解析函数的级数表示法精选PPT.ppt

关于解析函数的级数表示法1第1页，讲稿共108张，创作于星期三2复数列收敛的条件复数列收敛的条件那末对于任意给定的那末对于任意给定的就能找到一个正数就能找到一个正数N,证证第2页，讲稿共108张，创作于星期三3从而有从而有所以所以同理同理反之反之,如果如果第3页，讲稿共108张，创作于星期三4从而有从而有定理一说明定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.证毕证毕第4页，讲稿共108张，创作于星期三5例例4.1 判别下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限：解：解：先分解 ，然后分别考察和 的极限，再确定数列 的收敛性。（1）第5页，讲稿共108张，创作于星期三6（2）（3）故原数列收敛于零。（4）发散。第6页，讲稿共108张，创作于星期三7例例4.2 证明：证：证：令 ，有（1）时，由夹逼定理，可得 。第7页，讲稿共108张，创作于星期三8（2）时，因为 和 不同时为零，所以（3）时，（4），则 ，因为 与均不存在，所以 不存在。第8页，讲稿共108张，创作于星期三94.1.24.1.2 级数的概念级数的概念1.1.定义定义表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.级数最前面级数最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和第9页，讲稿共108张，创作于星期三10收敛与发散收敛与发散说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的判别复数项级数敛散性的基本方法是基本方法是:第10页，讲稿共108张，创作于星期三11定理定理4.1.3 （柯西收敛准则）（柯西收敛准则）复级数(4.1）收敛的充要条件为：对任给的 ，存在正整数 ，当 且 为任何正整数时第11页，讲稿共108张，创作于星期三122.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为定理二定理二第12页，讲稿共108张，创作于星期三13说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)第13页，讲稿共108张，创作于星期三14解解所以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习第14页，讲稿共108张，创作于星期三15必要条件必要条件重要结论重要结论:第15页，讲稿共108张，创作于星期三16不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.第16页，讲稿共108张，创作于星期三173.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛注意注意 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三第17页，讲稿共108张，创作于星期三18证证由于由于而而根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知第18页，讲稿共108张，创作于星期三19由定理二可得由定理二可得证毕证毕第19页，讲稿共108张，创作于星期三20非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义定义第20页，讲稿共108张，创作于星期三21所以所以综上综上:第21页，讲稿共108张，创作于星期三22例例4.3 判断下列级数是否收敛：（1）；（2）；解解：将级数化为 ，由两个实级数的敛散性，确定 的收敛性。（1）可化为 ，发散。（2）可化为 ，收敛。第22页，讲稿共108张，创作于星期三23例例4.4 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？解解：（1）可化为 ，发散。（2）因 ，故原级数绝对收敛。第23页，讲稿共108张，创作于星期三24（3）条件收敛，而 收敛，故原级数不是绝对收敛。（4）故原级数发散。第24页，讲稿共108张，创作于星期三25（）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。定理定理4.4第25页，讲稿共108张，创作于星期三26n4.2 幂级数幂级数n4.2.1 复变函数项级数复变函数项级数n设 为一复变函数列，其中各项在区域D内有定义.表达式n (4.2)n称为复变函数项级数，记作 .级数的最前面n项的和n称为级数的部分和.第26页，讲稿共108张，创作于星期三27n和函数和函数n如果对于D内的某一点 ，极限 存在，则称级数 在 收敛，称为它的和。如果级数在D内处处收敛，则其和是D内的一个和函数：n即对任意的 ，以及给定的 ，存在正整数 ，使当 时，有第27页，讲稿共108张，创作于星期三28n一致收敛性一致收敛性n定义定义4.2.1 对于级数(4.2），如果在点集D上有一个函数 ，使对任意给定的 ，存在正整数n ，当 时，对一切的 都有n则称级数(4.2）在D上一致收敛于 。n定理定理4.2.1(柯西一致收敛准则）柯西一致收敛准则）级数(4.2)在点集D上一致收敛于某函数的充要条件是：任给n存在正整数 ，使当 时，对一切n ，都有第28页，讲稿共108张，创作于星期三29n一致收敛的充分条件（优级数准则）：一致收敛的充分条件（优级数准则）：n如果有正数列 ，使对一切n都有n且正项级数 收敛，则 在点集D上绝对收敛且一致收敛。