第2章导数与微分PPT讲稿.ppt

第2章 导数与微分第1页，共58页，编辑于2022年，星期一第一节导数第一节导数第二节第二节 求导数的一般方法求导数的一般方法第三节高阶导数第三节高阶导数*第四节导数的近似计算第四节导数的近似计算第五节中值定理第五节中值定理 洛必达法则洛必达法则第六节函数性态的研究第六节函数性态的研究第七节微分及其应用第七节微分及其应用*第八节第八节 泰勒公式泰勒公式*第九节第九节 插值法插值法 方程的近似解方程的近似解第2页，共58页，编辑于2022年，星期一一、函数的变化率一、函数的变化率1、平均变化率、平均变化率称为函数称为函数y=f(x)从从 变到变到 的平均变化率。的平均变化率。2、瞬时变化率、瞬时变化率若极限存在，则极限值表示若极限存在，则极限值表示f(x)在在 时的瞬时时的瞬时变化率。变化率。第3页，共58页，编辑于2022年，星期一例例2 瞬时加速度瞬时加速度例例1 瞬时速度瞬时速度 V称为动点在时刻称为动点在时刻 的瞬时速度。的瞬时速度。设直线运动的物体路程函数为设直线运动的物体路程函数为称在称在 时刻的瞬时加速度。时刻的瞬时加速度。设直线运动的物体速度函数为设直线运动的物体速度函数为v=v(t)第4页，共58页，编辑于2022年，星期一例例3 曲线的切线曲线的切线过点过点M且以且以k为斜率的直线称为在为斜率的直线称为在M上的切线。上的切线。令令第5页，共58页，编辑于2022年，星期一二、导数的定义二、导数的定义 1、定义定义：如果极限存在，则称如果极限存在，则称y=f(x)在点在点 可导。可导。记为记为 、或或 ，第6页，共58页，编辑于2022年，星期一2、导函数、导函数若若f(x)在区间在区间(a,b)内每一点都可导，则称函数在内每一点都可导，则称函数在(a,b)内可导。内可导。例例4 求线性函数求线性函数y=ax+b在点在点x处的导数。处的导数。例例5 已知已知 ,求求第7页，共58页，编辑于2022年，星期一 3、左导数和右导数、左导数和右导数函数函数f(x)在点在点 可导的充要条件是左导数和可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。右导数都存在且相等。左导数：左导数：右导数：右导数：例例6 讨论讨论 在在 处是否连续和可导？处是否连续和可导？第8页，共58页，编辑于2022年，星期一三、导数的物理意义和几何意义三、导数的物理意义和几何意义 1、物理意义：路程函数为、物理意义：路程函数为s(t)的质点在的质点在 时刻的时刻的 瞬时速度瞬时速度2、几何意义：曲线、几何意义：曲线f(x)在点在点 处切线的斜率处切线的斜率例例 7 求求 在点（在点（4，2）处的切线斜率）处的切线斜率并写出切线方程和法线方程。并写出切线方程和法线方程。切线方程：切线方程：法线方程：法线方程：第9页，共58页，编辑于2022年，星期一四、函数的可导性与连续性之间的关系四、函数的可导性与连续性之间的关系结论：结论：可导可导 连续连续 推导过程：推导过程：例例8 讨论函数讨论函数 在在x=0处的处的连续性和可导性。连续性和可导性。第10页，共58页，编辑于2022年，星期一一、基本初等函数求导公式一、基本初等函数求导公式（见课本（见课本46页）页）二、函数的四则运算求导法则二、函数的四则运算求导法则（见课本（见课本46页）页）三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则（链式法则）（链式法则）设有复合函数设有复合函数 则则和和 均可导均可导第11页，共58页，编辑于2022年，星期一第12页，共58页，编辑于2022年，星期一例例1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：如果熟悉了链式法则，可以不设中间变量求导。如果熟悉了链式法则，可以不设中间变量求导。（2）（1）（3）（4）（5）（6）第13页，共58页，编辑于2022年，星期一对数求导法对数求导法例例2求求 （x0）的导数。）