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随机过程课件(第一部分)第1页，此课件共123页哦个人简介1963年生，安徽怀宁人，1978年高中一年级提前考入浙江大学电机工程系，1988年和1996年获中国科大信号与信息处理学科硕士/博士学位，1997-1999年在中国科大分子生物学学科做博士后,曾获中国博士后科学基金自然科学基金等基金项目资助和安徽省科技进步二等奖,是中国神经网络学会委员。当前主要研究领域：复杂系统与计算智能智能信息处理业余爱好：数学、文学、桥牌第2页，此课件共123页哦第第一一讲讲 随随机机过过程程概概述述人类历史上最辉煌的人类历史上最辉煌的科学时代科学时代：1.1.古希腊时期（古希腊时期（公元前公元前2 2世纪前后世纪前后）亚里士多德、毕达哥拉斯、欧几里德亚里士多德、毕达哥拉斯、欧几里德等等 中国的春秋战国时期中国的春秋战国时期孔子、诸子百家孔子、诸子百家 2.2.牛顿时代牛顿时代经典物理学经典物理学3.3.二十世纪二十世纪的三次科学革命的三次科学革命：|爱因斯坦爱因斯坦相对论相对论|普朗克等普朗克等量子论量子论|非线性科学（非线性科学（6060年代前后）：年代前后）：混沌、分形、孤立子、耗散结构（混沌、分形、孤立子、耗散结构（普里高津普里高津）第3页，此课件共123页哦第第一一讲讲 随随机机过过程程概概述述当代科学的发展特点当代科学的发展特点从从 2 到到 3(一为一为单单,二为二为双双,三为三为多多)体现了体现了哲学观念哲学观念的重大变革的重大变革!l科技尖端科技尖端极大极大极小极小极复杂极复杂l研究手段研究手段理论理论实验实验模拟模拟l研究对象研究对象物质物质能量能量信息信息l研究方法研究方法分析分析还原还原系统集成系统集成l信号系统信号系统连续连续离散离散脉动脉动数学数学（函）数形（几何）结构第4页，此课件共123页哦第第一一讲讲 随随机机过过程程概概述述这些发展导致：这些发展导致：确定性的丧失确定性的丧失！我们要研究的问题：我们要研究的问题：基本上都是基本上都是不确定性不确定性问题！问题！值得思考：值得思考：随机性是如何产生的？随机性是如何产生的？（产生机理机制）（产生机理机制）研究随机过程的目的？研究随机过程的目的？研究随机性的方法和手段？研究随机性的方法和手段？科学技术发展的源泉科学技术发展的源泉-路甬祥路甬祥 1.生产、生活的需求生产、生活的需求 2.模拟自然模拟自然好奇好奇(推动科技发展的第一动力推动科技发展的第一动力)第5页，此课件共123页哦课程论文课程论文课程论文课程论文/报告：报告：报告：报告：格式：格式：格式：格式：1.1.标题标题标题标题 2.2.姓名、学号、单位姓名、学号、单位姓名、学号、单位姓名、学号、单位 3.3.提要提要提要提要 4.4.关键词关键词关键词关键词 5.5.正文正文正文正文 6.6.参考文献参考文献参考文献参考文献篇幅：篇幅：篇幅：篇幅：60006000字版面字版面字版面字版面科技论文写法：科技论文写法：科技论文写法：科技论文写法：4w4w1.What?hat?2.Why?hy?3.3.HoHow?4.Whom?hom?第6页，此课件共123页哦第第一一讲讲 随随机机过过程程概概述述一些典型的随机过程：一些典型的随机过程：1.炮弹着点问题：炮弹着点问题：科大与两弹一星科大与两弹一星“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”这就是著名的“钱学森之问”。钱学森为中国科大最主要的创建者之一！教育部“珠峰计划”据说就是响应“钱学森之问”的！第7页，此课件共123页哦郭沫若、钱学森、华罗庚、严济慈等铜像【谈到科学与艺术的交融时，严加安院士认为，这首先指的是艺术的科学化和科学的艺术化。他说：屈原的长诗天问是科学和艺术的完美结合，通篇以诗歌的形式用诘问语气提出了170多个问题，涉及宇宙、自然、社会和人生等未知领域，凸显了诗人“众人皆醉我独醒”。第8页，此课件共123页哦诚如法国著名文学家福楼拜所说：“科学与艺术在山脚下分手，在山顶汇合。”随着人类社会的发展，科学与艺术的交融，越来越受到人们的关注，并已成为当今世界科学文化发展的特征之一。】-严加安院士严加安院士作客中国科大中国科大报告节选。第9页，此课件共123页哦2.拉面问题拉面问题（面包师变换面包师变换）确定性随机：混沌确定性随机：混沌3.蝴蝶效应蝴蝶效应：北半球的蝴蝶翅膀煽动一下，北半球的蝴蝶翅膀煽动一下，有可能引发南太平洋上的一场飓有可能引发南太平洋上的一场飓风！风！