n例例4.5 级数n在闭圆 上一致收敛。第29页，讲稿共108张，创作于星期三30n定理定理4.2.2 设级数 的各项在点集E上连续，并且在C上一致收敛于 ，则和函数n也在E上连续.n定理定理4.2.3 设级数 的各项在曲线C上连续，并且在C上一致收敛于 ，则沿C可以逐项积分：n定义定义4.2.2 设函数 定义于区域D内，若级数 在D内任意有界闭集上一致收敛，则称此级数在D内内闭一致收敛。第30页，讲稿共108张，创作于星期三31n定理定理4.2.4(维尔斯特拉斯定理）维尔斯特拉斯定理）设（1）函数n 在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数 ：n则（1）函数 在区域D内解析；（2）。（3）在D内内闭一致收敛于 。第31页，讲稿共108张，创作于星期三32n4.2.2 幂级数幂级数 或 称为幂级数。n阿贝尔（阿贝尔（Abel)定理定理 如果级数 在 收敛，那么对满足 的 ，级数必绝对收敛，如果在 级数发散，那么满足 的 ，级数必发散。第32页，讲稿共108张，创作于星期三33证：证：第33页，讲稿共108张，创作于星期三34第34页，讲稿共108张，创作于星期三35收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 一个幂级数的收敛情况，可分为以下几类：第35页，讲稿共108张，创作于星期三36n（1）在全平面内处处收敛；n（2）仅在原点 收敛；n（3）在以原点为中心的圆周 内，级数绝对收敛；在 外，级数发散，称为收敛圆，的半径称为收敛半径。n收敛圆周上级数的敛散性，根据具体情况分析确定。n例例1 求幂级数 的收敛范围与和函数。第36页，讲稿共108张，创作于星期三37解：解：级数的部分和为当 时，有 ；从而有当 时，由于 时，级数一般项不趋于零，故级数发散。由阿贝尔定理知级数的收敛范围为一单位圆域 ，在此圆域内，级数不仅收敛，而且绝对收敛，收敛半径为1，并有第37页，讲稿共108张，创作于星期三38幂级数收敛半径的求法幂级数收敛半径的求法定理定理2（比值法）（比值法）如果 ，则收敛半径 。第38页，讲稿共108张，创作于星期三39第39页，讲稿共108张，创作于星期三40第40页，讲稿共108张，创作于星期三41n定理定理3（根值法）（根值法）如果 ，则收敛半径 。n例例2 求下列幂级数的收敛半径：n1）（并讨论在收敛圆周上的情形）；n2）（并讨论 时的情形）；n3）。第41页，讲稿共108张，创作于星期三42解解：1）R=1；在圆周 上，级数收敛，从而原级数绝对收敛。2）R=1；当 时，原级数为 ，收敛；当 时，原级数为 ，发散。3）因为 ，所以据比值法可得收敛半径 。第42页，讲稿共108张，创作于星期三43n幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质n1）设 n则n其中 。n2）如果当 时，；又在第43页，讲稿共108张，创作于星期三44n 时，解析且满足 ，则当 时，有n定理定理4 设幂级数 的收敛半径为 ，那么n1）它的和函数 ，即 是收敛圆：内的解析函数。n2）在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即第44页，讲稿共108张，创作于星期三45n3）在收敛圆内可以逐项积分，即 或 。n例例3 设有幂级数 与 ，求 的收敛半径。第45页，讲稿共108张，创作于星期三46n解：容易验证，与 的收敛半径都等于1，但级数 的收敛半径 。注意使 成立的收敛圆域仍应为 ，不能扩大。例例4 把函数 表示成形如 的幂级数，其中 与 是互不相等的复常数。第46页，讲稿共108张，创作于星期三47第47页，讲稿共108张，创作于星期三48第48页，讲稿共108张，创作于星期三494.3 解析函数的泰勒展开式解析函数的泰勒展开式n本节主要内容：n1.泰勒定理、泰勒级数的相关概念；n2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况；n3.初等函数的泰勒展开法（直接法、间接n法）第49页，讲稿共108张，创作于星期三50n4.3.1 泰勒定理泰勒定理n定理定理4.3.1（泰勒定理）（泰勒定理）设 在区域D内解析，为 内的一点，为 到 内边界上各点的最短距离，当 时，成立，其中 。n上式称为 在 的泰勒展开式。n等式右边称为 在 的泰勒级数。当 时，级数称为马克劳林级数。第50页，讲稿共108张，创作于星期三51n证明要点：由柯西积分公式，有n然后利用已知幂级数展开式n将被积式 展开成 的幂级数即得。n定理定理4.3.2 函数 在区域D内解析的充要条件是n 在D内任一点 的邻域内可展开成 的幂n级数，即泰勒级数。第51页，讲稿共108张，创作于星期三52n4.3.2 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况n定理定理4.3.3 如果幂级数 的收敛半径 n ，且n则 在收敛圆周 上至少有一奇点，即不可能有这样的函数 存在，它在 n内与 恒等，而在C上处处解析。n由以上定理可得一确定收敛半径R的方法：第52页，讲稿共108张，创作于星期三53n如果 在 解析，则使 在 的泰勒展开式成立的圆域的半径 就等于从 到 的距 最近一个奇点 之间的距离，即 。n任何一个解析函数在一点的泰勒级数是唯一的。n4.3.3 一些初等函数的泰勒展开式一些初等函数的泰勒展开式n直接算出各阶导数后利用泰勒定理求得函数的泰勒级数的方法称为直接展开法直接展开法。n借助已知函数展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质求得函数的泰勒级数的方法称为间接展开法间接展开法。