2010年高考数学压轴题系列训练五 doc--高中数学 .doc

http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 年高考年高考数学数学压轴题系列训练五压轴题系列训练五1（本小题满分 14 分）已知椭圆已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是 F1（c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动是椭圆外的动点，满 足点，满 足.2|1aQF点点 P 是 线 段是 线 段 F1Q 与 该 椭 圆 的 交 点，点与 该 椭 圆 的 交 点，点 T 在 线 段在 线 段 F2Q 上，并 且 满 足上，并 且 满 足.0|,022TFTFPT（）设）设x为点为点 P 的横坐标，证明的横坐标，证明xacaPF|1；（）求点）求点 T 的轨迹的轨迹 C 的方程；的方程；（）试问：在点）试问：在点 T 的轨迹的轨迹 C 上，是否存在点上，是否存在点 M，使使F1MF2的面积的面积 S=.2b若存在，求若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由的正切值；若不存在，请说明理由.2（本小题满分 12 分）来源:学科网函数函数)(xfy 在区间（在区间（0，+）内可导，导函数）内可导，导函数)(xf 是减函数，且是减函数，且.0)(xf设设mkxyx),0(0是曲线是曲线)(xfy 在点（在点（)(,00 xfx）得的切线方程，并设函数）得的切线方程，并设函数.)(mkxxg（）用）用0 x、)(0 xf、)(0 xf 表示表示 m；（）证明：当）证明：当)()(,),0(0 xfxgx时；（）若关于）若关于x的不等式的不等式),0231322在xbaxx上恒成立，其中上恒成立，其中 a、b 为实数，为实数，求求 b 的取值范围及的取值范围及 a 与与 b 所满足的关系所满足的关系.3 已知数列 na的首项15,a 前n项和为nS，且*15()nnSSnnN来源:学科网http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（I）证明数列1na 是等比数列；（II）令212()nnf xa xa xa x，求函数()f x在点1x 处的导数(1)f 并比较2(1)f 与22313nn的大小.来源:学*科*网4(本小题满分 14 分)已知动圆过定点,02p，且与直线2px 相切，其中0p.（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.5 已知椭圆已知椭圆 C1的方程为的方程为1422 yx，双曲线，双曲线 C2的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而的左、右顶点，而 C2的左、的左、右顶点分别是右顶点分别是 C1的左、右焦点的左、右焦点.（）求双曲线）求双曲线 C2的方程；的方程；（）若直线）若直线2:kxyl与椭圆与椭圆 C1及双曲线及双曲线 C2都恒有两个不同的交点，且都恒有两个不同的交点，且 l 与与 C2的两个交点的两个交点 A和和 B 满足满足6OBOA（其中（其中 O 为原点为原点），求，求 k 的取值范围的取值范围.6 数列数列an满满足足)1(21)11(1211nannaannn且.来源来源:Zxxk.ComyAxoB,02pFMN2px http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（）用数学归纳法证明：）用数学归纳法证明：)2(2nan；（）已知不等式）已知不等式)1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数，其中无理数 e=2.71828.7（本小题满分 12 分）已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4(,21,110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式 an.来源:Zxxk.Com2010 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1（本小题满分 14 分）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网已知椭圆已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是 F1（c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动是椭圆外的动点，满 足点，满 足.2|1aQF点点 P 是 线 段是 线 段 F1Q 与 该 椭 圆 的 交 点，点与 该 椭 圆 的 交 点，点 T 在 线 段在 线 段 F2Q 上，并 且 满 足上，并 且 满 足.0|,022TFTFPT（）设）设x为点为点 P 的横坐标，证明的横坐标，证明xacaPF|1；（）求点）求点 T 的轨迹的轨迹 C 的方程；的方程；（）试问：在点）试问：在点 T 的轨迹的轨迹 C 上，是否存在点上，是否存在点 M，使使F1MF2的面积的面积 S=.2b若存在，求若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由的正切值；若不存在，请说明理由.（）证法一：设点 P 的坐标为).,(yx由 P),(yx在椭圆上，得.)()()(|222222221xacaxabbcxycxPF由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF3 分证法二：设点 P 的坐标为).,(yx记,|,|2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr来源:Zxxk.Com由.|,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点 P 的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0 xaca由椭圆第二定义得accaxPF|21，即.|21xacacaxacPF由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF3 分（）解法一：设点 T 的坐标为).,(yx当0|PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网当|0|0|2TFPT且时，由0|2 TFPT，得2TFPT.又|2PFPQ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.在QF1F2中，aQFOT|21|1，所以有.222ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx7 分解法二：设点 T 的坐标为).,(yx当0|PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上.