(混沌混沌系统系统,复杂复杂系统系统)第10页，此课件共123页哦第第一一讲讲 随随机机过过程程概概述述拉面问题：拉面问题：将单位长线段拉长一倍，将单位长线段拉长一倍，再对折，然后重复这一过程。再对折，然后重复这一过程。设线段上某点初始坐标为设线段上某点初始坐标为:经经 n 次操作后位置为：次操作后位置为：则则:第11页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述为方便计算，用二进制表示于是初始状态：记：则：第12页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述混沌：指一类具有不可预测指一类具有不可预测(物理上物理上)行为的确定性（行为的确定性（数数学上学上）运动）运动。特点：对初始状态敏感对初始状态敏感（差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里）；误差呈指数级增长误差呈指数级增长。混沌运动的短期行为对初始值初始值敏感；敏感；混沌运动的长期行为跟 随机运动随机运动 无异。第13页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述“天才在于勤奋，聪明在于积累天才在于勤奋，聪明在于积累”华罗庚华罗庚10%：10年：年：2.5920年：年：6.740年：年：45.360年：年：304.5业精于勤，行成于思！业精于勤，行成于思！谋事在人，成事在天！谋事在人，成事在天！人生人生=走在混沌轨道上的随机过程走在混沌轨道上的随机过程!起跑线上起跑线上:领先一步领先一步,可能领先一辈子可能领先一辈子!随机理论支持随机理论支持这一结论这一结论.第14页，此课件共123页哦人生人生=走在混沌轨道上的随机过程走在混沌轨道上的随机过程!诗人海子诗人海子诗人海子诗人海子第15页，此课件共123页哦走在混沌人生轨道上！|1978年3月底，诗人郭沫若发表最后绝唱：科学的春天|5月1鈤，高河中学举行首次作文竞赛，题目是【我爱科学的春天】，査海生获作文竞赛第三名。|从此，改学文科，考入北大法律系。第16页，此课件共123页哦我把石头还给石头让胜利的胜利今夜青稞只属于她自己一切都在生长“姐姐，今夜我不关心人类，我只想你！”我把【石头】还给百科全书式大学者复社公子方以智（石公、无道人、宓山子.）了！海子曾经也是个红迷！第17页，此课件共123页哦又到清明季节-怀念海子|春风吹拂着小河流淌的诗句麦苗抚摸着倾注泪痕的标点|在面朝大海的山坡上诗魂音魄循着天堂与人间未来的轨道久久徘徊|第18页，此课件共123页哦2.拉面问题拉面问题（面包师变换面包师变换）确定性随机：混沌确定性随机：混沌3.蝴蝶效应蝴蝶效应：北半球的蝴蝶翅膀煽动一下，有可能引北半球的蝴蝶翅膀煽动一下，有可能引发南太平洋上的一场飓风！发南太平洋上的一场飓风！(混沌混沌系统系统,复杂复杂系统系统)第19页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述3.蝴蝶效应（续）蝴蝶效应（续）牛顿体系牛顿体系：微分方程微分方程确定，确定，初始状态初始状态确定，运动的确定，运动的轨迹轨迹就是就是确定的。（未来时刻的状态或位置就是确定的。（未来时刻的状态或位置就是可预测可预测的）的）气象系统是一种严重气象系统是一种严重非线性非线性 的的复杂复杂 系统。系统。初始状态的初始状态的微弱微弱变化可能引发预测结果的变化可能引发预测结果的巨大巨大变化变化(混沌混沌)。所以气象预报本质上只能作所以气象预报本质上只能作“短期短期”预测预测!三国三国:孔明借东风孔明借东风演义神化性质的演义神化性质的,实际上暴露了实际上暴露了“智者千虑智者千虑,必有必有一失一失”的军事运筹上的失误的军事运筹上的失误!结果结果:天要亡曹天要亡曹,夫复何求夫复何求?!=气象的气象的随机性随机性和和不可预测性不可预测性!第20页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述4.中国农民问题中国农民问题“一亩三分地一亩三分地”-江绵恒 副院长 “一个月过年一个月过年,三个月种田三个月种田,八个月赌钱八个月赌钱!”-潜伏着巨大的社会危机潜伏着巨大的社会危机!赌钱赌钱打麻将打麻将,斗地主等斗地主等:典型的典型的随机过程随机过程.打桥牌打桥牌:包含包含“确定性确定性”和和“随机性随机性”,总体上还是总体上还是随机过程随机过程.围棋围棋,象棋象棋:本质上可能不是本质上可能不是随机性质随机性质的的.