列，满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位，则首先排列余下的四辆车，有44A种方法，然后从 3 辆车中挑出 2 辆车排列好之后进行捆绑，3 辆车看作 2 个元素插入 4 辆车的 5 个空位中，共有2235A A种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：4224357747A A ApA.点睛点睛： 有关古典概型的概率问题， 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.144【解析】【分析】设11,P x y，22,Q xy，两条平行光线的距离为d，则12dyy，联立直线PQ的方程与抛物线的方程，可得12yy，12y y的值，进而代入12dyy中求解.【详解】设11,P x y，22,Q xy，设两条平行光线的距离为d，由题意可知12dyy，因为1,0F，直线PQ过点F，所以可设直线PQ的方程为1xmy，mR，由241yxxmy，消去x得2440ymy，答案第 10 页 （共 21 页）则124yym，124y y ，则221216164 14dyymm，当0m 时取得等号所以两条平行关系的最小距离为 4，故答案为：4153 1122#31122【解析】【分析】以1,AB AD AA为空间向量的一组基底，用基底表示向量1,DE AC，根据向量间的夹角公式计算即可求解.【详解】由题意，ABAD2，13AA ，1160DABDAABAA 且12DEAEADABAD,11ACABADAA,211111112222DE ACABADABADAAABAB ADAB AA 12AD ABADAD AA1221111222ABAB ADAB AAADAD AA2211122 2 cos602 3 cos6022 3 cos60222 392 122 ，又22211|324DEABADABADAB AD,222211|2232(2 2 cos602 3 cos602 3 cos60ACABADAA 33,11193 11cos222 3 11|DE ACDE ACDEAC ,设异面直线1AC与 DE 所成角为，则13 11cos|cos|22DE AC.故答案为：3 1122答案第 11 页 （共 21 页）160,26【解析】由题意得出111 42nnaa，由1nnaa化简可解得02na，可得出1a的取值范围；当2n时，计算得出11111nnnnbaa ，可求得012320 02022912bbbab，由2020223a可求得1232020bbbb的取值范围，进而可求得整数k的值.【详解】对任意的nN，0na ，由211nnnaaa，即2110nnnaaa，解得111 42nnaa，由于0na ，所以，111 412nnaa，由于数列 na是递增数列，则1nnaa，可得11 42nnaa，化简可得220nnaa，解得02na，所以，1a的取值范围是0,2；211111nnnnnaaaaa，等式两边取倒数可得1111111111nnnnnaaaaa，111111nnnaaa，当2n时，11111111nnnnnnbaaa ，1232020112232019202011111111bbbbaaaaaaa1120202020202011131913122aaaaa ，2020223a，所以，22 21230200 0916, 52bbbba ，所以，6k .故答案为：0,2；6.【点睛】答案第 12 页 （共 21 页）本题考查利用数列的单调性求1a的取值范围，同时也考查了裂项相消法，考查计算能力，属于难题.17 （1）3 1010； （2）23.【解析】【分析】（1）根据正弦定理先求解出cosACB的值，然后根据余弦的二倍角公式求解出cosDCB的值；（2）在ABC和BCD分别使用正弦定理可求解出sin,sinBACBDC的关系，从而可求解出,BACBDC的关系， 通过设DCB， 根据ABC和BCD的内角关系可求解出的值，则BDC可求.【详解】解： （1）在ABC中，由正弦定理得sinsinABACACBABC.因为52,8ABCACB ABAC，所以sin2sincos8sinsin5ABCACBACBACACBACBAB所以82cos5ACB，所以4cos5ACB.因为CD平分ACB，所以24cos2cos15ACBDCB ，解得3 10cos10DCB(负根舍去).（2）因为2,2ABCACBABCDBC，所以.ACBDBC在ABC和BCD中，由正弦定理得sinsinABBCACBBAC，sinsinCDBCCBDBDC因为ABCD，所以sinsin.BACBDC因为,0,BACBDC，所以.BACBDC记DCB，则6 ,3BACBDC ，所以 63，解得9，所以23BDC.18(1)12nna-=，1nnnbnn是奇数是偶数（也可以表示成1( 1)22nnbn）答案第 13 页 （共 21 页）(2)43( 2)2326nnnTn（也可表示为452 ,33442 ,.33nnnnnTnn为奇数为偶数）【解析】【分析】（1）直接由已知条件可求出公比q，从而可求出na，由12nnbbn可得：12(1),(2)nnbbnn， 两式相减可得数列 