当|0|0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT.又|2PFPQ，所以T 为线段 F2Q 的中点.设点 Q 的坐标为（yx,），则.2,2yycxx因此.2,2yycxx由aQF2|1得.4)(222aycx将代入，可得.222ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx7 分（）解法一：C 上存在点 M（00,yx）使 S=2b的充要条件是.|221,2022020bycayx由得ay|0，由得.|20cby所以，当cba2时，存在点 M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点 M.11 分当cba2时，),(),(002001yxcMFyxcMF，由2222022021bcaycxMFMF，212121cos|MFFMFMFMFMF，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22121sin|21bMFFMFMFS，得.2tan21MFF解法二：C 上存在点 M（00,yx）使 S=2b的充要条件是.|221,2022020bycayx由得.|20cby上式代入得.0)(2224220cbacbacbax于是，当cba2时，存在点 M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点 M.11 分当cba2时，记cxykkcxykkMFMF00200121,，由,2|21aFF知9021MFF，所以.2|1|tan212121kkkkMFF14 分2（本小题满分 12 分）函数函数)(xfy 在区间（在区间（0，+）内可导，）内可导，导函数导函数)(xf 是减函数，且是减函数，且.0)(xf设设mkxyx),0(0是曲线是曲线)(xfy 在点（在点（)(,00 xfx）得的切线方程，并设函数）得的切线方程，并设函数.)(mkxxg（）用）用0 x、)(0 xf、)(0 xf 表示表示 m；（）证明：当）证明：当)()(,),0(0 xfxgx时；（）若关于）若关于x的不等式的不等式),0231322在xbaxx上恒成立，其中上恒成立，其中 a、b 为实数，为实数，求求 b 的取值范围及的取值范围及 a 与与 b 所满足的关系所满足的关系.（）解：).()(000 xfxxfm2 分（）证明：令.0)(),()()(),()()(00 xhxfxfxhxfxgxh则因为)(xf 递减，所以)(xh递增，因此，当0)(,0 xhxx时；当0)(,0 xhxx时.所以0 x是)(xh唯一的极值点，且是极小值点，可知)(xh的最小值为 0，因此,0)(xh即).()(xfxg6 分来源:Zxxk.Comhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（）解法一：10 b，0a是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.0)1(,122baxxbaxx即对任意),0 x成立的充要条件是.)1(221ba另一方面，由于3223)(xxf满足前述题设中关于函数)(xfy 的条件，利用（II）的结果可知，3223xbax的充要条件是：过点（0，b）与曲 线3223xy 相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为.)2(21bxby于是3223xbax的充要条件是.)2(21ba 10 分来源:学#科#网Z#X#X#K综上，不等式322231xbaxx对任意),0 x成立的充要条件是.)1(2)2(2121bab来源:学_科_网Z_X_X_K显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121bb来源:学&科&网有解、解不等式得.422422b因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.12 分（）解法二：0,10ab是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.0)1(,122baxxbaxx即对任意),0 x成立的充要条件是.)1(221ba8 分令3223)(xbaxx，于是3223xbax对任意),0 x成立的充要条件是.0)(x由.0)(331axxax得当30ax时;0)(x当3 ax时，0)(x，所以，当3 ax时，)(x取最小值.因此0)(x成立的充要条件是0)(3a，即.)2(21ba10 分综上，不等式322231xbaxx对任意),0 x成立的充要条件是.)1(2)2(2121babhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网显然，存在 a、b 使式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(bb来源:学*科*网有解、解不等式得.422422b因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.12 分3 已知数列 na的首项15,a 前n项和为nS，且*15()nnSSnnN（I）证明数列1na 是等比数列；（II）令212()nnf xa xa xa x，求函数()f x在点1x 处的导数(1)f 并比较2(1)f 与22313nn的大小.解：由已知*15()nnSSnnN可得12,24nnnSSn两式相减得1121nnnnSSSS即121nnaa从 而1121nnaa 当1n 时2121 5SS 所 以21126aaa又15a 所以211a 从而21121aa 故总有112(1)nnaa，*nN又115,10aa 从而1121nnaa即数列1na 是等比数列；（II）由（I）知3 21nna 因为212()nnf xa xa xa x所以112()2nnfxaa xna x从而12(1)2nfaana=23 2 12 3 21(3 21)nn=23 22 22nn-1 2n=1(1)31 262nn nn由上22(1)2313121 2nfnnn-212 21nn=121 2121(21)nnnn=12(1)2(21)nnn当1n 时，式=0 所以22(1)2313fnn；当2n 时，式=-120所以22(1)2313fnn当3n 时，10n 又01121 1nnnnnnnnCCCC2221nn所以12210nnn即0从而2(1)f 22313nnyAxoB,02pFMN2px http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网4(本小题满分 14 分)已知动圆过定点,02p，且与直线2px 相切，其中0p.