但但算法复杂度算法复杂度极高极高,人或机器的人或机器的计算能力有限计算能力有限(算不清算不清),),所以实际上还是所以实际上还是随机过程随机过程.这些都是这些都是娱乐娱乐活动活动!随机性常给人类带来惊喜和高品位随机性常给人类带来惊喜和高品位的精神享受的精神享受!第21页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述算法复杂度算法复杂度极高引起的极高引起的“现实现实”随机过程随机过程:NP 类计算问题都具有这种性质类计算问题都具有这种性质!（NP COMPLETE）Non-deterministic Polynomial 例如例如:货郎担货郎担问题问题,作业调度作业调度问题问题,背包背包问题问题,大数因子分解大数因子分解问题等等问题等等.-规模效应规模效应 引发的系统复杂性和随机性引发的系统复杂性和随机性!例如例如:货郎担货郎担问题问题如果解决如果解决2020个城市的个城市的货郎担货郎担问题需要问题需要1 1天时间天时间;2121城市城市:21:21天天 2222城市城市:462:462天天 2323城市城市:29:29年年2424城市城市:700:700年年 2525城市城市:175:175 世纪世纪 3030城市城市:3000:3000亿年亿年-地球可能都毁灭了地球可能都毁灭了!解决这类问题解决这类问题:多采用多采用“随机化随机化的优化方法的优化方法”第22页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述5.5.醉汉行走问题醉汉行走问题(随机游动问题随机游动问题)-以概率 p 向前走一步,以概率 q 向后退一步.预测醉汉某时刻行走到什么位置醉汉某时刻行走到什么位置典型的随机过程典型的随机过程.-马尔柯夫过程马尔柯夫过程:未来未来仅与仅与现状现状相关相关,跟跟历史历史无关无关!醉汉醉汉:短时丧失记忆短时丧失记忆?-?-原因与机理何在原因与机理何在?第23页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述6.电话总机某段时间接受的呼叫次数电话总机某段时间接受的呼叫次数 -复杂性复杂性7.交通事故交通事故 -局部信息局部信息8.意外事件：惊喜，悲伤，创新，灵感意外事件：惊喜，悲伤，创新，灵感,智能智能复杂随机过程复杂随机过程 涌现出的结果涌现出的结果.9.遗传演化过程：遗传演化过程：演化动力：自然选择，基因突变，区域隔离，随机瞟变演化动力：自然选择，基因突变，区域隔离，随机瞟变 第24页，此课件共123页哦第一讲第一讲第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述随机过程概述随机过程概述门德尔门德尔的的“基因遗传学说基因遗传学说”达尔文达尔文的的“生物进化论生物进化论”木村资生木村资生的的“中性进化学说中性进化学说”随机瞟变随机瞟变-“观察与思考观察与思考”是极为重要的科研素质是极为重要的科研素质!-向自然学习向自然学习,向社会学习向社会学习,向古今中外学习向古今中外学习,向一草一木学习向一草一木学习.“一片树叶”也蕴含着复杂,自然的计算机制和计算机理.第25页，此课件共123页哦第一讲第一讲第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述随机过程概述随机过程概述10.10.信号处理信号处理:滤波滤波,编码编码,加密加密,分离分离,音频信号处理音频信号处理,视频信号处理视频信号处理,脑电脑电脑磁信号处理脑磁信号处理等等11.11.数据挖掘数据挖掘(信息信息,功能功能):):随机序列分析随机序列分析.12.12.经济发展经济发展,金融股市涨跌金融股市涨跌,自由市场的价位波动自由市场的价位波动.13.13.自然灾害自然灾害:水灾和火灾的蔓延水灾和火灾的蔓延,地震地震,海啸的形成海啸的形成.14.14.公共安全公共安全:流行病的传播等流行病的传播等15.15.社会历史发展社会历史发展复杂的随机过程复杂的随机过程.第26页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述 随机过程基本概念随机过程基本概念1.1.随机过程随机过程定义定义1.1:如果对于每个确定的（时刻或位置）如果对于每个确定的（时刻或位置）t1 T,X(t1)都是一个随机变量，都是一个随机变量，那么就称那么就称 X(t)为一随机过程。为一随机过程。