第53页，讲稿共108张，创作于星期三54n常用的幂级数展开式常用的幂级数展开式：第54页，讲稿共108张，创作于星期三55n其中 是指主值，是复数。第55页，讲稿共108张，创作于星期三56例例1 求下列函数在 的泰勒展开式。解：解：（1）因为 在全平面内解析，所以又第56页，讲稿共108张，创作于星期三57故 在 的泰勒展开式为（2）在从1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的，1是它的一个奇点，所以它在 内可以展开成 的幂级数。第57页，讲稿共108张，创作于星期三58由两边积分可得（3）函数 有一奇点 ，而在内处处解析，故可在 内展开成 的幂级数，由两边逐项求导，可得第58页，讲稿共108张，创作于星期三59例例2 将 分别展开为 和的幂级数，并求出收敛半径。解：解：展开为 的幂级数，可得由 ，可得收敛半径为 。展开为 的幂级数，可得第59页，讲稿共108张，创作于星期三60由 ，可得收敛半径为 。练习：练习：（1）将 在 展开为泰勒级数。（2）将 展开为 的泰勒级数。答案答案：第60页，讲稿共108张，创作于星期三61例例3 求幂函数 （为复数）的主值：在 处的泰勒展开式。第61页，讲稿共108张，创作于星期三62解解：法1：待定系数法。对 求导可得，设代入上式，并注意到 ，比较两边系数可得所求展开式为第62页，讲稿共108张，创作于星期三63法2：设 ，则 ，从而 ，两边求导，得继续求导，可得令 ，得 ，从而可得展开式如法1中所示。第63页，讲稿共108张，创作于星期三64定义定义4.4.1 设f(z)在解析区域D内一点a的值为零,则a为解析函数f(z)的零点.4.4 解析函数零点的孤立性及唯一性解析函数零点的孤立性及唯一性4.4.1 解析函数零点的孤立性解析函数零点的孤立性如果在|z-a|R内,解析函数f(z)不恒为零,我们将它在点a展成幂级数,此时,幂级数的系数不必全为零.故必有一正数m(m1),使得合乎上述条件的m称为零点a的级,a成称f(z)的m级零点.特别是当m=1时,a也称为f(z)的简单零点.第64页，讲稿共108张，创作于星期三65定理定理4.17 不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为:其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且上式是具有m阶零点a的解析函数 的解析表达式。例例4.4.1 考察函数在原点z=0的性质。例例4.4.2 求 的全部零点，并指出它们的阶。解解：由知z=0为 的三阶零点。其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且上式是具有m阶零点a的解析函数 的解析表达式。例例4.4.1 考察函数在原点z=0的性质。例例4.4.1 考察函数解解：由知z=0为 的三阶零点。其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且例例4.4.1 考察函数在原点z=0的性质。例例4.4.1 考察函数例例4.4.1 考察函数例例4.4.1 考察函数在原点z=0的性质。例例4.4.1 考察函数其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且上式是具有m阶零点a的解析函数 的解析表达式。第65页，讲稿共108张，创作于星期三66解解：在z平面上解析，由 可知为 在z平面上的全部零点。又由可知都是 在z平面上的二阶零点。第66页，讲稿共108张，创作于星期三67一个实变可微函数的零点不一定是孤立的，例如：都是它的零点。因故 不是 的孤立零点。但在复变函数中，我们有下述定理第67页，讲稿共108张，创作于星期三68定理定理4.18 如在|z-a|R内解析的函数f(z)不恒为零,a为其零点,则必有a的一个邻域,使得f(z)在其中无异于a的零点.(简单来说就是,不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.)证证 设a为f(z)的m级零点,于是,由定理(4.17)其中 在点a的邻域|z-a|R内解析,且从而 在点a连续.于是由例1.28知存在一邻域|z-a|r使得 于其中恒不为零.故f(z)在其中无异于a的其它零点.第68页，讲稿共108张，创作于星期三69推论推论4.19 设(1)f(z)在邻域K:|z-a|0).在L上依次取一串点 ,使相邻两点间的距离小于定数R(0Rd).显然,由推论4.19,在圆 内 .在圆 又重复推论4.19,即知 内 .这样继续下去,第70页，讲稿共108张，创作于星期三71直到最后一个含有点b为止,在该圆内 ,特别说来,f(b)=0.因为b是D内任意的点,故证明了D内 .推论推论4.21 设在区域D内解析的函数 及 在D内的某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.推论推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式(例如 等等),在z平面上也成立,只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的.定理定理4.23(最大模最大模 原理原理)设f(z)在区域D内解析,则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.