的导数。例例3求求 的导数。的导数。对数求导法通常用在幂指函数、几个函数对数求导法通常用在幂指函数、几个函数相乘除的求导中。相乘除的求导中。第14页，共58页，编辑于2022年，星期一四、反函数与隐函数的求导四、反函数与隐函数的求导设函数设函数y=f(x)在点在点x处有不为零的导数，且反函处有不为零的导数，且反函数数x=g(y)在相应点连续，则反函数的导数为在相应点连续，则反函数的导数为1、反函数的求导、反函数的求导第15页，共58页，编辑于2022年，星期一2、隐函数的导数、隐函数的导数（1）显函数：直接由自变量来表示因变量的规律的）显函数：直接由自变量来表示因变量的规律的 表达函数。形如表达函数。形如y=f(x)（2）隐函数：由方程）隐函数：由方程F(x,y)=0所确定的函数。所确定的函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如例如 (1)(2)例例4 已知已知 ，求，求例例5 已知已知 ，求，求第16页，共58页，编辑于2022年，星期一 1、参数方程所确定的函数、参数方程所确定的函数 若参数方程若参数方程 确定确定y与与x 间的函数关系，间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数则称此函数关系所表达的函数 为由参数方程为由参数方程 所确定的函数。所确定的函数。三、参数方程的求导公式三、参数方程的求导公式2、求导公式、求导公式第17页，共58页，编辑于2022年，星期一例例6已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 求椭圆在求椭圆在 处的切线方程。处的切线方程。第18页，共58页，编辑于2022年，星期一 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。若函数若函数 在点在点 可导，则其导数称为可导，则其导数称为f(x)在这个点处的二阶导数，记作在这个点处的二阶导数，记作或或第19页，共58页，编辑于2022年，星期一例已知自由落体路程函数为例已知自由落体路程函数为 ，求，求 落体的速度落体的速度v及加速度及加速度a。例例2 求求 及及 的的n阶导数；阶导数；例例3 设参数方程设参数方程 ,求求y对对x的二阶导数的二阶导数.第20页，共58页，编辑于2022年，星期一一、中值定理一、中值定理定理定理1 （罗尔罗尔Rolle定理）定理）如果函数如果函数f(x)满足：满足：（1）在闭区间）在闭区间 上连续；上连续；（2）在开区间（）在开区间（a,b）内可导；）内可导；（3）在区间端点的函数值相等）在区间端点的函数值相等 ，那么在（那么在（a,b）内至少有一点）内至少有一点 ，使，使第21页，共58页，编辑于2022年，星期一1、罗尔定理的几何意义、罗尔定理的几何意义 在如下图的曲线弧在如下图的曲线弧 上（不包括端点）如果处处有不垂直上（不包括端点）如果处处有不垂直于于x轴的切线，则至少有一点轴的切线，则至少有一点C，在该点处的切线平行于，在该点处的切线平行于x轴。轴。yOxabACB第22页，共58页，编辑于2022年，星期一例例1 已知已知f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)，试直接判断方程，试直接判断方程 实根的个数和范围。实根的个数和范围。例例2设函数设函数y=f(x)在闭区间在闭区间 上连续，上连续，在开区间在开区间 内可导，且导数恒不为零。内可导，且导数恒不为零。又又 。试证：方程试证：方程 在在 内有且仅有一个实根。内有且仅有一个实根。