nb的奇数项以1a为首项公差为 2 的等差数列，从而可求出nb， 或由12nnbbn可得111(1)22nnbnbn ， 得数列12nbn是1b为首项.1为公比的等比数列，从而可求出nb，（2）由（1）可得111 2,2,.nnnnnnncabnn是奇数是偶数然后分 n 是奇数和 n 是偶数，利用错位相减法可求得nT，或由（1）可得1212( 1)22nnnnnnca bn ，然后利用分组求和法，错位相减法可求得结果(1)设 na公比为 q，则35216aa q，所以2q =所以2122nnnaa q方法一：由12nnbbn可得：12(1),(2)nnbbnn两式相减得：112(2)nnbbn所以数列 nb的奇数项以1a为首项公差为 2 的等差数列，即 n 是奇数时，2111(1) 21212nknbbbkn那么 n 是偶数时，12nnbnbn即1nnnbnn是奇数是偶数（也可以表示成1( 1)22nnbn）方法二：由12nnbbn可得12nnbbn 答案第 14 页 （共 21 页）则有111(1)22nnbnbn ，所以数列12nbn是1b为首项.1为公比的等比数列， 则1111( 1)( 1)222nnnbn 即1( 1)22nnbn(2)方法一：111 2,2,.nnnnnnncabnn是奇数是偶数则012341 1223 3445 50 22 22 24 24 2nnnTa ba ba ba ba ba b当 n 是奇数时，设21nk，则0123423221 1220 22 22 24 24 2(22) 2(22) 2kknnnTa ba ba bkk0132324220 22 24 2(22) 22 24 2(22) 2kkkk1323246223 2 24 2(22) 23 1 22 23 2(1) 2kkkk 记246221 22 23 2(1) 2kkSk ，那么468241 22 23 2(1) 2kkSk 则124682224 4144322222(1) 2(1) 444133kkkkkkSkkk12444144534423332333nknnknTSkn当 n 是偶数时，1111454844(1)22222333333nnnnnnnnTTa bnnnn即452 ,33442 ,.33nnnnnTnn为奇数为偶数方法二：由1212( 1)22nnnnnnca bn 令数列1122nn的前 n 项和为nS，则答案第 15 页 （共 21 页）0121132321122222222nnnnnS121132321222222222nnnnnS所以01111113322222222222222nnnnnnSnnn 所以33222nnSn，那么11( 2)33143( 2)221( 2)212226326nnnnnnnTSnn .（也可表示为452 ,33442 ,.33nnnnnTnn为奇数为偶数）19(1)2(2)32【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC 平面11ABB A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱111ABCABC中，设点 A 到平面1ABC的距离为 h，则1111 1 1112 211433333A A BCAAABCAABC A BBCCCBVShhVSA AV，解得2h ，所以点 A 到平面1ABC的距离为2；(2)取1AB的中点 E,连接 AE,如图，因为1AAAB，所以1AEAB,又平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC平面111ABB AAB，且AE 平面11ABB A，所以AE平面1ABC，答案第 16 页 （共 21 页）在直三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC，由BC 平面1ABC，BC 平面ABC可得AEBC，1BBBC，又1,AE BB 平面11ABB A且相交，所以BC 平面11ABB A，所以1,BC BA BB两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE ，所以12AAAB，12 2AB ，所以2BC ，则10,2,0 ,0,2,2 ,0,0,0 ,2,0,0AABC,所以1AC的中点1,1,1D，则1,1,1BD ，0,2,0 ,2,0,0BABC ,设平面ABD的一个法向量, ,mx y z ，则020m BDxyzm BAy ，可取1,0, 1m ，设平面BDC的一个法向量, ,na b c，则020m BDabcm BCa ，可取0,1, 1n r，则11cos,222m nm nmn ，所以二面角ABDC的正弦值为213122.