其中，其中，T 称作参数集，多为时间和空间参数称作参数集，多为时间和空间参数 第27页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述随机过程:Stochastic Process-随机性随机性概率:Probability-倾向性倾向性随机存取:Random Access随意访问随意访问数学上的一些“猜想”Guess-推测推测Bet ,Gamble等近义词等近义词随机化技术随机化技术:随机化程序:Randomize Routine随机分组设计:Randomized block design 第28页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述2.独立过程（独立过程（不同时刻的状态之间相互独立，互不影响）不同时刻的状态之间相互独立，互不影响）定义定义1.2:对于时间对于时间 t 的任意的任意 n 个数值个数值 t1,t2,t3,tn,如果随机变量如果随机变量 X(t1)，X(t2)，X(tn)是相互独立的，是相互独立的，或者说随机过程或者说随机过程X(t)的的 n 维联合分布函数维联合分布函数可以表示成：可以表示成：第29页，此课件共123页哦第一讲 随机过程概述性质：独立随机过程的一维分布函数包含了该过程的全部统计信息。性质：独立随机过程的一维分布函数包含了该过程的全部统计信息。注：注：连续参数连续参数的独立随机过程从的独立随机过程从物理观点物理观点来看是不存在的。来看是不存在的。3.独立增量过程独立增量过程（增量相互独立）（增量相互独立）定义定义1.3 增量增量 相互独立相互独立,则称该过程为独立增量过程则称该过程为独立增量过程。独立增量过程的重要子类是独立增量过程的重要子类是泊松泊松(Poisson)过程过程和和维纳（维纳（Wiener）过）过程程。(1918年年维纳维纳得出了布朗运动的精确数学公式得出了布朗运动的精确数学公式)信息论的先驱，控制论的奠基人，著名数学家，神童信息论的先驱，控制论的奠基人，著名数学家，神童第30页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述4.马尔柯夫（马尔柯夫（Markov）过程）过程 过程未来的状态仅跟过程未来的状态仅跟当前状态当前状态有关有关,跟过去状态无关跟过去状态无关.这个特性这个特性称称无后效性无后效性.1906年俄国数学家Markov 对这一过程进行了研究，这类过程犹如某些可以用通对这一过程进行了研究，这类过程犹如某些可以用通常的微分方程常的微分方程初值初值问题所描述的物理过程。问题所描述的物理过程。特点：当过程在时刻特点：当过程在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t(tt0)的状的状态与过程在时刻态与过程在时刻t0之前的状态无关，这个特性称为之前的状态无关，这个特性称为无后效性，或无后效性，或 Markov 特性。特性。（具体定义以后会详细讲。）（具体定义以后会详细讲。）例：遗传过程，赌博过程，醉汉行走，等例：遗传过程，赌博过程，醉汉行走，等第31页，此课件共123页哦第一讲 随机过程概述5.平稳随机过程平稳随机过程过程的主要随机特性与过程的主要随机特性与时间起点时间起点无关无关.例：贝努利实验，泊松过程例：贝努利实验，泊松过程,赌博过程等。赌博过程等。气象预测，股市整体走势分析，医疗诊断等气象预测，股市整体走势分析，医疗诊断等-局部局部,短时的平稳性短时的平稳性.平稳性平稳性:可利用过去的经验去预测未来可利用过去的经验去预测未来.第32页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述随机过程的分类随机过程的分类 按随机特性分类：按随机特性分类：(1)独立随机过程独立随机过程 不同时刻的状态之间相互独立，互不影响。不同时刻的状态之间相互独立，互不影响。(2)马尔柯夫（马尔柯夫（Markov）过程）过程 过程未来的状态仅跟过程未来的状态仅跟当前状态当前状态有关有关,跟过去状态无关跟过去状态无关.这个特性称这个特性称无后效性无后效性.(3)平稳随机过程平稳随机过程 过程的主要随机特性与过程的主要随机特性与时间起点时间起点无关无关.(4)独立增量过程独立增量过程,有限方差过程等有限方差过程等 第33页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述按参数与状态空间分类：按参数与状态空间分类：1.离散参数离散参数 离散参数随机过程又称随机序列。离散参数随机过程又称随机序列。2.连续参数连续参数3.状态空间可列状态空间可列4.状态空间连续状态空间连续5.各种组合各种组合本课程教学内容：本课程教学内容：1.1.