第23页，共58页，编辑于2022年，星期一定理定理2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）如果函数如果函数 满足：满足：（1）在闭区间）在闭区间 上连续；上连续；（2）在开区间（）在开区间（a,b）内可导；）内可导；那么至少存在一点那么至少存在一点 ，使，使第24页，共58页，编辑于2022年，星期一3、拉格朗日中值定理的几何意义、拉格朗日中值定理的几何意义如果连续曲线如果连续曲线 的弧的弧 上上(除端点除端点)处处具处处具有不垂直于有不垂直于x轴的切线，那么轴的切线，那么 上至少有一点，上至少有一点，该点处的切线平行于弦。该点处的切线平行于弦。COxyABQaxbP第25页，共58页，编辑于2022年，星期一作辅助函数作辅助函数证明：证明：则则故故因为因为F(a)=F(b)第26页，共58页，编辑于2022年，星期一（在在a、b间）间）拉格朗日中值公式的不同形式拉格朗日中值公式的不同形式:例例3 证明下列不等式证明下列不等式:(2)当当 时时,(1)当当x1时时,第27页，共58页，编辑于2022年，星期一推论推论1如果如果f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为零，则内的导数恒为零，则f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数。内是一个常数。推论推论2 如果如果f(x)、g(x)在在(a,b)内的导数相等，则内的导数相等，则 f(x)与与g(x)相差一个常数。相差一个常数。例例4 证明证明第28页，共58页，编辑于2022年，星期一定理定理3(3(柯西中值定理柯西中值定理)如果函数如果函数 及及 满足满足（1）在闭区间）在闭区间 上连续；上连续；（2）在开区间（）在开区间（a,b）内可导；）内可导；（3）对任一）对任一 ，则在则在 内至少有一点内至少有一点 ，使，使*取取g(x)=x，可知拉格朗日定理是柯西定理的一种特殊，可知拉格朗日定理是柯西定理的一种特殊情况。情况。第29页，共58页，编辑于2022年，星期一二、洛必达法则二、洛必达法则1、未定式：、未定式：第30页，共58页，编辑于2022年，星期一(1)当当 时，时，f(x)及及 g(x)都趋于零；都趋于零；(2)在在 内内(点点a可以除外），可以除外），及及 都存在且都存在且(3)存在存在 则有则有2、洛必达法则洛必达法则第31页，共58页，编辑于2022年，星期一证证:由已知，则由已知，则f(x)f(x)与与g(x)g(x)在在 内连续（若在点内连续（若在点a a不连续可补充定义不连续可补充定义f(a)=g(a)=0f(a)=g(a)=0设设 且且xaxa，则在区间，则在区间a,xa,x上上f(x)f(x)与与g(x)g(x)满足柯西定理的条件，所以至少存在一点满足柯西定理的条件，所以至少存在一点 ，使得，使得即得证即得证第32页，共58页，编辑于2022年，星期一例例5 求极限求极限1）2）3）注意注意：验证每次所求的极限是不是未定式，：验证每次所求的极限是不是未定式，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则。如果不是未定式，就不能应用洛必达法则。4）5）第33页，共58页，编辑于2022年，星期一6）7）8）注意：注意：并不是所有的未定式极限都能用洛必达法则并不是所有的未定式极限都能用洛必达法则 求得。求得。9）第34页，共58页，编辑于2022年，星期一一、函数的单调性一、函数的单调性定理定理1 设设f(x)在在(a,b)内可导，则内可导，则（1）若）若 ，则，则f(x)在在(a,b)上递增；上递增；（2）若）若 ，则，则f(x)在在(a,b)上递减。上递减。等号仅在有限个点处取得。等号仅在有限个点处取得。第35页，共58页，编辑于2022年，星期一例例1 研究下列函数的单调性。研究下列函数的单调性。3）求单调区间的方法求单调区间的方法：1），2）第36页，共58页，编辑于2022年，星期一例例2 证明下列不等式：证明下列不等式：1）当）当x1时，时，2）当）当x0时，时，第37页，共58页，编辑于2022年，星期一二、函数的极值二、函数的极值1、定义定义设函数设函数 定义域为定义域为D，若对，若对 有有 （或（或 ）则称函数在点则称函数在点 有极大值有极大值 （或极小值（或极小值 ）称为称为极大值点极大值点（或（或极小值点极小值点）。）