第05章函数PPT讲稿.ppt

第第05章函数章函数第1页，共42页，编辑于2022年，星期日5.1 函数基本概念函数基本概念函数也常称为映射或变换，其定义如下：函数也常称为映射或变换，其定义如下：定定义义5.1.1 设设A和和B是是任任意意两两个个集集合合，且且F是是从从A到到B的的关关系系，若若对对每每一一个个x A，都都存存在在唯唯一一的的y B，使使 F，则则称称F为为从从A到到B的的函函数数，并并记记作作F:AB。A称称为为函函数数F的的定定义义域域，即即D(F)=A，B称称为为函函数数F的的陪陪域域，R(F)称称为为函函数数F的的值值域域，且且R(F)B。有有时时也也用用F(A)表表示示函函数数F的值域，即的值域，即第2页，共42页，编辑于2022年，星期日F(A)=R(F)=y|y B(x)(x A y=F(x)并称并称F(A)为函数为函数F的像。的像。对于对于F:AB来说，若来说，若 F，则称，则称x为为函数的自变元，称函数的自变元，称y为函数因变元，因为为函数因变元，因为y值依赖值依赖于于x所取的值，或称所取的值，或称y是是F在在x处的值，或称处的值，或称y为为F下下x的像。通常把的像。通常把 F记作记作F(x)=y。第3页，共42页，编辑于2022年，星期日从本定义可以看出，从从本定义可以看出，从A到到B的函数的函数F和一和一般从般从A到到B的二元关系之不同有以下两点：的二元关系之不同有以下两点：A的每一元素都必须是的每一元素都必须是F的有序对之第的有序对之第一分量。一分量。若若F(x)=y，则函数，则函数F在在x处的值是唯一的，处的值是唯一的，即即F(x)=y F(x)=zy=z考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号号F改为小写字母改为小写字母f。第4页，共42页，编辑于2022年，星期日定定义义5.1.2 设设f:AB，g:CD，若若A=C，B=D，且且对对每每一一x A都都有有f(x)=g(x)，则则称称函函数数f和和g相等，记为相等，记为f=g。本本定定义义表表明明了了，两两函函数数相相等等，它它们们必必须须有有相同的定义域、陪域和有序对集合。相同的定义域、陪域和有序对集合。有有时时需需要要缩缩小小所所给给函函数数的的定定义义域域，或或扩扩大大所所给给函函数数的的定定义义域域以以创创建建新新的的函函数数，为为此此有有下下面定义。面定义。第5页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.1.3 设设f:AB，且，且C A，若有，若有g=f(C B)则则称称g是是f到到C的的缩缩小小，记记为为f|c，即即g为为C到到B的函数：的函数：g:CBg(x)=f(x)或或 f|c(x)=f(x)定定义义5.1.4 设设f:CB，g:AB，且且C A，若若g|c=f，则称，则称g是是f到到A的扩大。的扩大。第6页，共42页，编辑于2022年，星期日下下面面讨讨论论由由集集合合A和和B，构构成成这这样样函函数数f:AB会会有有多多少少呢呢？或或者者说说，在在A B的的所所有有子子集集中中，是是全全部部还还是是部部分分子子集集可可以以定定义义函函数数？令令BA表示这些函数的集合，即表示这些函数的集合，即BA=f|f:AB 设设|A|=m，|B|=n，则则|BA|=nm。这这是是因因为为对对每每个个自自变变元元，它它的的函函数数值值都都有有n种种取取法法，故故总总共共有有nm种从种从A到到B的函数。的函数。第7页，共42页，编辑于2022年，星期日上上面面介介绍绍一一元元函函数数，下下面面给给出出多多元元函函数数的的定义。定义。定定 义义 5.1.5 设设 A1,A2,An和和 B为为 集集 合合，若若 f:AiB为为 函函 数数，则则 称称 f 为为 n元元 函函 数数。在在上的值用上的值用f(x1,x2,xn)表示。表示。一一元元函函数数中中概概念念对对n元元函函数数几几乎乎完完全全适适用用，在这里不多讨论了。在这里不多讨论了。第8页，共42页，编辑于2022年，星期日5.2 函数类型函数类型根根据据函函数数具具有有的的不不同同性性质质，可可以以将将函函数数分分成成不不同同的的类类型型。本本节节将将定定义义这这些些函函数数，并并给给出出相应的术语。