随机过程理论随机过程理论2.2.随机过程模拟随机过程模拟3.3.随机过程应用随机过程应用随机信号分析随机信号分析 第34页，此课件共123页哦第一讲第一讲 随机过程概述随机过程概述学习方法建议:1.1.多查文献资料多查文献资料(尤其外文尤其外文)2.2.多思考一些随机问题多思考一些随机问题(物理概念要清晰物理概念要清晰)3.3.多动手多动手(多运用计算机及其网络编程多运用计算机及其网络编程,多写一写文章多写一写文章)4.4.多讨论交流多讨论交流.5.5.立足前沿立足前沿,敢于提出问题敢于提出问题,敢于创新敢于创新.第35页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程 2.1 Poisson过程过程 *随机建模的重要随机建模的重要理论基石理论基石 *广泛的应用背景广泛的应用背景 *增量服从增量服从Poisson分布分布 故称故称Poisson过程过程历史：历史：v1837年，泊松从二项分布出发，推导出在理论和应用上都非常重要的年，泊松从二项分布出发，推导出在理论和应用上都非常重要的泊泊松分布松分布。v1896年，年，Von Bortkiewicz 研究了普鲁士军队中被马踢死的人数分布。研究了普鲁士军队中被马踢死的人数分布。v1909年，年，Erlang 研究了电话交换台的呼唤问题。研究了电话交换台的呼唤问题。v1910年，年，Bateman研究了研究了 粒子的计数问题。粒子的计数问题。第36页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程 典型典型 Poisson 过程主要有过程主要有:1.1.电话总机所接到的传呼次数（不能电话总机所接到的传呼次数（不能饱和饱和）2.2.二战炮弹的弹着点（不是指二战炮弹的弹着点（不是指“导弹导弹”）3.3.交通流中的事故数交通流中的事故数,设备的故障发生数设备的故障发生数 4.4.灾害纪录灾害纪录(水灾水灾,火灾火灾,地震地震,瘟疫等瘟疫等)5.5.网站网虫访问次数网站网虫访问次数 6.6.车站码头候车候船候机的人数车站码头候车候船候机的人数 7.7.细胞中染色体的交换事件细胞中染色体的交换事件 等等等等第37页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程计数过程定义计数过程定义:定义定义 2.1 一个随机过程一个随机过程N(t),t0 称为称为计数过程计数过程(counting process),如果如果N(t)表示在表示在(0,t内事件内事件A出现的次数出现的次数.显然显然:N(t)0;N(t)是整数是整数;如果如果 st,则则 N(s)N(t);对于对于s0 ,s 0,0,增量增量 N(s+t)-N(S)服从参数为服从参数为tt 的的Poisson分布分布,即即:第40页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程以上定义中以上定义中:1.齐次泊松过程齐次泊松过程 简称简称泊松过程泊松过程;2.条件条件规定了初始条件规定了初始条件,不是实质性的限制不是实质性的限制;3.条件条件规定了规定了泊松过程泊松过程的的增量独立性增量独立性,蕴含蕴含泊松过程泊松过程的的马马尔柯夫性尔柯夫性;4.条件条件 蕴含了该过程的蕴含了该过程的增量平稳性增量平稳性,增量分布特性仅跟时增量分布特性仅跟时间间隔间间隔(s+t)-s=t相关相关,而与世间起始位置无关而与世间起始位置无关.5.参数参数反映了随机事件发生的频繁性反映了随机事件发生的频繁性,常称常称“强度强度”或或“速率速率”第41页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程v偶然事件偶然事件/稀有事件稀有事件/罕见事件罕见事件 的概率分布常服从的概率分布常服从Poisson 分布分布.这是由于当试验次数很多而每次试验这是由于当试验次数很多而每次试验的成功概率很小时的成功概率很小时,二项分布可以逼近二项分布可以逼近Poisson 分布分布.v这一性质的自然推广这一性质的自然推广,我们可以得到几个我们可以得到几个泊松过程泊松过程的的等价定义等价定义.第42页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程定理定理2.1 下列四组条件中的任一组都是有限值计数下列四组条件中的任一组都是有限值计数过程过程 N(t),t0N(t),t0 为为齐次泊松过程齐次泊松过程的充分必要条件的充分必要条件:v 条件条件2.1(1)2.1(1)PN(0)=0=1PN(0)=0=1;(2)(2)有平稳增量有平稳增量;(3)(3)对任意对任意 h0,h0,当当 h h0 0 时时,PN(h)PN(h)2=o(h)2=o(h);(4)(4)有独立增量有独立增量.