（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设 A、B 是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I）如图，设M为动圆圆心，,02p为记为F，过点M作直线2px 的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线2px 的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,02pF为焦点，2px 为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx P；（II）如图，设1122,A x yB x y，由题意得12xx（否则）且12,0 x x 所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb，显然221212,22yyxxpp，将ykxb与22(0)ypx P联立消去x，得2220kypypb由韦达定理知121222,ppbyyyykk（1）当2时，即2时，tantan1所以121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy yp所以2124y yp由知：224pbpk所以2.bpk因此直线AB的方程可表示为2ykxPk，即(2)0k xPy所以直线AB恒过定点2,0p（2）当2时，由，得tantan()=tantan1tantan=122122()4p yyy yp将式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此时，直线AB的方程可表示为ykx22tanppk即2(2)0tanpk xpy所以直线AB恒过定点22,tanpphttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以由（1）（2）知，当2时，直线AB恒过定点2,0p，当2时直线AB恒过定点22,tanpp.5 已知椭圆已知椭圆 C1的方程为的方程为1422 yx，双曲线，双曲线 C2的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而的左、右顶点，而 C2的左、的左、右顶点分别是右顶点分别是 C1的左、右焦点的左、右焦点.（）求双曲线）求双曲线 C2的方程；的方程；（）若直线）若直线2:kxyl与椭圆与椭圆 C1及双曲线及双曲线 C2都恒有两个不同的交点，且都恒有两个不同的交点，且 l 与与 C2的两个交点的两个交点 A和和 B 满足满足6OBOA（其中（其中 O 为原点为原点），求，求 k 的取值范围的取值范围.解：（）设双曲线 C2的方程为12222byax，则.1,31422222bcbaa得再由故 C2的方程为.1322 yx（II）将.0428)41(1422222kxxkyxkxy得代入由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即.412k0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将.由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222kkkkkk且即)2)(2(,66319,3126),(),(22BABABABABABABABABBAAkxkxxxyyxxyyxxOBOAkxxkkxxyxByxA而得由则设http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网.1373231262319)1(2)(2)1(222222kkkkkkkxxkxxkBABA.0131315,613732222kkkk即于是解此不等式得.31151322kk或由、得.11513314122kk或故 k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1(6 数列数列an满足满足)1(21)11(1211nannaannn且.（）用数学归纳法证明：）用数学归纳法证明：)2(2nan；来源来源:学科网学科网 ZXXK（）已知不等式）已知不等式)1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数，其中无理数 e=2.71828.（）证明：（1）当 n=2 时，222a，不等式成立.（2）假设当)2(kkn时不等式成立，即),2(2kak那么221)1(11(1kkkakka.这就是说，当1 kn时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22nak对所有成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有)1.()2111(21)11(221nannannannnnn两边取对数并利用已知不等式得nnnannaln)2111ln(ln21.211ln2nnnna故nnnnnaa21)1(1lnln1).1(n上式从 1 到1n求和可得121212121)1(1321211lnlnnnnnaahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网.22111121121121111)3121(211nnnnn即).1(,2ln2neaann故（）证法二：由数学归纳法易证2)1(2nnnn对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21nnnannannannnn令).2()1(11(),2(11nbnnbnabnnnn则取对数并利用已知不等式得nnbnnbln)1(11ln(ln1).2()1(1lnnnnbn上式从 2 到 n 求和得)1(1321211lnln21nnbbn.11113121211nn因).2(3,3ln1ln.313ln11122neebbabnn故故1,2,132222121neaeaeaneeann对一切故又显然成立.7（本小题满分 12 分）已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4(,21,110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式 an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21,10010aaaa210 aa，命题正确.2假设 n=k 时有.21kkaahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时).4)(21)(21)(211111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0,04.0111kkkkkkaaaaaa又.2)2(421)4(2121kkkkaaaa1 kn时命题正确.由 1、2知，对一切 nN 时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21,10010aaaa2010aa；2假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaannnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2则令,又 bn=1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即