相应的术语。第9页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.2.1 设设f:AB是函数，若是函数，若R(f)=B，或，或对任意对任意b B，存在，存在a A，使得，使得f(a)=b，或形式，或形式表为：表为：(y)(y B(x)(x A f(x)=y)则称则称f:AB是满射函数，或称函数是满射函数，或称函数f:AB是满射的。是满射的。本定义表明了，在函数本定义表明了，在函数f的作用下，的作用下，B中每中每个元素个元素b，都至少是，都至少是A中某元素中某元素a的像，因此，若的像，因此，若A和和B是有穷集合，存在满射函数是有穷集合，存在满射函数f:AB，则，则|A|B|。第10页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.2.2 设设f:AB是函数，对任意的是函数，对任意的a，b A，且，且a b，都有，都有f(a)f(b)，或形式表为，或形式表为(x)(y)(x,y A x yf(x)f(y)则称则称f:AB是单射函数（或一对一函数），是单射函数（或一对一函数），或称函数或称函数f:AB是单射的，或入射的。是单射的，或入射的。本定义揭示了，本定义揭示了，A中不同的元素，其在中不同的元素，其在B中中像也是不同的。于是，若像也是不同的。于是，若A的的B是有穷集合，存是有穷集合，存在单射函数在单射函数f:AB，则，则|A|B|。第11页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.2.3 设设f:AB是函数，若是函数，若f既是满射又既是满射又是单射，则称是单射，则称f:AB是双射函数（或一一对应）是双射函数（或一一对应），或称函数，或称函数f:AB是双射的。是双射的。该定义说明了，该定义说明了，B中的每个元素中的每个元素b是且仅是是且仅是A中某个元素中某个元素a的像。因此，若的像。因此，若A和和B是有穷集合，是有穷集合，存在双射函数存在双射函数f:AB，则，则|A|=|B|。第12页，共42页，编辑于2022年，星期日定定义义5.2.4 设设f:AB是是函函数数，若若存存在在b B，使使 对对 任任 意意 a A有有 f(a)=b，即即 f(A)=b，则则 称称f:AB为常值函数。为常值函数。第13页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.2.5 设设f:AA是函数，若对任意是函数，若对任意a A，有，有f(a)=a，亦即，亦即f=|x A 则称则称f:AA为为A上恒等函数，通常记为上恒等函数，通常记为IA，因为恒等关系即是恒等函数。因为恒等关系即是恒等函数。由定义可知，由定义可知，A上恒等函数上恒等函数IA是双射函数。是双射函数。第14页，共42页，编辑于2022年，星期日定定义义5.2.6 设设A和和B为为集集合合，且且A B，若若函函数数 A:B 0,1为为 1 x A xA(x)=0 否则否则则称则称xA为集合为集合A的特征函数。的特征函数。第15页，共42页，编辑于2022年，星期日特特征征函函数数建建立立了了函函数数与与集集合合的的一一一一对对应应关关系系。于于是是，可可通通过过特特征征函函数数的的计计算算来来研研究究集集合合上的命题。上的命题。定定理理5.2.1 设设A和和B是是全全集集合合U的的任任意意两两个个子子集。对任意集。对任意x U，则下列关系式成立。，则下列关系式成立。A(x)=0A=A(x)=1A=U第16页，共42页，编辑于2022年，星期日 A(x)B(x)A B A(x)=B(x)A=B A(x)=1-A(x)AB(x)=xA(x)*xB(x)AB(x)=A(x)+B(x)-AB(x)A-B(x)=AB(x)=A(x)-AB(x)其中其中+，-，*，为通常的算术运算，为通常的算术运算+，-，和，和。第17页，共42页，编辑于2022年，星期日定定义义5.2.7 设设和和为为全全序序集集，函函数数f:AB。对于任意。对于任意a,b A.若若ab，有有f(a)f(b)，则则称称f为为单单调调递递增增函数。函数。若若ab，有有f(a)f(b)，则则称称f为为单单调调递递减减函数。