。定理定理2 设函数在点处可导设函数在点处可导，且在处取得，且在处取得极值，则极值，则可导函数的极值点必定是它的驻点。可导函数的极值点必定是它的驻点。但是，驻点不一定是极值点。但是，驻点不一定是极值点。第38页，共58页，编辑于2022年，星期一极值的概念是局部性的极值的概念是局部性的abxyO第39页，共58页，编辑于2022年，星期一定理定理3 设设f(x)在在 内可导且内可导且 当当x在在 的邻域从左至右经过的邻域从左至右经过 时，时，(1)如果如果 的符号由正变负，则在的符号由正变负，则在 处取得极值；处取得极值；(2)如果如果 的符号由负变正，则取得极小值。的符号由负变正，则取得极小值。(3)如果如果 的符号不改变，则没有极值。的符号不改变，则没有极值。例例4 求函数求函数 的极值。的极值。练习：求练习：求 的极值。的极值。第40页，共58页，编辑于2022年，星期一例例6 求函数求函数 的极值。的极值。由例由例6可知，除驻点外，不可导点也可能是极值点。可知，除驻点外，不可导点也可能是极值点。定理定理4 设函数设函数f(x)在处具有二阶导数在处具有二阶导数 且且 ，则，则(1)当当 时，函数在处取得极大值；时，函数在处取得极大值；(2)当当 时，函数在时，函数在 处取得极小值。处取得极小值。说明说明：如果：如果 ，则还是用定理，则还是用定理3判定。判定。例例5 讨论函数讨论函数 ,的极值。的极值。第41页，共58页，编辑于2022年，星期一2、函数的最大值和最小值、函数的最大值和最小值设在设在(a,b)内的驻点为，则内的驻点为，则 最大的就是在最大的就是在 上的最大值，上的最大值，最小的就是在最小的就是在 上的最小值。上的最小值。例例7求函数求函数 在上的最大在上的最大值与最小值。值与最小值。第42页，共58页，编辑于2022年，星期一例例8 从半径为从半径为R的圆形铁皮上，割去一块中心角为的圆形铁皮上，割去一块中心角为 的扇形，将剩下部分围成一个圆锥形漏斗。的扇形，将剩下部分围成一个圆锥形漏斗。当当 多大时，漏斗的体积最大？多大时，漏斗的体积最大？RRhr第43页，共58页，编辑于2022年，星期一、曲线凹凸性定义、曲线凹凸性定义设设为为连连续续曲曲线线弧弧。过过上上除除端端点点外外的的每每一点作的切线，一点作的切线，如果曲线弧总是位于切线的上方，则称是如果曲线弧总是位于切线的上方，则称是凹的，或称凹弧；凹的，或称凹弧；三、曲线的凹凸与拐点三、曲线的凹凸与拐点xyAB第44页，共58页，编辑于2022年，星期一如果曲线弧总是位于切线的下方，则称是如果曲线弧总是位于切线的下方，则称是凸的，或称凸弧。凸的，或称凸弧。xyAB请思考请思考:凹曲线与凸曲线的切线斜率随着凹曲线与凸曲线的切线斜率随着x的增大各的增大各会如何变化会如何变化?第45页，共58页，编辑于2022年，星期一、曲线凹凸性的判定、曲线凹凸性的判定定理定理5设设f(x)在上连续，在内具有二阶导数。在上连续，在内具有二阶导数。(1)若在若在 内，则曲线弧是凹的；内，则曲线弧是凹的；(2)若在若在 内，内，则曲线弧是凸的。，则曲线弧是凸的。拐点拐点：凹弧与：凹弧与凸弧的分界点。凸弧的分界点。例例9判定下列曲线的凹凸性。判定下列曲线的凹凸性。1）2）3）第46页，共58页，编辑于2022年，星期一注意注意：若在点：若在点 的二阶导数不为的二阶导数不为0，也可能是曲线的拐点。也可能是曲线的拐点。例例10 求求 的拐点。的拐点。第47页，共58页，编辑于2022年，星期一一、微分的定义一、微分的定义 先看一个具体问题。一块正方形金属薄片因受先看一个具体问题。一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由温度变化的影响，其边长由 变到变到 ，问此薄片的面积改变了多少？问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为设此薄片的边长为x，面积为，则，面积为，则 。