第43页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程v 条件条件2.2(1)2.2(1)PN(0)=0=1PN(0)=0=1;(2)(2)有平稳增量有平稳增量;(3)(3)几乎处处有序几乎处处有序;(4)(4)有独立增量有独立增量.v 条件条件2.32.3 (1)(1)PN(0)=0=1 PN(0)=0=1;(2)(2)对任意对任意 h0 h0 和和t t0,当当 h h0 0 时时,PN(t+h)-N(t)PN(t+h)-N(t)2=o(h),2=o(h),且且 PN(t+h)-N(t)=1=PN(t+h)-N(t)=1=hh+o(h);+o(h);(3)(3)有独立增量有独立增量.第44页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程齐次泊松（齐次泊松（Poisson）过程的主要特征）过程的主要特征:v平稳性平稳性(时间齐次性时间齐次性,时齐性时齐性)v无后效性无后效性(马尔柯夫性马尔柯夫性)v有序性有序性(普通性普通性)第45页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程证明：证明：Poisson 分布：分布：第46页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程（指数函数幂级数展开指数函数幂级数展开）证毕证毕第47页，此课件共123页哦指数函数泰勒级数展开指数函数泰勒级数展开第48页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程引理引理 2.1 设实值函数设实值函数 f(t)(t 0)满足函数方程满足函数方程 且它还满足下列条件中的任一条：且它还满足下列条件中的任一条：（1）f(t)是左或右连续函数；是左或右连续函数；（2）f(t)是单调函数；是单调函数；（3）f(t)在任意区间有界；在任意区间有界；则，则，f(t)要么恒等于要么恒等于0，要么存在一常数，要么存在一常数，使得：，使得：第49页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程证明：证明：对任意正整数对任意正整数 n 和和 m，据题设条件：据题设条件：即对于任意正有理数即对于任意正有理数 t 0 有：有：（根据连续、单调、有界等条件，可将（根据连续、单调、有界等条件，可将 t 推广到推广到任意实数任意实数的情形，证略）的情形，证略）又因为：又因为：所以，如果所以，如果 f(t)不恒等于零，则必有：不恒等于零，则必有：f(t)0.第50页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程对于对于 f(1)0 的情形，令：的情形，令：第51页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程定理定理2.3 若有限值计数过程若有限值计数过程N(t),t 0 具有平稳增量和独具有平稳增量和独立增量，则对于所有立增量，则对于所有 t 0 而且强度：而且强度：第52页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程证明：令证明：令 易见对任意易见对任意 有有由平稳性和独立性假设得：由平稳性和独立性假设得：由概率性质知由概率性质知 是单调的，再根据引理是单调的，再根据引理2.1知，或者知，或者 ，或者存在一常数，或者存在一常数 ，使得：，使得：第53页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程最后：最后：证毕证毕 说明：说明：理论上不存在这种情况（同学们可自己思考、证明），理论上不存在这种情况（同学们可自己思考、证明），无实际意义。无实际意义。第54页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程 2.2 Poisson过程与若干分布过程与若干分布1.Poisson过程与均匀分布过程与均匀分布 定理定理2.4 设齐次设齐次泊松过程泊松过程N(t),t 0 的强度为的强度为，区，区间（间（0，T内恰好发生内恰好发生1个随机事件，则这个随机事件的发生个随机事件，则这个随机事件的发生时间有在（时间有在（0，T上的上的均匀分布均匀分布。