函数。第18页，共42页，编辑于2022年，星期日 若若ab，且，且a b，有，有f(a)f(b)，则称，则称f为为严格单调递减函数。严格单调递减函数。显然，严格单调递增函数是单调递增函数，显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。严格单调递减函数是单调递减函数。第19页，共42页，编辑于2022年，星期日定定义义5.2.8 设设R是是非非空空集集合合A上上的的等等价价关关系系，且且函函数数f:AA/R，f(a)=aR，a A，则则称称f是是从从A到商集到商集A/R的自然映射。的自然映射。自然映射在代数结构中有重要的应用。自然映射在代数结构中有重要的应用。定定义义5.2.9 设设p:AA为为函函数数，若若p是是双双射射，则称则称p为为A上的置换。上的置换。置置换换在在群群论论中中作作为为一一节节进进行行讨讨论论，有有着着重重要的应用。要的应用。第20页，共42页，编辑于2022年，星期日5.3 函数运算函数运算函函数数是是一一种种特特殊殊关关系系，对对关关系系可可以以进进行行运运算算，自自然然对对函函数数也也需需要要讨讨论论运运算算问问题题，即即如如何何由已知函数得到新的函数。由已知函数得到新的函数。第21页，共42页，编辑于2022年，星期日1函数复合利用两个具有一定性质的已知函数通过复利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。合运算可以得到新的函数。定理定理5.3.1 设设f:AB和和g:BC是函数，通过是函数，通过复合运算复合运算o，可以得到新的从，可以得到新的从A到到C的函数，记为的函数，记为gof，即对任意，即对任意a A，有，有(gof)(x)=g(f(x)。第22页，共42页，编辑于2022年，星期日注注意意，函函数数是是一一种种关关系系，今今用用斜斜体体“o”表表示示函函数数复复合合运运算算，记记为为gof，这这是是“左左复复合合”，它它与与关关系系的的“右右复复合合”fo og次次序序正正好好相相反反，为为区区分分它它们们在在同同一一公公式式中中的的出出现现，用用粗粗体体符符号号表表示示关系复合关系复合fo og，故有，故有gof=fo og。第23页，共42页，编辑于2022年，星期日推论推论1 若若f,g,h都是函数，则都是函数，则(fo og)oh=fo(goh)。本推论表明，函数复合运算是可结合的。本推论表明，函数复合运算是可结合的。若若对对于于集集合合A，f:AA，则则函函数数f能能同同自自身身复合成任意次。复合成任意次。f的的n次复合定义为：次复合定义为：f 0(x)=x f n+1(x)=f(fn(x)，n N。第24页，共42页，编辑于2022年，星期日定理定理5.3.2 设设f:AB，g:BC 若若f:AB，g:BC都是满射，则都是满射，则gof:AC也是满射。也是满射。若若f:AB，g:BC都是单射，则都是单射，则gof:AC也是单射。也是单射。若若f:AB，g:BC都是双射，则都是双射，则gof:AC也是双射。也是双射。第25页，共42页，编辑于2022年，星期日定理定理5.3.3 若若f:AB是函数，则是函数，则f=foIA=IBof。本本定定理理揭揭示示了了，恒恒等等函函数数在在复复合合函函数数运运算算中中的的特特殊殊性性质质，特特别别地地，对对于于f:AA，有有foIA=IAof=f。第26页，共42页，编辑于2022年，星期日2函数逆运算给给定定关关系系R，其其逆逆关关系系是是存存在在，但但对对已已知知一一函函数数，它它作作为为关关系系其其逆逆是是存存在在，但但未未必必是是函函数数。例例如如，A=a,b,c，B=1,2,3，f=,是是函函数数，而而f-1=,却却不不是是从从B到到A的的函函数数。但但若若f:AB是双射，则是双射，则f-1便是从便是从B到到A的函数。的函数。定定理理5.3.4 若若f:AB是是双双射射，则则f-1:BA也也是双射。是双射。第27页，共42页，编辑于2022年，星期日定定 义义 5.3.1 设设 f:AB是是 双双 射射 函函 数数，称称 f-1:BA是是f的的逆逆函函数数，习习惯惯上上常常称称f-1为为f的的反反函函数。数。