第71页，讲稿共108张，创作于星期三72一、问题的引入一、问题的引入问题问题1:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛n4.5 洛朗级数洛朗级数第72页，讲稿共108张，创作于星期三73收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R第73页，讲稿共108张，创作于星期三74结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.第74页，讲稿共108张，创作于星期三75例如，例如，都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.而而2.问题问题2:2:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?第75页，讲稿共108张，创作于星期三76所以所以即即内可以展开成级数内可以展开成级数.也可以展开成级数：也可以展开成级数：第76页，讲稿共108张，创作于星期三77二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.第77页，讲稿共108张，创作于星期三78证证对于第一个积分对于第一个积分:Rr.z.第78页，讲稿共108张，创作于星期三79对于第二个积分对于第二个积分:第79页，讲稿共108张，创作于星期三80其中其中第80页，讲稿共108张，创作于星期三81下面证明下面证明第81页，讲稿共108张，创作于星期三82则则第82页，讲稿共108张，创作于星期三83如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕第83页，讲稿共108张，创作于星期三84说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，的级数是唯一的，这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法一般方法.第84页，讲稿共108张，创作于星期三85n定理定理4.5.2 洛朗级数 在收敛圆环域内绝对收敛且内闭一致收敛，其和函数是收敛圆环域内的解析函数，而且可以逐项求积和逐项求导。n显然，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形。第85页，讲稿共108张，创作于星期三86三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.第86页，讲稿共108张，创作于星期三87根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法第87页，讲稿共108张，创作于星期三88例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中第88页，讲稿共108张，创作于星期三89故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:第89页，讲稿共108张，创作于星期三90另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,第90页，讲稿共108张，创作于星期三91例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解第91页，讲稿共108张，创作于星期三92oxy1第92页，讲稿共108张，创作于星期三9312oxy由由且仍有且仍有第93页，讲稿共108张，创作于星期三942oxy由由此时此时第94页，讲稿共108张，创作于星期三95仍有仍有第95页，讲稿共108张，创作于星期三96注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是第96页，讲稿共108张，创作于星期三972.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾.朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛第97页，讲稿共108张，创作于星期三98解解 例例3第98页，讲稿共108张，创作于星期三99例例4 4解解 第99页，讲稿共108张，创作于星期三100例例5 5内的洛朗展开式内的洛朗展开式.解解 第100页，讲稿共108张，创作于星期三101第101页，讲稿共108张，创作于星期三102第102页，讲稿共108张，创作于星期三103n练习：练习：n1、将 展开为洛朗级数，圆环域为：n（1）；（2）；n（3）。n2、把函数 在 内展开成洛朗级数。第103页，讲稿共108张，创作于星期三104n解：n1、（1）n （2）n （3）n2、第104页，讲稿共108张，创作于星期三105n四、四、洛朗级数在求积分中的一个应用洛朗级数在求积分中的一个应用n在公式 中，令 ，得n 或n其中 为圆环域 内的任何一条简单闭曲线，在此圆环域内解析，从上式可知，计算积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 的负一次幂项的系数 。第105页，讲稿共108张，创作于星期三106例例6 求下列各积分的值：1）；2）解解：1）函数 在圆环域 内处处解析，且 在此圆环域内，展开 ，得 ，从而第106页，讲稿共108张，创作于星期三1072）函数 在 内解析，在此圆环域内，把它在圆环域内展开，得 ，从而有第107页，讲稿共108张，创作于星期三17.09.2022感感谢谢大大家家观观看看第108页，讲稿共108张，创作于星期三