证明：对于任意实数证明：对于任意实数 第55页，此课件共123页哦第56页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程推广到推广到 n 个随机事件情形。个随机事件情形。定理定理2.5 设齐次设齐次泊松过程泊松过程N(t),t 0 的强度为的强度为，对任意实数，对任意实数T0,区间区间（0，T 内恰好发生内恰好发生 n 个随机事件，则这个过程的个随机事件，则这个过程的前前 n 个随机事件发生时间个随机事件发生时间 与与 n 个在个在（0，T上上均匀分布均匀分布的相互独立随机变量的相互独立随机变量 的次序统计量有相同的的次序统计量有相同的 n 维联合分布维联合分布。第57页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程2.Poisson过程与过程与二项分布二项分布 设齐次设齐次泊松过程泊松过程N(t),t 0 的强度为的强度为，区间，区间（0，T内恰内恰好发生好发生1个随机事件，个随机事件，s 为为（0，T 的点，据前面所述定理：的点，据前面所述定理：第58页，此课件共123页哦第二讲第二讲第二讲第二讲 泊松（泊松（泊松（泊松（PoissonPoisson）过程）过程）过程）过程定理定理2.6 设齐次设齐次泊松过程泊松过程N(t),t 0 的强度为的强度为，对任意，对任意000 和和和和 N=N(t),t N=N(t),t 00 是强度分别为是强度分别为是强度分别为是强度分别为 和和和和 的齐次的齐次的齐次的齐次PoissonPoisson过程过程过程过程,且这两过程相互独立且这两过程相互独立且这两过程相互独立且这两过程相互独立.令令令令:过程过程过程过程K=K(t),t K=K(t),t 00 称作过程称作过程称作过程称作过程 M M 和和和和 N N 的的的的叠加叠加叠加叠加.MM N NK第66页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程定理定理定理定理2.8 2.8 上面定义的过程上面定义的过程上面定义的过程上面定义的过程 K K 是具有强度为是具有强度为是具有强度为是具有强度为的的的的齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程.证明证明证明证明:第67页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程 这样这样这样这样,我们就证明了我们就证明了我们就证明了我们就证明了K(B)K(B)有参数为有参数为有参数为有参数为 的泊松分布的泊松分布的泊松分布的泊松分布.需要特别指出的是需要特别指出的是需要特别指出的是需要特别指出的是:两相互独立的齐次泊松过程之两相互独立的齐次泊松过程之两相互独立的齐次泊松过程之两相互独立的齐次泊松过程之差差差差未必一定未必一定未必一定未必一定是齐次泊松过程是齐次泊松过程是齐次泊松过程是齐次泊松过程.(事件发生数可能取负值事件发生数可能取负值事件发生数可能取负值事件发生数可能取负值)第68页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程2.2.稀疏与分解稀疏与分解稀疏与分解稀疏与分解 设事件设事件设事件设事件E E的发生形成的发生形成的发生形成的发生形成强度为强度为强度为强度为齐次齐次齐次齐次泊松过程泊松过程泊松过程泊松过程N(t),t N(t),t 00 .如果每一发生的事件只以概率如果每一发生的事件只以概率如果每一发生的事件只以概率如果每一发生的事件只以概率 p p 被记录到被记录到被记录到被记录到.用用用用 M M 表示被记录到表示被记录到表示被记录到表示被记录到的事件序列的事件序列的事件序列的事件序列,并称过程并称过程并称过程并称过程 MM 为过程为过程为过程为过程 N N 的一个的一个的一个的一个随机稀疏随机稀疏随机稀疏随机稀疏.(.(或随机或随机或随机或随机选择选择选择选择).).定理定理定理定理2.9 2.9 上面定义的过程上面定义的过程上面定义的过程上面定义的过程 M M 是强度为是强度为是强度为是强度为 p p 的齐次的齐次的齐次的齐次泊松过程泊松过程泊松过程泊松过程.