定定 理理 5.3.5 设设 f:AB是是 双双 射射 函函 数数，则则 f-1of=IA，fof-1=IB定理定理5.3.6 若若f:AB是双射，则是双射，则(f-1)-1=f。第28页，共42页，编辑于2022年，星期日5.4 基基 数数1基数定义首首先先选选取取一一个个“标标准准集集合合”Nn=0,1,2,n-1，称称它它为为N的的截截段段n；再再用用双双射射函函数数为为工工具具，给出集合基数的定义如下：给出集合基数的定义如下：第29页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.4.1 设设A是集合，若是集合，若f:NnA为双射函为双射函数，则称集合数，则称集合A是有限的，是有限的，A的基数是的基数是n，记为，记为|A|=n，或，或card A=n。若集合。若集合A不是有限的，则不是有限的，则称称A是无穷的。是无穷的。本定义表明了，对于有限集合本定义表明了，对于有限集合A，可以用，可以用“数数”数的方式来确定集合数的方式来确定集合A的基数。的基数。定理定理5.4.1 自然数集合自然数集合N是无穷的。是无穷的。为为了了确确定定某某些些无无穷穷集集合合的的基基数数，选选取取第第二二个个“标准集合标准集合”N来度量这些集合。来度量这些集合。第30页，共42页，编辑于2022年，星期日定定义义5.4.2 设设A是是集集合合，若若f:NA为为双双射射函函数，则称数，则称A的基数是的基数是0，记为，记为|A|=0。显显然然，存存在在从从N到到N的的双双射射函函数数，故故|N|=0，0读作读作“阿列夫零阿列夫零”。符号。符号0是康托引入的。是康托引入的。若若f:NnA是是双双射射函函数数，则则示示意意A的的元元素素是是可可“数数”的的，但但“数数”的的过过程程可可能能不不会会终终止止，这导致了如下定义：这导致了如下定义：第31页，共42页，编辑于2022年，星期日定义定义5.4.3 设设A是集合，若是集合，若f:NnA是双射函是双射函数，则称集合数，则称集合A是可数的；若是可数的；若|A|=0，则称，则称A是是可数无穷的；若可数无穷的；若A是不可数的，则称是不可数的，则称A是不可数是不可数的或不可数无穷的。的或不可数无穷的。可以证明下面一个很有用的定理：可以证明下面一个很有用的定理：第32页，共42页，编辑于2022年，星期日定理定理5.4.2 若集合若集合A1,A2,A3,都是可数的，都是可数的，则则 Ai 是可数的。是可数的。本定理表明了，可数集合的可数个并是可本定理表明了，可数集合的可数个并是可数的。其证明略去了。数的。其证明略去了。在上述基数定义中，是使用两个在上述基数定义中，是使用两个“标准集标准集合合”Nn和和N以及双射函数（或一一对应），引入以及双射函数（或一一对应），引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与地看作对集合指派一个符号，指派原则是：与Nn构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是n，与，与N构成双射或一一对应的集合，指派它的构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为基数为0。指派空集的基数为。指派空集的基数为0。第33页，共42页，编辑于2022年，星期日2基数比较在在有有了了集集合合基基数数的的基基础础上上，可可以以建建立立相相等等关关系系和和次次序序关关系系，进进行行基基数数比比较较和和基基数数运运算算，这里仅讨论前者。这里仅讨论前者。定义定义5.4.4 设设A和和B为任意集合。为任意集合。若有一个从若有一个从A到到B的双射函数，则称的双射函数，则称A和和B有相同基数（或称有相同基数（或称A与与B是等势），记为是等势），记为|A|=|B|（或（或A B）。）。第34页，共42页，编辑于2022年，星期日若有一个从若有一个从A到到B的单射函数，则称的单射函数，则称A的的基数小于等于基数小于等于B的基数，记为的基数，记为|A|B|。若有一个从若有一个从A到到B的单射函数，但不存在的单射函数，但不存在双射函数，则称双射函数，则称A的基数小于的基数小于B的基数，记为的基数，记为|A|B|。