答案第 17 页 （共 21 页）20(1)2990(2)分布列见解析；期望为4712【解析】【分析】（1）求出甲乙二人都得 0 分的概率，然后由两人同时得 0 分、1 分、2 分、3 分计算概率并相加即可；（2）由题意 X 可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望(1)由题意知甲得 0 分的概率为1211135515，乙得 0 分的概率为1111142612，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为1121111129345256151290(2)X 可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，则111015 12180P X ，11111115651236P X ，111121121525651210P X ，1111211119315452563 1290P X ，11211111454523636P X ，211145543215P X ，11163412P X ，所以，随机变量 X 的分布列为：X0123456P118013611019901136415112答案第 18 页 （共 21 页）所以11119114147012345618036109036151212E X 21(1)221,(2)4xyx (2)1234k k ，点 G 在直线4x 上，证明见解析【解析】【分析】（1）由直线 AR 与 BR 的斜率之积为14，结合斜率公式，化简得出曲线 C 的方程；（2）由直线l与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明12k k，再设出直线 AM 与直线 BN 的方程，并联立方程，从而证明点 G 在定直线上.(1)因为直线 AR 与 BR 的斜率之积为14，所以1224yyxx ，即221,(2)4xyx 故曲线 C 的方程为221,(2)4xyx (2)易知直线 l 的斜率不为0，设直线l的方程为1xmy由22141xyxmy可得，224230mymy设1122,M x yN xy，则12224myym ，12234y ym12122824xxm yym，2212121224414mx xm y ym yym 2121212212121222334441622244444yyy ymk kmxxx xxxmm 设121200(2),(2)22AMBNyylyxlyxxx，记直线AM与BN的交点00,G xy则120012002222yyxxxx，即12210122222yxyxxxx211221222222yxyxxx ，答案第 19 页 （共 21 页）211221120122112212222212(2)13)23(yxyxymyy myxyxy xy myy my 212122122122221122882864232244424ymy yyyymy yymmmmyyyyyyy，故04x 即点 G 在直线4x 上.22 （1）答案不唯一，见解析； （2）2 个【解析】【分析】(1)对( )f x求导后,根据a的正负对( )fx的正负进行分情况讨论,得出对应单调性即可;(2)方法一:对( )g x求导后,对,02x ,0,2x,2x三种情况,结合零点存在性定理分别讨论零点个数;方法二:对( )g x求导后,对,02x ,0,x两种情况,结合零点存在性定理分别讨论零点个数.【详解】(1) ln2xf xeax,其定义域为R, xfxea,当0a 时,因为 0fx,所以 fx在R上单调递增,当0a 时,令 0fx得lnxa,令 0fx得lnxa,所以 fx在,lna上单调递减,ln , a 上单调递增,综上所述,当0a 时, fx在R上单调递增,当0a 时, fx在,lna单调递减,ln , a 单调递增.(2)方法一:由已知得 2cosxg xexx,2x ,则 sin2xgxex.当,02x 时,因为 1sin10 xgxex,所以 g x在,02单调递减,所以 00g xg,所以 g x在,02上无零点;答案第 20 页 （共 21 页）当0,2x时,因为 gx单调递增,且 010g ,2102ge ,所以存在00,2x,使00gx,当00,xx时, 0gx,当0,2xx时, 0gx,所以 g x在00,x递减,0,2x递增,且 00g,所以00g x,又因为202ge,所以002g xg,所以 g x在0,2x上存在一个零点,所以 g x在0,2上有两个零点;当,2x时, 2sin230 xgxexe,所以 g x在,2单调递增,因为02g,所以 g x在,2上无零点;综上所述, g x在,2上的零点个数为 2 个.方法二:由已知得 2cosxg xexx,2x ,则 sin2xgxex.当,02x 时,因为 1sin10 xgxex,所以 g x在,02单调递增,所以 00g xg,所以 g x在,02上无零点;当0,x时 cos0 xgxex,所以 gx在0,单调递增,又因为 010g , sin220gee,所以00,x使00gx,当00,xx时, 0gx,当0,xx时, 0gx所以 g x在00,x单调递减,0,x 单调递增,且 00g,所以00g x,又因为 1 20ge ,所以 00g xg,所以 g x在0,x 上存在唯一零点,所以 g x在0,上存在两个零点,答案第 21 页 （共 21 页）综上所述, g x在,2上的零点个数为 2 个.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数零点问题,含参函数常利用分类讨论法解决问题,有一定难度.