第69页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程证明证明证明证明:第70页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程 基于这个定理基于这个定理基于这个定理基于这个定理,我们还可导出如下的齐次泊松过程分解定理我们还可导出如下的齐次泊松过程分解定理我们还可导出如下的齐次泊松过程分解定理我们还可导出如下的齐次泊松过程分解定理.定理定理定理定理2.10 2.10 设设设设 N N 是强度为是强度为是强度为是强度为齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程N(t),t 0N(t),t 0.p p 为任意为任意为任意为任意0 0 和和和和 1 1 之间的常数之间的常数之间的常数之间的常数,则过程则过程则过程则过程 N N 可以分解为两个相互可以分解为两个相互可以分解为两个相互可以分解为两个相互独立的齐次泊松过程独立的齐次泊松过程独立的齐次泊松过程独立的齐次泊松过程 M M 和和和和 M,M,他们的强度分别为他们的强度分别为他们的强度分别为他们的强度分别为:第71页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程 证明证明证明证明:设想设想设想设想,过程过程过程过程N N的事件被以概率的事件被以概率的事件被以概率的事件被以概率 p p 纪录纪录纪录纪录,则由前面的定理知则由前面的定理知则由前面的定理知则由前面的定理知,N,N中被记录的事件序列中被记录的事件序列中被记录的事件序列中被记录的事件序列MM是强度为是强度为是强度为是强度为 p p 的齐次泊松过程的齐次泊松过程的齐次泊松过程的齐次泊松过程.余余余余下的没有被记录的事件序列下的没有被记录的事件序列下的没有被记录的事件序列下的没有被记录的事件序列 M M M M (也是一种记录也是一种记录也是一种记录也是一种记录)则形成则形成则形成则形成强度强度强度强度为为为为 q q 的齐次泊松过程的齐次泊松过程的齐次泊松过程的齐次泊松过程.推论推论推论推论:设设设设 N N 是强度为是强度为是强度为是强度为齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程N(t),t 0N(t),t 0.对于任意正整数对于任意正整数对于任意正整数对于任意正整数 r=2,r=2,和任意和任意和任意和任意 r r 个满足条件个满足条件个满足条件个满足条件:的正数的正数的正数的正数,可以将可以将可以将可以将 N N 分解为分解为分解为分解为 r r 个强度分别是个强度分别是个强度分别是个强度分别是:的相互独立的的相互独立的的相互独立的的相互独立的齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程齐次泊松过程.第72页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程 例例例例:设白天运送乘客到机场的出租车形成一强度为设白天运送乘客到机场的出租车形成一强度为设白天运送乘客到机场的出租车形成一强度为设白天运送乘客到机场的出租车形成一强度为:=30(=30(=30(=30(辆辆辆辆/小小小小时时时时)的齐次泊松过程的齐次泊松过程的齐次泊松过程的齐次泊松过程.如果每辆汽车载有如果每辆汽车载有如果每辆汽车载有如果每辆汽车载有1,2,31,2,31,2,31,2,3或或或或4 4 4 4个乘客的概个乘客的概个乘客的概个乘客的概率分别为率分别为率分别为率分别为0.1,0.2,0.40.1,0.2,0.40.1,0.2,0.40.1,0.2,0.4和和和和0.3.0.3.0.3.0.3.求在一小时内由求在一小时内由求在一小时内由求在一小时内由出租车送到机出租车送到机出租车送到机出租车送到机场的乘客的平均数场的乘客的平均数场的乘客的平均数场的乘客的平均数.解解解解:由推论知由推论知由推论知由推论知,M,M1 1,M,M2 2,M,M3 3,M,M4 4有参数分别为有参数分别为有参数分别为有参数分别为3,6,123,6,12和和和和9 9的泊松分布的泊松分布的泊松分布的泊松分布.所以所以所以所以:E(M:E(M1 1+2+2 MM2 2+3M+3M3 3+4M+4M4 4)=3+12+36+36=87 =3+12+36+36=87 第73页，此课件共123页哦第二讲第二讲 泊松（泊松（Poisson）过程）过程 2.4 2.4 齐次齐次齐次齐次PoissonPoisson过程的过程的过程的过程的模拟模拟模拟模拟模拟模拟模拟模拟-1.1.三大研究手