第48页，共58页，编辑于2022年，星期一 定义定义如果如果 可以表示为可以表示为 其中是常数，其中是常数，是比是比 高阶的无穷小，则称高阶的无穷小，则称 在点在点 可微。可微。叫做叫做 在点在点 的的微分微分，记作，记作dy，则则dy 。函数在任意点函数在任意点x 的微分，称为的微分，称为函数的微分函数的微分。第49页，共58页，编辑于2022年，星期一可微与可导的关系可微与可导的关系 可微可微 可导可导 称为自变量的微分，记作称为自变量的微分，记作dx，即，即dx=，又因为有又因为有 ，因此导数也叫因此导数也叫“微商微商”。第50页，共58页，编辑于2022年，星期一例求例求 在在x=1 和和x=3 处的微分处的微分 例求当例求当x=2,0.02时时,的微分的微分第51页，共58页，编辑于2022年，星期一二、微分的几何意义二、微分的几何意义当当 是曲线是曲线 上点的纵坐标的增量时，上点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上就是曲线的切线上 点的纵坐标的相应增量。点的纵坐标的相应增量。yx。PQ可知点可知点M附近的曲线附近的曲线可以用切线来代替。可以用切线来代替。第52页，共58页，编辑于2022年，星期一三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则、基本初等函数的导数和微分公式、基本初等函数的导数和微分公式 、函数和、差、积、商的导数和微分法则、函数和、差、积、商的导数和微分法则、复合函数的微分法则、复合函数的微分法则 对复合函数对复合函数 求微分，求微分，设设 ，有，有由此可见，无论由此可见，无论u是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，y=f(u)的微分都可用的微分都可用 与与du的乘积来表示，这一性质的乘积来表示，这一性质称为称为微分形式不变性微分形式不变性。第53页，共58页，编辑于2022年，星期一例例 ，求，求dy例例 ，求，求dy.例例第54页，共58页，编辑于2022年，星期一一、微分在近似计算中的应用一、微分在近似计算中的应用应用公式：应用公式：例有一批半径为厘米的球，为了提高球面的光例有一批半径为厘米的球，为了提高球面的光 洁度，要镀上一层铜，厚度定为洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01厘米。估计每厘米。估计每 只球需只球需 要铜多少克？要铜多少克？（铜的密度是（铜的密度是8.9克厘米克厘米3）例例2利用微分计算利用微分计算 的近似值。的近似值。第55页，共58页，编辑于2022年，星期一 取取 ,有有 ，可以推出以下，可以推出以下 常用近似公式：（常用近似公式：（是较小的数值）是较小的数值）例计算例计算 的近似值。的近似值。（1）（2）（3）（4）（x 用弧度作单位来表达）；用弧度作单位来表达）；（x 用弧度作单位来表达）；用弧度作单位来表达）；（5）第56页，共58页，编辑于2022年，星期一二、微分在误差估计中的应用二、微分在误差估计中的应用、绝对误差和相对误差、绝对误差和相对误差如果某个量的精确值为，它的近似值为如果某个量的精确值为，它的近似值为a，那么，那么 叫做叫做a的绝对误差，叫做的绝对误差，叫做a的相对误差。的相对误差。、绝对误差限和相对误差限、绝对误差限和相对误差限 如果如果 ，则，则 叫做的绝对误差限，而叫做的绝对误差限，而 叫做的相对误差限。叫做的相对误差限。第57页，共58页，编辑于2022年，星期一 例设测得圆钢截面的直径例设测得圆钢截面的直径 毫米，测量的绝对误差毫米，测量的绝对误差 毫米（通常记作毫米（通常记作 ）。利用）。利用计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。第58页，共58页，编辑于2022年，星期一