第35页，共42页，编辑于2022年，星期日由于在复合运算下，双射函数是封闭的，由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质：数，因此等势关系有以下性质：定理定理5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。等势是任何集合族上的等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。综上可见，等势关系是个等价关系。第36页，共42页，编辑于2022年，星期日从上面定义及定理可知：从上面定义及定理可知：等等势势是是集集合合族族上上的的等等价价关关系系，它它把把集集合合族族划划分分成成等等价价类类，在在同同一一等等价价类类中中的的集集合合具具有有相相同同的的基基数数。因因此此可可以以说说：基基数数是是在在等等势势关关系系下下集集合合的的等等价价类类的的特特征征。或或者者说说：基基数数是是在在等等势势关关系系下下集集合合的的等等价价类类的的名名称称。这这实实际际上上就就是是基基 数数 的的 一一 种种 定定 义义。例例 如如，3是是 等等 价价 类类a,b,c,p,q,r,1,2,3,的的名名称称（或或特征）。特征）。0是自然数集合是自然数集合N所属等价类的名称。所属等价类的名称。第37页，共42页，编辑于2022年，星期日要证明一个集合要证明一个集合A有基数有基数，只需选取基，只需选取基数为数为 的任意集合的任意集合B，证明从，证明从A到到B或从或从B到到A存存在一个双射函数。选取集合在一个双射函数。选取集合B的原则是使证明尽的原则是使证明尽可能容易。可能容易。上上述述定定义义中中选选用用符符号号和和，是是因因为为它它们们具具有有这这些些符符号号的的通通常常性性质质。然然而而，要要证证明明这这些些性性质质是是冗冗长长和和复复杂杂的的。下下面面将将不不加加证证明明地地引引入入说说明明这这些些性性质质的的两两个个定定理理。第第一一个个定定理理称称为为三三歧歧性定律。第二定理表明：性定律。第二定理表明：是反对称的。是反对称的。第38页，共42页，编辑于2022年，星期日定定理理5.4.4 （Zermelo）设设A和和B是是任任意意两两个个集合，则下述情况恰有一个成立：集合，则下述情况恰有一个成立：|A|B|B|A|A|=|B|第39页，共42页，编辑于2022年，星期日定理定理5.4.5（Cantor-Schroder-Bernstein）设设A和和B是任意两个集合，若是任意两个集合，若|A|B|和和|B|A|，则则|A|=|B|。本定理对证明两集合具有相同基数提供了本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数有效的方法。若能够构造一单射函数f:AB，则有则有|A|B|；又能构造另一个单射函数；又能构造另一个单射函数g:BC，以证明，以证明|B|A|。于是根据本定理即可得出。于是根据本定理即可得出|A|=|B|。特别要注意，。特别要注意，f和和g不必是满射。因为通不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。要容易许多。第40页，共42页，编辑于2022年，星期日定理定理5.4.6 设设A是有限集合，则是有限集合，则|A|0。引引理理5.2.7 每每个个无无穷穷集集合合包包含含一一可可数数无无穷穷集集合。合。注注意意，本本定定理理证证明明中中应应用用“选选择择公公理理”：若若A是是非非空空集集合合族族，则则存存在在集集合合B，使使B恰恰好好包包含含A中每个子集里的一个元素中每个子集里的一个元素x。定理定理5.4.7 0是最小无穷集合的基数。是最小无穷集合的基数。第41页，共42页，编辑于2022年，星期日下面定理表明了，没有最大基数和没有最下面定理表明了，没有最大基数和没有最大集合。大集合。定理定理5.4.8（Cantor）设）设A是任意集合，则是任意集合，则|A|P(A)|。应应用用本本定定理理，可可以以构构造造一一个个可可数数无无穷穷的的无无穷穷基基数数的的集集合合，其其中中每每一一个个都都大大于于它它前前边边的的一一个个|N|P(N)|P(P(N)|。第42页，共42页，编辑于2022年，星期日